كيفية اثبات أن مشتقة س^ن = ن س^(ن-1)

تستطيع اثباتها بالإستقراء الرياضى على ن .

العبارة صحيحة من أجل ن = 1  لأن مشتقة س هى 1

1 = 1س^0  حيث س لا تساوى الصفر .

نفرض أن العبارة صحيحة من أجل ن = ك

اى اننا نفرض صحة ان مشتقة س^ك = ك س^(ك-1)

والآن نبرهن على صحة العبارة عندما ن = ك+1

(س^(ك+1))  َ= (س^ك × س) َ

انت الآن بحاجة الى تطبيق قاعدة حاصل الضرب product rule

مشتقة الاول × الثانى + مشتقة الثانى × الأول

= (س^ك) َ س + س^ك

ولكن (س^ك) َ = ك س^(ك-1)     (فرضاً كما بينا)

اذاً : (س^(ك+1))  َ = ك س^(ك-1)×س + س^ك

==> نجمع الأسس لأن الأساسات متشابهة

= ك س^ك + س^ك   بأخذ س^ك عامل مشترك ...

= (ك+1) س^ك   وهو المطلوب اثباته ....... كيف ؟؟

لاحظ تبعاً للقاعدة فإن مشتقة س^(ك+1) = (ك+1) س^ك

وهذا ما حصلنا عليه، اذاً العبارة صحيحة .

ولكن ماذا لو كنا نريد الإثبات بدون استعمال قاعدة حاصل الضرب ؟

تستطيع اثبات ذلك عن طريق اللوغاريتم الطبيعى ...

نفرض أن د(س) = س^ن  بأخذ لط للطرفين ...

لط[د(س)] = ن لط(س)   نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

    دَ(س)        ن
= ـــــــــــــ = ــــــــــ   اذاً دَ(س) س = ن د(س)
    د(س)       س

           ن د(س)     ن س^ن
دَ(س) = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ن س^(ن-1)
             س              س

وأخيراً يمكنك اثباتها عن طريق القانون العام للإشتقاق .

                        د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) = نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0             هـ