كيف نوجد المساحة المشتركة بين تقاطع الدائرتين في هذا المثال ؟

دائرتان طولي نصفى قطراهما 8 سم . 15 سم والبعد بين مركزيهما 17 سم اوجد مساحة المنطقة المشتركة بين الدائرتين لاقرب سم²

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------








تعتمد الفكرة على قانون مساحة القطعة الدائرية..

                هـ - جاهـ
القانون هو : ـــــــــــــــــ نق²
                    2

أنظر الرابط : http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B7%D8%B9%D8%A9_%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D9%8A%D8%A9

حيث نق هي نصف قطر الدائرة، هـ هي زاوية القطاع الدائري الحاوي للقطعة الدائرية .. وهذا ما نحن بصدده، فنحن لدينا نق لكلتا الدائرتين، ويبقى فقط إيجاد هذه الزاوية في كل قطعة، ولتكن مساحة القطة الدائرية الأولى م1 ، والثانية م1 .

مساحة تقاطع الدائرتين = م1 + م2

المهمة الآن هي إيجاد الزاوية هـ1 ، هـ2

الحل : المثلث أ هـ1 هـ2 قائم الزاوية في أ  .. لماذا ؟

ببساطة طبق عكس نظرية فيثاغورث .. لديك :
نق1 = 15  ، نق2 = 8 والمسافة بينهما = 17
وبحسبة بسيطة نستنتج أن : ²17 = ²8 + ²15 إذن المثلث أ هـ1 هـ2  قائم الزاوية في أ .

لديك نظرية تقول : نصف القطر عمودي على الوتر وينصفه ..
ونظرية أخرى تقول : في المثلث المتساوي الساقين فيه العمود الساقط على القاعدة ينصف الزاوية المقابلة له.

من النظريتين السابقتين نستنتج أن قياس الزاوية هـ1 = 2× قياس(أ هـ1 هـ2)

                                           المقابل        8
من حساب المثلثات : جا(هـ1\2) = ــــــــــــ = ــــــــــــ
                                           الوتر           17

                              8                                  8
ومنها  هـ1\2 = جا^-1(ــــــــ)   اذاً : هـ1 = 2جا^-1(ــــــــــ)
                             17                                 17

بنفس الطريقة (وحتى لا نعيد نفس الفكرة) :

                    15
هـ2 = 2جا^-1(ـــــــــ)
                    17

ملحوظة : الزوايا بالتقدير الدائري .. ولذلك عند الحسابات يجب أن تقوم بضبط الآلة الحاسبة على التقدير الدائري أولاً .. (وهذه الخطوة هامة جداً)

       هـ1 - جا(هـ1)               2جا^-1(8\17) - جا[2جا^-1(8\7)]
م1 = ـــــــــــــــــــــ نق²1 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ²15
              2                                           2

≈ 16.8  سم²


       هـ2 - جا(هـ2)               2جا^-1(15\17) - جا[2جا^-1(15\7)]
م1 = ـــــــــــــــــــــ نق²1 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ²8
              2                                           2

م2 ≈ 42.6 سم²


مساحة تقاطع الدائرتين = م1+م2 ≈ 16.8 + 42.6 ≈ 59.4 سم²