إثبت أن : جا(54) - جا(18) = 0.5

• لدينا المتطابقة الآتية :  جا3س = 3جاس - 4جا³س

• يمكن إيجاد جا18 بدون آلة حاسبة (اضغط هنا - إيجاد جا(18) بدون آلة حاسبة)

                      -1 + جذر(5)
بوضع : جا18 = ـــــــــــــــــــــ
                             4

                                  --------------------الحل--------------------

جا(54) - جا(18) = جا3(18) - جا(18) = 3جا(18) - 4جا³(18) - جا(18)

= 2جا(18) - 4جا³(18) = 2جا(18)[1 - 2جا²(18)]

     -1+جذر(5)          -1+جذر(5)
= 2 ــــــــــــــــــــ [1 - 2(ـــــــــــــــــــ)²]
          4                         4

   -1+جذر(5)        6 - 2جذر(5)      
= ــــــــــــــــــــ [1 -  ــــــــــــــــــــــــــ]
       2                      8

   جذر(5) - 1      جذر(5) + 1
= ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ
       2                    4

     5 - 1          4
=  ــــــــــــ = ــــــــــــ = ½
       8            8 

 

===========================================

طريقة أخرى للحل :

 

هذه طريقة أخرى للحل، بإستعمال المتطابقات الآتية :
                             س+ص       س-ص
• جاس - جاص = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2               2
• جا2س = 2جاس جتاس

• جتاس = جا(90 - س)

--------------------- الحل -----------------------

                            54 + 18     54 - 18
• جا54 - جا18 = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2              2
= 2جتا36 جا18    ==> (1)

ولكن :• جا36 = 2جا18 جتا18

                  جا36
ومنها جا18 = ــــــــــــــ    بالتعويض في (1)
                  2جتا18

                                      جا36
جا54 - جا18 = 2جتا36 × ــــــــــــــ
                                    2جتا18

البسط = 2جا36 جتا36 = جا72   (قانون ضعف الزاوية)

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ         ==> (2)
                            2جتا18

ولكن : • جتا18 = جا(90 - 18) = جا72

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ = ½
                            2جا72