Prove that cross product of 3 vectors in R^3 is not associative ..‏

if U=(u1 , u2 , u3)
V=(v1 , v2 , v3 )
G=(g1 , g2 , g3 )

prove that :

( U x V ) x G =/= U x ( V x G ) 

المتجهات الثلاث نستطيع ان نتكتبهم بطريقة أخرى طالما ان نوع الضرب اتجاهى :-

U = u1 i + u2 j + u3 k

V = v1 i + v2 j + v3 k

W = w1 i + w2 j + w3 k

حيث أن : i تعنى متجه الوحدة فى اتجاه محور السينات .
           j تعنى متجه الوحدة فى اتجاه محور الصادات .
           k تعنى متجه الوحدة فى اتجاه محور العينات .

لك أن تعلم أن (اساسيات يجب مراعاتها قبل البدء، واؤكد على ذلك
حتى لاندخل فى تفاصيل كثيرة)

لك أن تعلم أن :

i × j = k    ,  j × k = i       , k × i = j

لك ان تعلم ايضاً فى حال عكسنا اوضاعهم فإن الإشارة تتحول سالبة .

مثال : اذا كان i × j = k   فإن   j × i = - k    وهكذا ...

وايضاً يجب ان تعلم ان ضرب المتجه فى نفسه يعطى المتجه الصفرى .

وبإستعمال طرق الضرب العادية (ضرب الحدوديات)

نوجد أولاً : l                                                           ( U x V ) x G

U × V =  ( u1 i + u2 j + u3 k) × (v1 i + v2 j + v3 k)   l

ومن ثم مقارنتها بـ U x ( V x G )   l

فنجد انهما غير متساويان، ولم اتطرق الى كتابة الخطوات نظراً لطولها، ولكنى
اعطيتك الفكرة، فالضرب هو نفس الضرب الذى اخذته فى اعدادى مع مراعاه
فقط متجهات الوحدة ... مثال عندما تضرب u1i × v1 i  فإن i × i = 0  وبناء عليه
هذا الحد يعتبر معدوم (غير موجود) وعندما تضرب الحد الأول فى الثانى :
u1 i × v2 j = u1 v2 i×j = u1v2 k

وهذا لأن :  i×j = k    

وبعد الضرب جمع الحدود التى بها i وحدها التى معاملها j وحدها ثم التى معاملها k وحدها
وبهذا تكون حصلت على متجه تجديد (ناتج عن ضرب المتجهين)





-------------------------------------------------------------------------------------------------


سأكتب بالعربية : س ، ص ، ع متجهات الوحدة .

اساسيات :

س×ص = ع    ،  ص×ع = س   ،  ع × س = ص

يمكنك اجراء الضرب كما يلى :

أ =    <أ1 ، أ2 ، أ3>
ب = <ب1 ، ب2 ، ب3>
ج = <ج1 ، ج2 ، ج3>

والذى نريده هو : (أ × ب) × ج

أولا : ايجاد  أ × ب

س     ص       ع

أ1       أ2      أ3  = (أ2ج3 - أ3ج2)س - (أ1ج3 - أ3ج1)ص + (أ1ج2 - أ2ج1)ع

ج1    ج2       ج3

يتبع .... ايجاد   (أ × ب) × ج


    س                      ص                    ع

(أ2ج3 - أ3ج2)     - (أ1ج3 - أ3ج1)     (أ1ج2 - أ2ج1)

   ج1                     ج2                      ج3



= [-ج3(أ1ج3 - أ3ج1) - ج2(أ1ج2 - أ2ج1)] س

- [ج3(أ2ج3 - أ3ج2) - ج1 (أ1ج2 - أ2ج1)] ص

+ [ج2 (أ2ج3 - أ3ج2) + ج1 (أ1ج3 - أ3ج1)] ع

هكذا تكون قد حصلت على  (أ × ب) × ج


ثانياً : ايجاد  ب × ج

س          ص            ع

ب1         ب2          ب3

ج1          ج2           ج3


= (ب2ج3 - ب3ج2)س - (ب1ج3 - ج1ب3)ص + (ب1ج2 - ب2ج1)ع


يتبع .... ايجاد أ × (ب × ج)


    س                         ص                      ع

     أ1                          أ2                       أ3

(ب2ج3 - ب3ج2)     - (ب1ج3 - ج1ب3)    (ب1ج2 - ب2ج1)


= [أ2 (ب1ج2 - ب2ج1) + أ3 (ب1ج3 - ج1ب3)] س

- [أ1 (ب1ج2 - ب2ج1) - أ3 (ب2ج3 - ب3ج2)] ص

+ [- أ1(ب1ج3 - ج1ب3) - أ2 (ب2ج3 - ب3ج2)] ع

وبمقارنتها مع الأول نجد أن : (أ × ب) × ج ≠  أ × (ب × ج)