2 اذا كانت أ,ب,ج,د فى تناسب متسلسل فاثبت ان: (أ - د)/(أ+ب+ج) = (أ-2ب+ج)/(أ - ب)

أ ب جـ د فى تناسب متسلسل ... اذاً

 أ         ب       جـ
ـــــــ = ـــــــ = ـــــــ = م  حيث م ثابت التناسب
 ب       جـ        د

هذا يعنى حسب قانون التناسب المتسلسل، والذى
اذا اردت اثباته  (سأضعه لك) ، وهو بالمناسبة يعتمد
على التناسب العادى مع اجراء بعض التعويضات البسيطة .

أ = د م³ ، ب = د م² ، جـ = د م

                      أ - د            د م³ - د
الطرف الأيمن = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
                    أ+ب+جـ     دم³ + دم² + دم

       د(م³ - 1)             م³ - 1
= ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
  دم(م² + م + 1)     م(م² + م + 1)

حلل البسط كفرق بين مكعبين ...

   (م - 1)(م² + م + 1)         م - 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
      م(م² + م + 1)               م

                    د م³ - 2 د م² + د م
الطرف الأيسر = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        د م³ - د م²

   دم(م² - 2م + 1)      م² - 2م + 1
= ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ
     دم²(م - 1)              م(م - 1)

حلل البسط كمربع كامل ...

     (م - 1)²          م - 1
= ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
    م(م - 1)             م

من هنا يتبين ان الطرف الأيمن = الطرف الأيسر   #

تابع القراءة

6 اوجد مشتقة 1/جذر(3س) بقانون المشتقة العام .

                1
د(س) = ـــــــــــــــــ  بالضرب بسطاً ومقاماً فى جذر(3س)
           جذر(3س)

           جذر(3س)     جذر(3)     جذر(س)
د(س) = ــــــــــــــــ = ــــــــــــ × ـــــــــــــــ
              3س            3            س


                     د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) =  نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــ
            هـ←0         هـ

                          جذر(3)  جذر(س+هـ)      جذر(س)              
د(س+هـ) - د(س) = ــــــــــ [ـــــــــــــــــــــ  - ــــــــــــــــ]
                             3       (س+هـ)            س

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - (س+هـ) جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                    س(س+هـ)

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                       س(س+هـ)

بعد هذا التبسيط نعود لأصل القانون ....

جذر(3)           س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0                   هـ س(س + هـ)

نقوم بتوزيع البسط على المقام ...

جذر(3)          س جذر(س+هـ) - س جذر(س)             هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0     هـ س(س + هـ)                 هـ←0  هـ س(س + هـ)

بقسمة النهاية الأولى بسطاً ومقاماً على س
وقسمة النهاية الثانية بسطاً ومقاماً على هـ  (العامل الصفرى)

جذر(3)           جذر(س+هـ) -  جذر(س)                    جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0       هـ (س + هـ)                    هـ←0  س(س + هـ)

فى النهاية الثانية نضع هـ = 0 (لأننا اختزلنا العامل الصفرى)

اما النهاية الأولى فنقوم بإخراج 1/(س+هـ) وهذه النهاية = 1/س
بعد وضع هـ = 1  (والمعنى ان النهاية الأولى عبارة عن حاصل
ضرب نهاتين) ...


جذر(3)      1               جذر(س+هـ) -  جذر(س)    جذر(س)
ــــــــــ × ـــــــــ  نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ -  ــــــــــــــ
 3          س     هـ←0              هـ                      س²

                  جذر(س+هـ) - جذر(س)
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
         هـ←0             هـ
                     
وسنرمز لنا بالرمز جذر(س) َ       ...

                 جذر3  جذر(س)َ    جذر(س)
اذاً : دَ(س) = ـــــــــ [ــــــــــــ - ــــــــــــــ]
                   3        س         س²

وبعد توحيد المقامات ...

   جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                   س²

وهذا يحولنا مباشرة ً الى ايجاد مشتقة جذر(س) بالقانون العام .

           جذر(س+هـ) - جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ

وهذه هى الفكرة فى السؤال وكان بالإمكان البدء ....

هنا نقوم بضرب البسط والمقام فى المرافق وهو : جذر(س+هـ) + جذر(س)
وكل هذا من أجل اظهار العامل الصفرى (هـ) فى البسط حتى يُختصر مع نظيره
فى المقام .


           جذر(س+هـ) - جذر(س)    جذر(س+هـ) + جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ                    جذر(س+هـ) + جذر(س)


                        س + هـ - س
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0    هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

                       هـ
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  نختصر العامل الصفرى ...
   هـ←0  هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  


                         1
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0   [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

والآن وبعد إختصار العامل الصفر جاز لنا ان نستعيض هـ بـ 0 .

               1                     1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
   جذر(س) + جذر(س)      2ذر(س)


نعود الى آخر خطوة :

             جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
دَ(س) = ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
              3                 س²


   جذر3   س/2جذر(س) - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                  س²

طريقة أخرى اسرع فى الحل .

                                1/جذر(س+هـ) - 1/جذر(س)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ـــــــــــــــــــــتـــــــــــــــــــ
                      هـ←0               هـ

بالضرب بسطاً ومقاماً فى المرافق = 1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)

                                      1/(س+هـ) - 1/س
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نقوم بتوحيد المقامات فى البسط فقط ...

فنجد أن : 1/(س+هـ) - 1/س = -هـ/س(س+هـ)  بالتعويض ...

                                                -هـ/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نختزل العامل الصفرى هـ  .

                                                -1/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0    [1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نضع هـ = 0
   
                                      -1/س²
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                          [1/جذر(س) + 1/جذر(س)]

                             -1/س²                       -1            2
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــ = 1/جذر(3) ــــــــــ ÷ ـــــــــــــــ
                         2/جذر(س)                     س²       جذر(س)

      -1           جذر(س)     - جذر(س)
= ـــــــــــــــــ × ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ
  جذر(3) س²       2          2جذر(3) س²

وهى نفسها النتيجة التى حصلنا عليها سابقاً لكن بعد وضعها فى ابسط صورة .

تابع القراءة

0 ما هو آحاد العدد 3^139 ؟

سأبدأ من سؤال آخر وهو اوجد آحاد 91 وهذا سؤال
سهل للغاية ، فالآحاد هنا هو 1 ولكن يمكننا معرفة
ذلك عن طريق القسمة على 10 ، فباقى قسمة 91
على 10 هى 1 ولأن باقى القسمة 1 اذاً آحاد 91 هو 1 .

ما سبق هو البادئة التى سنعتمد عليها فى الحل ....

الآن نقوم بقسمة 3^139 على 10 ولكن بالتدريج ...

فنقول باقى قسمة 3^4 على 10 هو 1 لماذا ؟
لأن 3^4 = 81 وعند قسمتها على 10 يكون الباقى 1 .

هذا يعنى اننا مهما رفعنا العدد (3^4) الى اى عدد موجب طبيعى
سيكون أيضاً باقى قسمته على 10 هو 1 ، لكننا نريد 3^139
فنقول ما العدد الذى لو ضُرب فى 4 يعطى عدد قريب من  139 ؟

انصحك بإستعمال الآلة هنا .. اكتبى مثلاً 4 × 30 يظهر
الناتج على الآلة 120 مازال العدد بعيداً عند 139 ... الى
ان تصلى (ومع التجربة المتكررة) الى أن  4 × 34 = 136
وهى تقارب معقول نحو 139.... هذا يعنى ان آحاد العدد
(3^4)^34 = 3^136 هو 1 ..

نعلم انه فى حالة تشابهه الأساسات نقوم بجمع الأسس ...

نقوم بضرب 3^136 فى ³3  فيكون :

3³ × 3^136 = 3^139  هذا يعنى ان باقى قسمة

3^139 على 10 يكافىء باقى قسمة ³3 على 10

نعلم أن ³3 = 27  وباقى قسمتها على 10 هو 7 .

اذاً آحاد العدد 3^139   هو  7  .

(ملحوظة يمكن ترتيب حل المسألة عن طريق الطابقات
ولكن من خلال قرآتى لملفك الشخصى تبين لى عدم
دراستك لنظرية الأعداد) 

الحل مباشرة ً عن طريق تكافؤ باقى القسمة (المتعلق بنظرية الأعداد)

نبدأ من : 3^4 ≡ 1 (مود 10) ==> (3^4)^34 ≡ 1^34 (مود 10)

3^136 ≡ 1 (مود 10)  ==> ³3 × 3^136 ≡ 1 × ³3 (مود 10)

3^139 ≡ 27 (مود 10)  ==> 3^139 ≡ 7 (مود 10)

اذاً آحاد 3^139 هو 7 .  

حل آخر - آراه من وجهة نظرى مناسب لكِ -

نلاحظ ما يلى جيداً ... (يعتمد على التجربة والملاحظة)

3^1 = 3
²3 = 9
³3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
3^6 = 729
.
.
.
وهكذا .. ما الذى حدث هنا ؟

نجد ان أرقام الآحاد الأولى كانت 3  ، 9  ،  7  ، 1
ثم من بعد 3^5 تعيد نفس آرقام الآحاد مرة ثانية
والمعنى اننا اذا قمنا برفع الـ 3 الى عدد ما من مضاعفات
العدد 4 فإن آحاده سيكون 1  .

وهذا ما حدث وجدنا ان 136 قريبة من 139 وهى من مضاعفات
العدد 4  .. اذاً  3^136 آحاده هو 1 .

الآن وبالترتيب السابق :

3^137   آحاده 3
3^138  آحاده 9
3^139  آحاده 7

تابع القراءة

0 كيفية اثبات أن مشتقة س^ن = ن س^(ن-1)

تستطيع اثباتها بالإستقراء الرياضى على ن .

العبارة صحيحة من أجل ن = 1  لأن مشتقة س هى 1

1 = 1س^0  حيث س لا تساوى الصفر .

نفرض أن العبارة صحيحة من أجل ن = ك

اى اننا نفرض صحة ان مشتقة س^ك = ك س^(ك-1)

والآن نبرهن على صحة العبارة عندما ن = ك+1

(س^(ك+1))  َ= (س^ك × س) َ

انت الآن بحاجة الى تطبيق قاعدة حاصل الضرب product rule

مشتقة الاول × الثانى + مشتقة الثانى × الأول

= (س^ك) َ س + س^ك

ولكن (س^ك) َ = ك س^(ك-1)     (فرضاً كما بينا)

اذاً : (س^(ك+1))  َ = ك س^(ك-1)×س + س^ك

==> نجمع الأسس لأن الأساسات متشابهة

= ك س^ك + س^ك   بأخذ س^ك عامل مشترك ...

= (ك+1) س^ك   وهو المطلوب اثباته ....... كيف ؟؟

لاحظ تبعاً للقاعدة فإن مشتقة س^(ك+1) = (ك+1) س^ك

وهذا ما حصلنا عليه، اذاً العبارة صحيحة .

ولكن ماذا لو كنا نريد الإثبات بدون استعمال قاعدة حاصل الضرب ؟

تستطيع اثبات ذلك عن طريق اللوغاريتم الطبيعى ...

نفرض أن د(س) = س^ن  بأخذ لط للطرفين ...

لط[د(س)] = ن لط(س)   نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

    دَ(س)        ن
= ـــــــــــــ = ــــــــــ   اذاً دَ(س) س = ن د(س)
    د(س)       س

           ن د(س)     ن س^ن
دَ(س) = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ن س^(ن-1)
             س              س

وأخيراً يمكنك اثباتها عن طريق القانون العام للإشتقاق .

                        د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) = نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0             هـ

تابع القراءة

2 سؤال فى الإحتمالات

ممكن حل السؤال هذا بالرياضيات ؟ ويفضل شرح فرق بين السحب مع اعادة وبدون اعادة وعشوائيا
صندوق يحوي 6 كرات سوداء و4 بيضاء نسحب 3 كرات احسب احتمال ان تكون السحب كرتين بيضاوين على الاقل، علماً بأن السحب على التتالي مع اعادة .

سحب بالتتالى ==> تباديل
سحب آنياً ==> توافيق
سحب مع الإعادة ==> هو مفهوم آخر للتباديل ولكن بشكل موسع .

عدد الكرات = 6 + 4  = 10

لاحظ حتى يكون الحل المرتب انصحك ان تكتب
فضاء العينة، أو على الأقل حاول ان تتخيله ...

سحب كرتين مع مع الإعادة :

حتى اوضحك لك ما الذى يحدث .. نرمز للست
كرات سوداء من 1 الى 6 ، ونرمز للأربع كرات
بيضاء من 7 الى 10 ، فتتكون لدينا هذه المجموعة .

س = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}


نوجد أولاً فضاء العينة، وهى عبارة عن عدد طرق
سحب ثلاث كرات من عشرة .

عدد طرق فضاء العينة = ³10 = 1000

وهذا لأن كل عنصر من عناصر هذه المجموعة
يمكن اختياره بعشر طرق، ولما كانت التجربة
ثلاث مرات اذاً فعدد الطرق الممكنة للسحب
(او ما يسمى بفضاء العينة) = 10×10×10 = ³10

كرتين بيضاوتين على الأقل ، وهنا لابد من وقفة

بالمصرى (يعنى ايه ؟) يعنى ايه كرتين بيضاوتين على الأقل ؟؟؟

يعنى : اما ان يكون لدينا فى القوس الثلاثى المرتب
كرتين بيضاوتين، وكرة سوداء  ... وإما ان تكون جميع
الكرات فى الثلاثى المرتب بيضاء .

لنحلل ما سبق سوياً ...  (بالغة الرياضيات والمنطق)

نفرض أن الكرة السوداء  س
وان الكرة البيضاء ض

بحيث س من 1 الى 6
اما ض من 7 الى 10

بمعنى آخر :

س لها 6 طرق للإختيار
ض لها 4 طرق للإختيار

من خلال ذلك نحلل ما سبق (بالغة الرياضيات والمنطق الرمزى)

الثلاثى المرتب الناتج عملية السحب سيتخذ هذه الأشكال
اذا ما أعطينا للترتيب أى أهمية ...

(ض ، ض ، س) ، (ض ، ض ، ض)

لنأخذ القوس الأول ونحلله تفصيلياً ...

(ض ، ض ، س) والمعنى كم ثلاثى مرتب على هذا الشكل ؟

للإجابة على هذا السؤال السهل : نقول بما أن عدد طرق
اختيار ض اربع طرق وعدد طرق اختيار س 6 طرق اذاً فعدد
طرق الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = 4 × 4 × 6 = 96

ولكن هذا ثلاثى مرتب، اى ان الترتيب فيه مهم، فيمكن إعادة
ترتيب العناصر أعلا فتكون :

(ض ، ض ، س) ، (ض ، س ، ض) ، (س ، ض ، ض)

وبهذا نخلص الى أن الثلاثى المرتب الذى يكون على
شكل هؤلاء = 3 × 96 = 288  .

نأخذ الثلاثى المرتب (ض ، ض ، ض)

وهذا أسهل ما يمكن لأن عدد طرق اختيار ض هو 4 .

اذاً جميع الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = ³4 = 64

فنقول ان عدد جميع طرق الإختيار = 288 + 64 = 352

                                      352         44
وأخيراً فالإحتمال المطلوب = ـــــــــــــ = ــــــــــ = 0.352
                                     1000        125

قيد المراجعة ...

تابع القراءة

3 ما الفائدة من النهايات والإتصال فى الرياضيات ؟

ارغب بمعرفة الفائدة من النهايات و الاتصال
يعني مثلا المعادلات تفيد بايجاد المجاهيل
ماذا عن النهايات و الاتصال ماهي فائدتها العلمية ؟

استطيع ان افيدك بشكل مختصر بأن النهايات من مبادىء التفاضل الذى
يهتم بدراسة الإشتقاق بوجه عام عن طريق دراسة مفاهيم أساسية
عن " الكميات المتناهية فى الصغر " .

لماذا بُنى التفاضل على النهايات ؟ .. الإجابة بهدف دراسة اشتقاق الدالة .
وما هو اشتقاق الدالة ؟.. حتى تفهمين ما حدث يجب ان تفهمى او تدرسى
جيداً مفهوم مشتقة الدالة، فعلى الرغم من ان المناهج التعليمية تهتم بدراسة
النهايات أولاً الا ان الذى دعى الى النهايات هو البحث عن مفهوم مشقتة الدالة .

المشتقة الأولى للدالة : هى مفهوم مجرد تجريد تام، وخطواته (ان لم تفيهمها)
اشبه ما تكون بالحفظ، لأن الرياضيات تنتقل من مفاهيم أساسية ومفهومة وواضحة
الى مفاهيم أخرى مجردة (أى لا تعلمين من اين أتت، ولماذا يتم الإشتقاق بهذه
الطريقة ان لم تكونى فى الأساس قد درستى البراهين، او المفاهيم الأساسية)

مثال :   .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
         
من المفترض أن الشكل مستطيل والمكون الأساسى له هو مجموع
عدد لا متناهى من هذه النقاط (لم اكلها طبعاً لصعوبة ذلك) هنا ولتكن
الكمية المتناهية فى الصغر هى هذه النقطة " . " - وان كانت اقل من
ذلك بكثير - لأنها كمية تؤول الى الصفر طولاً ومساحاً وحجماً .. فكان
السؤال هو متى نحصل على أكبر مساحة ممكنة لمستطيل ؟

التفاضل يجيب على سؤال كهذا بحيث يتم فرض أن العرض x
والطول y  .
          

مساحة المستطيل = الطول * العرض

يمكن فرض أن مساحة المستطيل = m 

وبتعبير رياضياتى فإن :  m = x y   وتعنى مساحة جميع اى مستطيل مهما
كان طوله أو عرضه (طبعاً لا يوجد طول بالسالب) .

يمكن الإجابة على هذا السؤال من خلال تجربة (اى بدون التفاضل) ولكن
ستكون طريقة طويلة وصعبة ومملة، بحيث يمكن دراسة جميع حالات
المستطيل، كالمربع فهو حالة خاصة من خالات المستطيل، ومفهوم
المربع هو x = y  أى الطول = العرض، ما هو الإحتمال الثانى ؟
قد يكون الإحتمال الثانى هو ان الطول أكبر من العرض .. فنقول
عندما كان الطول أكبر من العرض كانت مساحة المستطيل = ؟؟؟
ثم نطرح احتمال أخير، عندما كان الطول اصغر العرض كم كانت
مساحة المستطيل ؟ .. ونبدأ بالمقارنة ايهما أكبر فى المساحة ؟
من خلال علمان أن كلاً من x , y  كميات موجبة، او بالأكبر أكبر
من او تساوى الصفر .

بملاحظة ما حدث نجد اننا نتعامل مع كميات معينة تتغير بتغير كميات
أخير، أى ان بتغير الطول قد يتغير العرض، او لا يتغير فيبقى ثابتاً
نجد ايضاً اننا نتعامل مع مفهومين أساسياً (الثابت والمتغير)
ستجدين عبارات كثيرة مثل هذه .. عندما تغيرت x (اى الطول)
من ...... الى .......  تغيرت (معها) y  من ...... الى .........
ما هى نسبة تغير y الى نسبة تغير x ؟

هذا ما يكتب فى الرياضيات  dy/dx

dx   ثابت  ... اما  dy  فهو متغير (وكل هذه فرضيات)

أى قد نفعل العكس فنقول dx متغير و y ثابت ، لكن بشرط
ان يتم حل المسألة كاملاً بناء على قبول صحة هذه الفرضية .

dx  هى معدل التغير الذى طرأ على طول المستطيل، وكما عبرت
عنها بالنقطة مثلاً  " . " ان لم تكن أقل من هذا بكثير، لكنها لن
تصل بأى حال من الأحوال الى الصفر، لأن القسمة على الصفر
مفهوم صعب ومعقد جداً لم يتم التعرف اليه الى الآن، فنكتفى
بالقول بأن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .


dy هى أيضاً التغيير الذى طرأ على العرض .

وأخيراً   dm  هو التغير الذى طرأ على المساحة .

ملحوظة : كل هذه تغييرات متناهية فى الصغر ..

d إختصار لكملة derivative اى اشتقاق .

المشكلة الرئيسية وهى : لتكن dx = 0  بالصفر ، وأن dy = 0 بالفعل
فما هى قيمة dy/dx والتى = 0/0  >>> تسمى كمية غير معينة فى
التفاضل، وهذا بإيجاز شديد يعود الى عدة أسباب وهى ان dx , dy
لا يساوون صفر تماماً بل كلاً منهم يؤول الصفر  .. السب الآخر وهو
انه ليس من الضرورى ان تؤول x الى الصفر بنفس ما تؤول y الى الصفر
كأن نقول مثلاً سرعة الضوء أكبر من سرعة الصوت ..

مثال آخر ، ليكن قانون ما فى متغييرت تحكمه القاعدة y = (x² - 1)/(x-1)   l

الآن عندما x = 1  فإن y غير معرفة .. لأنه عندما x = 1  فإن المقام = 0
والقسمة على الصفر غير معرفة .. النهايات توجد نهاية y عندما x تؤول
الى الواحد (بحكم ان الدالة غير متصلة عندما x = 1

العامل الصفرى هو x - 1  يجب التخلص منه بحيث يجوز القسمة
عليه بسطاً ومقاماً (بعدما فرضنا أن x تؤول الى 1 وهذا يؤدى الى
ان x - 1  تؤول الى الصفر) وبالتالى فالقسمة ستكون على شىء
يؤول الى الصفر (وليس الصفر تماماً)  .

الحل سريعاً : نحلل البسط كفرق مربعين (اى نضع الدالة فى صورة أخرى)

y = (x-1)(x+1)/(x-1)   l  وبالقسمة على x - 1

y = x+1   شرط ان x تؤول الى الواحد ... هنا بعدما اختزلنا العامل
الصفرى يجوز ان نضع x = 1  مباشرة ً، ولن نكتب x = 0.9999 مثلاً
لأن 0.999999  تؤول الى الواحد .  اذاً  y = 1 + 1 = 2   .

هذا يعنى أن y تؤول الى 2 عندما  x تؤول الى الواحد .
ملحوظة عادة ما يكتب y = 2  مباشرة ً لأننا نتعامل مع
كميات متناهية فى الصغر .

خلاصة القول : أن مفهوم النهايات مرتبط ارتباط وثيق بمفهوم الإشتقاق
والعكس صحيح، ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق بالتغييرات التى
تطرأ على الدالة .. يعنى سبب ومسبب، مثلاً x = 1  عندما y = 2
اى ان x لن تكون 1 الا عندما تكون y = 2 (كتعويض فى دالة ما)

ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق برسم الدوال، ورسم الدوال
مرتبط ارتباط وثيق بالهندسة التحليلية، والهندسة التحليلية مرتبطة
ارتباط وثيق بالهندسة الإقليدية بحيث تعالجها فى صورة جبرية .
(اى تقوم بعملية ربط الجبر بالهندسة) ، ومن خلال اعطاء رسم
لكل لدالة تم التعرف على مفهوم الإشتقاق، وهو مفهوم هندسى
فى المقام الأول ومتعلق كثيراً بنظرية فيثاغورث .

نتسوع أكثر من ذلك من خلال مفاهيم بسيطة جداً :

مثلاً : اذا رأينا شكل ما يشبه المربع او المستطيل فنقول ان هذا الشكل
مربع (اذا وفقط اذا) كانت أضلاعه متساوية والقطران عموديان وينصف كلاً
منهما الآخر .

اى اذا تحقق العكس فإن الشكل مربع ..

نبتعد لما هو أكثر من ذلك : اذا وجدنا شكل ما منحنى مرسوم
فنقول هذا المنحنى هو بمثابة حلول المعادلة y = x²  اذا وفقط
اذا كانت شكل الدالة كيت وكيت .... ونضع تفاصيل .. بإختصار
ربطنا هنا الهندسة بالجبر ، وهو ما قادنا بالفعل لفتح باب كبير
فى الرياضيات هو والتفاضل والتكامل .

صورة تفيد بأن جميع النقاط الواقعة على هذا المنحنى هى
حلول العلاقة y = x²  اللانهائية، وكما نرى هنا فإن ثم تغير يحدث
لـ x نجد تغيراً ملحوظاً على y

الرابطة اذا وفقط اذا

وهذا روابط ممكن تفيدك : http://www.youtube.com/watch?v=77Uuo_1bgFs


سأتوقف الى هذا الحد نظراً لأنى أطلت، وايضاً لأن المفاهيم كثيرة لا تكفى
ان الخصها فى موضوع واحد ..

تابع القراءة

0 تمرين على دالة فى أكثر من قيمة مطلقة واحدة ..

التمرين عن القيمة المطلقة.

A(x)= |2x-3|- |1-x|+2
أحسب :(A(1) . A(6) . A(3/2
أكتب (A(x دون استعمال رمز القيمة المطلقة.
أوجد الأعداد الحقيقية x التي تحقق

A(x)≥2 . A(x )=7

سؤالك هو  (إقراه من اليمين الى اليسار)

د(س) = |2س - 3| - |1 - س| + 2

د(1) = 3
د(6) = 6
د(3\2) = 1.5

ولا اعتقد ان هناك شىء إعجازى اوقفك من
أن تقوم بالتعويض فى الدالة بشكل مباشر ..

السؤال الثانى :  نستعمل الحقيقة القائلة بأن
ما داخل المقياس موجباً او سالباً او قد يكون صفراً.

الحقيقة الثانية : قيمة المقياس ≥ 0

الحقيقة الثالثة : هناك اربع حالات ممكنة
لكتابة الدالة بتعريفات مختلفة (سنرى ان
واحدة منهم غير صالحة ...)

اتحدث عما داخل المقياس، فلدينا مقياسين فى الدالة ..

1) موجبين معاً .
2) سالبين معاً .
3) الأول موجب والثانى سالب .
4) الأول سالب والثانى موجب .

الحالة الأولة مرفوضة، فلن يكونو موجبين معاً أبداً
ولإثبات ذلك : نفرض بالفعل انهم موجبين معاً .
(ملحوظة فى كل مرة نأخذ حالة المساواة)

2س - 3 ≥ 0   ومنها  س ≥ 1.5

1 - س ≥ 0   ومنها    س ≤ 1

وهذا تناقض فمجموعة الحل هنا فاى وتستطيع نا
تتحقق من ذلك من خلال رسم خط الأعداد فلن
تجد تقاطع فيما بينهما، ويتم استعمال خط الأعداد
هنا لتسهيل ايجاد الحل .

2) سالبتين معاً .

2س - 3 ≤ 0   ومنها  س ≤ 1.5

1 - س ≤ 0   ومنها    س ≥ 1

الحل :    1.5> س > 1

3) الأول موجب والثانى سالب .

2س - 3 ≥ 0   ومنها  س ≥ 1.5

1 - س ≤ 0   ومنها    س ≥ 1

الحل :   س ≥ 1.5  

4) الأول سالب ، والثانى موجب .

2س - 3 ≤ 0   ومنها  س ≤ 1.5

1 - س ≥ 0   ومنها    س ≤ 1

الحل : س ≤ 1

ليتكون لدينا :

           { -3س + 6  عندما 1.5> س > 1
د(س) =  {س          عندما  س ≥ 1.5
           {-س + 4    عندما  س ≤ 1

ملحوظة : هناك طرق أكثر تجريداً لم لتطرق اليها ..

السؤال الثالث : اوجد حل د(س) ≥ 2

|2س - 3| - |1 - س| + 2 ≥ 2

نحذف 2 من الطرفين، ونأتى بـ -|1 - س|
الى الطرف الأيسر لكن بإشاة مخالفة .

|2س - 3| ≥ |1 - س|

الآن نوجد حالة المساواة : |2س - 3| = |1 - س|

ومنها : 2س - 3 = 1 - س

أو 2س - 3 = -1 + س

فى الحالة الأولى نحصل على : س = 4\3
فى الحالة الثالنية نحصل على : س = 2

ارسم خط الأعداد لـ "س" وعلم عند 4\3 ، 2
فيتكون لديك ثلاث فترات، وبمجرد أخذ عينة
س من كل فترة وتجربتها فى العلاقة :
|2س - 3| ≥ |1 - س|  اذا حققتها فإن تلك
الفترة ضمن حلول س .. وهكذا الى ان يتبين
لنا أن الحل المتضمن هو :

                 4/3 ≥ س ≥ 2

الحالة الثانية من السؤال الثالث ...

|2س - 3| - |1 - س| + 2 = 7
|2س - 3| - |1 - س| = 5

|2س - 3| = |1 - س| + 5

2س - 3 = |1 - س| + 5

أو : 2س - 3 = -|1 - س| - 5

وبعد الترتيب والإختصار نحصل على :

|1 - س| = 2س - 8

أو : |1 - س| = -2س - 2

بأخذ المقياس الأول وحله على حدى ...

1 - س = 2س - 8

أو : 1 - س = -2س + 8

اذاً : اما  س = 3   أو  س = 7

بأخذ المقياس الثانى، وفكه أيضاً ...

1 - س = -2س - 2

أو : 1 - س = 2س + 2

اذاً : اما س = -3   أو  س = -1\3

ليس هذا وفقط بل يجب ان نتحقق من هذه
الحلول بالتعويض فى العلاقة :
|2س - 3| - |1 - س| = 5

لنجد أن الحلو هى : س = {-3 ، 7}

صورة توضيحية لرسم الدالة

----------------------------------------------------
ملحوظة : طرحك للسؤال بهذه الطريقة يدل
على انك شخص كسول .. فأنتبه لذلك

تابع القراءة