كم عدد المستطيلات الموجودة بالشكل ؟

افتح الصورة فى رابط مستقل

على فرض ان جميع المستطيلات (المستقلة) المبينة بالشكل مختلفة ...

انظر الى ايمن المستطيل (او مستطيل صغير على يمين) .. ثبته لتجد
انه يضم فى الصف الواحد 10 مستطيلات، ثم نضم معه المستطيل
الذى تحته (ونثبتهم) لنجد انهم يضموا ايضاً 10 مستطيلات .. وهكذا
نخرج من هذه العملية (مع تثبيت المستطيل الصغير على اليمين)
بـ  10 × 9 = 90 مستطيل .

ثم نأتى الى المستطيل الثانى اعلى يمين المستطيل ونثبته لنجد
انه التحم مع 9 مستطيلات فى الصف الواحد، وهكذا مع عملية
التثبيت هذه نجد انه تكون لدينا 9 × 9 = 81 مستطيل .. وهكذا
نصنع مع كل مستطيل من الصف العلوى للمسطيل (الأب)

الخلاصة انه مع تثبيت مستطيل ما لا نتجه ابداً (به) نحو اليمين
او نحو الأعلى حتى لا نكرر مستطيلات نحن قد أخذناها بالفعل ...
(اى مع التثبيت نتوجه به شمالاً او اسفل فقط)

فيتكون لدينا هذه المتابعة البسيطة (متتابعة حسابية)

(10×9) + (9×9) + (8×9) + (7×9) + .... + (1×9)

بأخذ 9 عامل مشترك ...
                                             10(10 + 1)
= 9(1 + 2 + 3 + ... +10) = 9 × ــــــــــــــــــــــــ
                                                   2

= 495 مستطيل

(لاحظ مجموع الأعداد من 1 الى 10 = 55)

ولكن هذا نتج مع تثبيت الصفط الأول، لذلك هذه العملية نكررها
مع الـ 9 صفوف، ولكن عندما ننزل الى صف جديد ينقص عدد
الأعمدة مقدار 1

اى مع تثبيت الصف الثانى نحصل على عدد مستطيلات وقدره

(10×8) + (9×8) + (8×8) + (7×8) + .... + (1×8)

= 8 × 55 = 440 مستطيل

ولكن هذا شىء ممل كثيراً نلاحظ انه فى كل مرة نثبت فيها
الصف تنقص الأعمدة بمقدار واحد ليتكون لدينا فى الأخير
هذا المجموع ..

(9×55) + (8×55) + (7×55) + ..... + (1×55)

= 55[1 + 2 + 3 + .... +9] = 55 × 45 = 2475 مستطيل 

نستنتج : انه اذا كان عدد الصفوف ص وعدد الأعمد ع

فإن عدد المستطيلات الممكنة :

     ص              ع
= سيجما ك × سيجما ك
   ك=1          ك=1

   ص(ص+1)            ع(ع+1)
= ـــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ
        2                      2

       ص ع (ص+1) (ع+1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                4

اى :

عدد الصفوف×عدد الأعمدة×(عدد الصفوف+1)×(عدد الأعمدة+1)
=ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                 4


فى مثالنا نقول : عدد الصفوف = 10  ، عدد الأعمدة = 9

                          9 × 10 × 11 × 10
عدد المستطيلات = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = 2475 مستطيل
                                 4  

للمزيد اضغط هنا