ما هو إثبات صيغة كاردان، وكيفية وضع الصيغة في صورة مبسطة ؟

يمكن ذكر الخطوات سريعاً، مع العلم أنه يفضل أن تكون ملم بقوانين الأعداد المركبة الأساسية،
مثل الجذور التكعيبية للواحد الصحيح وهي 1 ، أوميجا ، أوميجا² وإذا لم تكن تعرفها يمكنك
البحث عنها في الإنترنت، لأن هذا يساعدنا في حل مسائل من هذا النوع  z³ = a .

الصيغة العامة للمعادلة التكعيبية هي : $ax^3+bx^2+cx+d=0$
وبفرض  x = y + t  .

هكذا :  $a(y+t)^3+b(y+t)^2+c(y+t)+d=0$

ولكن حتى أختصر عليك الأمور .. وُجد أنه (بعد التعويض) أن القيمة المناسبة
لـ t هي : $\frac{-b}{3a}$ والتي تجعل معامل y² صفراً ..


أي نضع : $x = y - \frac{b}{3a}$
وبعد التعويض وتنظيم الحدود وتنسيقها ينشأ لدينا المعادلة الآتية في y  .

$$y^3+ky+m=0$$

حيث : $k = \frac{-b}{3} + \frac{c}{a}$  و  $m = \frac{2b^3}{27a} - \frac{bc}{3} + \frac{d}{a}$

وفي حقيقة الأمر إذا أردت أن تحصل على صيغة كاردان في صورة مبسطة، فلا
يهمنا قيمة كلاً من k , m بدلالة معاملات المعادلة التكعيبية  حيث أننا علمنا هكذا
أن k هي معامل y وأن m هي الحد المطلق، وهذا - طبعاً - بعد التعويض عن x = y - b/3a .

والآن نكرر الخطوة سابقة الذكر مرة ثانية ...
بوضع y = f + g

$$(f + g)^3 + k(f + g) + m = 0$$

وبعد فكك إياه (وتجميع الحدود المشابهة نحصل على الآتي)

$$f^3 + g^3 + (3fg + k)(f + g) + m = 0$$

ثم نضع شرطاً للتبسيط وهو أن نضع : $(3fg + k) = 0$
فكأننا نريد أن نقول y = f + g  والتي تجعل : $(3fg + k) = 0$
ومنها نحصل على : $fg = \frac{-k}{3}$  بتكعيب الطرفين : $f^3g^3 = \frac{-k^3}{27}$
وقد قمنا بتكعيب الطرفين حتى يسهل حلها مع المعادلة الثانية التي
نتجت بعد وضعنا $(3fg + k) = 0$  وهي$f^3 + g^3 = -m $

وبعدها يتكون لدينا هذا النظام في f³ , g³ .

$$f^3 + g^3 = -m \qquad \Longrightarrow (1)$$
$$f^3g^3 = \frac{-k^3}{27} \qquad \Longrightarrow (2) $$

يمكنك حلها بطريقة التعويض، أو بأن تفرض متغيراً z
(ونكون المعادلة التربيعية بمعلومية مجموع الجذرين وحاصل ضربهما)

$$z^2 + mz - \frac{k^3}{27} = 0$$

الحل يكون بالقانون العام للمعادلة التربيعية ... نوجد المميز أولاً لأنه يعتبر
مرحلة هامة في خطوات الحل، والتي سنحدد منها ما هو عدد الحلول الحقيقية
والمركبة في حالة كان المميز أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر أو يساوي
صفراً .. نعطى رمزاً للمميز . وليكن $\Delta$ .


$$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$

وللتذكرة مرة أخرى m هي الحد المطلق ، k هي معامل y .

ومن هنا فإن : $g^3 = \frac{-m - \sqrt{\Delta}}{2}$ and $f^3 = \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2}$

ومنها : $g = \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$ and $f = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$

ولكن هذا مجرد حل أول فقط، فكما تعلم أن معادلة من هذا النوع z³ = a
لها ثلاث حلول وهي (حسب ما ذكرنها) : $\sqrt[3]{a}$ و $\omega \sqrt[3]{a}$ و $\omega^2 \sqrt[3]{a}$ . حيث :
$$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{2\pi}{3}i}$$
$$\omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{-2\pi}{3}i}$$

من هنا فإن :

حلول f هي : $\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $

حلول g هي : $\frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $

ولكن هذه الحلول تنتج لنا 9 حلول (مع إهمال الترتيب كزوج مرتب) ممكنة
، ولكن إكتشفنا بعد ذلك أن هناك ثلاثة منهم فقط يحقق المعادلة (1) ، (2) معاً .
وكانت هذه الحلول هي كالتالي :

$$f \qquad \qquad ,  \qquad \qquad  g$$

$$\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega^2\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$

ولكن y = f + g   و  x = y - b/3a   ومن هنا نجد أن حلول x هي :

$$x_1 = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_2 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_3 = \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$

والذي جعلني أفكر في التبسيط بهذه طريقة المنظر الذي هالني من كبر
القانون (على ويكيبيديا) بشكل مفرط فيه جداً (انظر هنا - دالة تكعيبية) .
ولهذا ادعو كل من يهمه الأمر أن يجرب هذه الصيغة مرات متعددة في
حل معادلات تكعيبية متنوعة كي يتثبت بنفسه من صحته .

                                {عدد و طبيعة الحلول تبعاً لقيمة المميز}

بعد تحويل المعادلة من الدرجة الثالثة إلى الصورة : $y^3 + ky + m = 0$

حيث المميز : $$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$
                                      
                           {في حالة كان المميز > 0}    

• حل حقيقي، وهو $x_1$ + حلان مركبان .

                           {في حالة كان المميز < 0}

• جميع الحلول حقيقية (بدون تكرار) .

                          {في حالة كان المميز = 0}

• جميع الحلول حقيقية (مع تكرار 2 منهم على الأقل، إن لم يكن جميعهم) .

نحصل على حلين مكررين فقط عندما :$m^2 = \frac{-k^3}{27}$ حيث : $x_2 = x_3 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m} + \omega^2 \sqrt[3]{-m}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$
نحصل على الثلاثة حلول مكررة عندما : $m = k = 0$ حيث : $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{-b}{3a}$

والصيغة لديك ويمكنك التأكد من ذلك بنفسك ...

وفي الحقيقة إذا تأكد لنا في معادلة تكعيبية أن :  $m = k = 0$
فهذا يعني أننا نتعامل مع منشور ذات الحدين ذي الأس 3 ، ولذا
يمكن تحويل المنشور إلى الصيغة : $(x + \frac{b}{3a})^3 = 0$

                                     {قوانين مساعدة}

• $Z = a + ib = |z| [\cos(t)+i\sin(t)] = |z| e^{it}$

• $[e^{it}]^r + [e^{-it}]^r \,\, \in \,\, \mathbb{R}$

• de Moivre's formula