بين ان : س+1÷س)^2+ (ص+1÷ص)^2 ≥ 25\2

حيث س + ص = 1  ، وكلاً منهم أعداد موجبة .

مباشرة ً بإستعمال متباينة الوسط الحسابى :-
بما أن س ، ص أعداد حقيقية موجبة اذاً  كلاً من
(س + 1/س)² ، (ص + 1/ص)² ايضاً اعداد
حقيقية موجبة ... اذاً

(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)²
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ≥ جذر[(س + 1/س)²(ص + 1/ص)²]
                2

(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ 2(س+1÷س)(ص+1÷ص)

الآن نأخذ (س+1÷س)(ص+1÷ص)

ونضعه فى صورة مبسطة .. بتوحيد المقامات

س² + 1         ص² + 1      
ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــ =
   س                ص        

(س² + 1) (ص² + 1)
-----------------------------
       س ص        

     س²ص² + س² + ص² + 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                س ص

استخدم العلاقة س² + ص² = (س + ص)² - 2 س ص

= 1 - 2 س ص   بالتعويض ..

   س²ص² - 2 س ص + 1 + 1        
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             س ص            

بإكمال المربع ...    

    (س ص - 1)² + 1        
= ـــــــــــــــــــــــــــــــ     ---> (1)
         س ص                    

ولكن لدينا ايضاً :

 س + ص
ـــــــــــــــــ ≥ جذر(س ص)
     2

  1
ـــــــــ ≥ جذر(س ص)   بتربيع الطرفين ...
  2
              1
س ص ≤ ـــــــــ
              4

وطالما ان س ص اقل من او تساوى ربع
اذاً فهى مازالت تُبقى على صحة العلاقة

                                      2[(س ص - 1)² + 1]
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                            س ص

فى حالة تم التعويض مباشرة ً عن س ص = 1\4

وبعدها ينتج لك المطلوب .
                                          25
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــ
                                           2

وطبعاً ما صنعته كان محاولة للحل ...

اليك تكملة اجابتى الأخيرة، كل الذى ذكرته فيها كان سليماً
، وكذا ايضاً التعويض المباشرة عن س ص = 1\4 ولكن
النقص فى الإجابة هو اننى لم اذكر لماذا تم اختيار س ص = 1\4
ولم يتم اختيارها اقل من ذلك على الرغم من ان هذا مسموح ..

فى الخطوات الأخيرة ذكرت :-
                                       
                                         2[(س ص - 1)² + 1]
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                س ص


المطلوب هو ايجاد قيمة س ص التى تجعل :

2 [(س ص - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ  اقل ما يمكن ..
      س ص

شريطة  س + ص = 1  (هذا شرط اساسى ولا ستتغير المسألة)

س + ص = 1  --->  ص = 1 - س  بالتعويض ...

2[(س ص - 1)² + 1]      2[(س(1-س) - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
          س ص                    س(1 - س)

     2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
             س - س²

نشق الطرفين بالنسبة لـ س ...

               2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1]
دَ(س) = 2×ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                    (س  - س²)²

بمساواة البسط بصفر ..

2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1] = 0


لتهسيل الحساب ضع س - س² = م
ونضع 1 - 2س = ك

2م ك (م - 1) - ك (م - 1)² - ك = 0   بأخذ ك عامل مشترك ..

ك[2م(م - 1) - (م - 1)² - 1] = 0

اما ك = 1 - 2س = 0   ومنها س = ½

او : 2م(م - 1) - (م - 1)² - 1 = 0

2م² - 2م - م² + 2م - 1 - 1 = 0

م² = 2   ومنها م = ±جذر(2)

س - س² = ±جذر(2)

س² - س ±جذر(2) = 0

المميز = جذر[1 - 4*±جذر(2)]

وهذا يعنى ان جذر(2) مرفوض لأنه سيجعل ما
تحت الجذر التربيعى عدد سالب ...

المميز = جذر[1 + 4جذر(2)]

        1 ± جذر[1 + 4جذر(2)]
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  2

الحل السالب مرفوض لأنه ذكر فى السؤال ان س موجبة .

الحل الموجب بالتقريب  س ≈ 1.8 لأقرب جزء من عشرة

ولكن هذا الآخر مرفوض لأن س + ص = 1  ، ص قيمة موجبة

وبناء علي الحل الوحيد المقبول هو  س = ½

بعد التعويض فى العلاقة

     2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
             س - س²

                      25
نجدها بـ 12.5 = ــــــــــ
                      2

وهذا يؤكد لنا صدق :

                                            25
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــ
                                            2