4 ما السبب فى أن مشتقة مساحة الدائرة تعطى محيط الدائرة

قانون مساحة الدائرة = ط×نق²
معدل تغير المساحة بالنسبة للقطر (د م \د نق) = 2×ط×نق  وهو نفسة قانون محيط الدائرة

قانون حجم الكرة =  4\3 × ط × نق³
معدل تغير الحجم بالنسبة للقطر(د ح \د نق) = 4×ط×نق²  وهو نفسة قانون مساحة سطح الكرة

قانون الحجم الفائق لما فوق الكرة = 1\2 ×ط^2×نق^4
معدل تغير الحجم الفائق بالنسبة للقطر(د ف \د نق) = 2×ط²×نق³  وهو نفسة قانون الحجم المحيط بالكرة الفائقة.

فما هي العلاقة؟

محاولة تخيل ما حدث (مجرد تخيل، والا فإن د نق تؤول للصفر)

سأتناول شرح الدائرة ثم يكون من السهل استنتاج البقية .
ليكن لدينا دائرة نصف قطرها نق فتكون المساحة ط نق²
بعدها نضيف الى نصف القطر دنق والمعنى كأننا لم نضيف
شىء حيث دنق هو معدل تغير نصف قطر الدائرة وهو كما
تعلم كمية تؤول الى الصفر، بدورها ايضاً لا تؤثر كثيراً فى
مساحة الدائرة وكأن شىء لم يحدث، ولكن التفاضل يعترف
بهذه الكميات المتناهية فى الصغر ويصنع لها كل اعتبار .

الآن : محيط الدائرة = 2 ط نق

بعد احداث تغيير = 2 ط (نق + د نق) = 2ط نق + 2ط دنق

ما الذى حدث ؟ لقد حدث انه حدث تغيير بسيط جداً فى
نصف القطر، والذى بدوره قد صنع حلقة حول محيط الدائرة
ونحن الآن نريد ان نحسب مساحتها ..

مساحة هذه الحلقة = 2 ط (نق + د نق) × د نق

(طبعاً فعد فردها تعطيك شكل اشبه بالمستطيل)

          معدل تغير مساحة الدائرة        دم
الآن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ
           معدل تغير نصف قطرها         دنق

    2 ط (نق + د نق) × د نق
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            د نق

= 2 ط (نق + د نق)

وبهذا يمكننا اهمال القيمة د نق حيث أنها قيمة مهملة
أصلاً وتؤول الى الصفر، متى يكون لها قيمة ؟؟ فى حالة
ضربها فى مالانهاية مثلاً او قسمتها على قيمة قريبة منها
ولهذا السبب نهمل د نق حيث انها ليست عامل مؤثر فى
هذه الحالة.
                         دم
وبناء عليه يصبح : ـــــــــــــــ = 2 ط نق
                        د نق

وهذا تفسيير هندسى مقبول من وجهة نظرى، بحيث يمكن
استنتاج نفس الشىء بالنسبة للكرة .


مرجع قد يُفيدك 

---------------------------------------------------------------------------------------
.

بالنسبة للكرة فالموضوع مشابه لما حصل :

حجم الكرة = 4\3 ط نق³

حجم الكرة بعد الزيادة = 4\3 ط (نق + د نق)³


معدل تغير الحجم     4\3 ط (نق + د نق)³ - 4\3 ط نق³
ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 معدل تغير نق                      د نق

   4\3 ط[3 (د نق) نق² + 3 (دنق)² نق + (د نق)³]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                            د نق


= 4\3 ط[3 نق² + 3(د نق) نق + (د نق)²]

والآن يمكنك تجاهل  3(د نق) نق + (د نق)² حيث أنها قيمة تؤول للصفر .

                      معدل تغير الحجم
وبناء عليه فإن : ــــــــــــــــــــــــــــــــ = 4 ط نق²
                       معدل تغير نق

تابع القراءة

0 بين ان : س+1÷س)^2+ (ص+1÷ص)^2 ≥ 25\2

حيث س + ص = 1  ، وكلاً منهم أعداد موجبة .

مباشرة ً بإستعمال متباينة الوسط الحسابى :-
بما أن س ، ص أعداد حقيقية موجبة اذاً  كلاً من
(س + 1/س)² ، (ص + 1/ص)² ايضاً اعداد
حقيقية موجبة ... اذاً

(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)²
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ≥ جذر[(س + 1/س)²(ص + 1/ص)²]
                2

(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ 2(س+1÷س)(ص+1÷ص)

الآن نأخذ (س+1÷س)(ص+1÷ص)

ونضعه فى صورة مبسطة .. بتوحيد المقامات

س² + 1         ص² + 1      
ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــ =
   س                ص        

(س² + 1) (ص² + 1)
-----------------------------
       س ص        

     س²ص² + س² + ص² + 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                س ص

استخدم العلاقة س² + ص² = (س + ص)² - 2 س ص

= 1 - 2 س ص   بالتعويض ..

   س²ص² - 2 س ص + 1 + 1        
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             س ص            

بإكمال المربع ...    

    (س ص - 1)² + 1        
= ـــــــــــــــــــــــــــــــ     ---> (1)
         س ص                    

ولكن لدينا ايضاً :

 س + ص
ـــــــــــــــــ ≥ جذر(س ص)
     2

  1
ـــــــــ ≥ جذر(س ص)   بتربيع الطرفين ...
  2
              1
س ص ≤ ـــــــــ
              4

وطالما ان س ص اقل من او تساوى ربع
اذاً فهى مازالت تُبقى على صحة العلاقة

                                      2[(س ص - 1)² + 1]
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                            س ص

فى حالة تم التعويض مباشرة ً عن س ص = 1\4

وبعدها ينتج لك المطلوب .
                                          25
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــ
                                           2

وطبعاً ما صنعته كان محاولة للحل ...

اليك تكملة اجابتى الأخيرة، كل الذى ذكرته فيها كان سليماً
، وكذا ايضاً التعويض المباشرة عن س ص = 1\4 ولكن
النقص فى الإجابة هو اننى لم اذكر لماذا تم اختيار س ص = 1\4
ولم يتم اختيارها اقل من ذلك على الرغم من ان هذا مسموح ..

فى الخطوات الأخيرة ذكرت :-
                                       
                                         2[(س ص - 1)² + 1]
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                س ص


المطلوب هو ايجاد قيمة س ص التى تجعل :

2 [(س ص - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ  اقل ما يمكن ..
      س ص

شريطة  س + ص = 1  (هذا شرط اساسى ولا ستتغير المسألة)

س + ص = 1  --->  ص = 1 - س  بالتعويض ...

2[(س ص - 1)² + 1]      2[(س(1-س) - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
          س ص                    س(1 - س)

     2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
             س - س²

نشق الطرفين بالنسبة لـ س ...

               2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1]
دَ(س) = 2×ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                    (س  - س²)²

بمساواة البسط بصفر ..

2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1] = 0


لتهسيل الحساب ضع س - س² = م
ونضع 1 - 2س = ك

2م ك (م - 1) - ك (م - 1)² - ك = 0   بأخذ ك عامل مشترك ..

ك[2م(م - 1) - (م - 1)² - 1] = 0

اما ك = 1 - 2س = 0   ومنها س = ½

او : 2م(م - 1) - (م - 1)² - 1 = 0

2م² - 2م - م² + 2م - 1 - 1 = 0

م² = 2   ومنها م = ±جذر(2)

س - س² = ±جذر(2)

س² - س ±جذر(2) = 0

المميز = جذر[1 - 4*±جذر(2)]

وهذا يعنى ان جذر(2) مرفوض لأنه سيجعل ما
تحت الجذر التربيعى عدد سالب ...

المميز = جذر[1 + 4جذر(2)]

        1 ± جذر[1 + 4جذر(2)]
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  2

الحل السالب مرفوض لأنه ذكر فى السؤال ان س موجبة .

الحل الموجب بالتقريب  س ≈ 1.8 لأقرب جزء من عشرة

ولكن هذا الآخر مرفوض لأن س + ص = 1  ، ص قيمة موجبة

وبناء علي الحل الوحيد المقبول هو  س = ½

بعد التعويض فى العلاقة

     2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
             س - س²

                      25
نجدها بـ 12.5 = ــــــــــ
                      2

وهذا يؤكد لنا صدق :

                                            25
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــ
                                            2

تابع القراءة

0 اوجد نهـا(س←ط/6) [جذر(3) - 2جتاس]/[جا(س - ط/6)] بدون قاعدة لوبيتال

اليك الإثبات بدون لوبيتال على ان النهاية = 1

              جذر(3) - 2جتاس
نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ  نضع س - ط/6 = ص
س←ط/6    جا(س - ط/6)

ومنها س = ص + ط/6     وايضاً ص ← 0  بالتعويض ..

        جذر(3) - 2جتا(ص + ط/6)
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0            جاص

بإستخدام قانون مجموع زاوتين (للجتا)

        جذر(3) - 2[جتاص جتاط/6 - جاص جاط/6]
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0                    جاص

            جذر(3) - 2جتاص جتاط/6 + 2جاص جاط/6
=نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  ص←0                    جاص

بعد التعويض عن قميتى جتاط/6  ، جاط/6 ينتج لنا ...

            جذر(3) - جذر(3)جتاص+ جاص
=نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  ص←0            جاص

بتوزيع البسط على المقام مع أخذ جذر(3) عامل مشترك ..


                      1 - جتاص                جاص
= جذر(3)نهـــــــا ـــــــــــــــــ + نهـــــــا ـــــــــــــــ
          ص←0    جاص          ص←0    جاص

من الواضح ان النهاية الثانية = 1

اما النهاية الأولى نوجدها عن طريق الضرب فى المرافق

ضرب بسطاً ومقاماً فى 1 + جتاس  فيتكون لدينا ..

                        (1 - جتاص) (1 + جتاص)
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     جاص (1 + جتاص)

                                1 - جتا²ص
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     جاص (1 + جتاص)

                               جا²ص
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     جاص (1 + جتاص)

اختصر جاص بسطاً ومقاماً ..

                              جاص
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     (1 + جتاص)

بالتعويض المباشر نجد ان :

              جا0                             0
جذر(3)ــــــــــــــــــــــــ = جذر(3) × ـــــــــــ = 0
          1 + جتا0                          2

وبناء عليه فإن :

                           جاص
جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــ + 1 = 1
            ص←0   (1 + جتاص)

تابع القراءة

0 كم عدد المستطيلات الموجودة بالشكل ؟

افتح الصورة فى رابط مستقل

على فرض ان جميع المستطيلات (المستقلة) المبينة بالشكل مختلفة ...

انظر الى ايمن المستطيل (او مستطيل صغير على يمين) .. ثبته لتجد
انه يضم فى الصف الواحد 10 مستطيلات، ثم نضم معه المستطيل
الذى تحته (ونثبتهم) لنجد انهم يضموا ايضاً 10 مستطيلات .. وهكذا
نخرج من هذه العملية (مع تثبيت المستطيل الصغير على اليمين)
بـ  10 × 9 = 90 مستطيل .

ثم نأتى الى المستطيل الثانى اعلى يمين المستطيل ونثبته لنجد
انه التحم مع 9 مستطيلات فى الصف الواحد، وهكذا مع عملية
التثبيت هذه نجد انه تكون لدينا 9 × 9 = 81 مستطيل .. وهكذا
نصنع مع كل مستطيل من الصف العلوى للمسطيل (الأب)

الخلاصة انه مع تثبيت مستطيل ما لا نتجه ابداً (به) نحو اليمين
او نحو الأعلى حتى لا نكرر مستطيلات نحن قد أخذناها بالفعل ...
(اى مع التثبيت نتوجه به شمالاً او اسفل فقط)

فيتكون لدينا هذه المتابعة البسيطة (متتابعة حسابية)

(10×9) + (9×9) + (8×9) + (7×9) + .... + (1×9)

بأخذ 9 عامل مشترك ...
                                             10(10 + 1)
= 9(1 + 2 + 3 + ... +10) = 9 × ــــــــــــــــــــــــ
                                                   2

= 495 مستطيل

(لاحظ مجموع الأعداد من 1 الى 10 = 55)

ولكن هذا نتج مع تثبيت الصفط الأول، لذلك هذه العملية نكررها
مع الـ 9 صفوف، ولكن عندما ننزل الى صف جديد ينقص عدد
الأعمدة مقدار 1

اى مع تثبيت الصف الثانى نحصل على عدد مستطيلات وقدره

(10×8) + (9×8) + (8×8) + (7×8) + .... + (1×8)

= 8 × 55 = 440 مستطيل

ولكن هذا شىء ممل كثيراً نلاحظ انه فى كل مرة نثبت فيها
الصف تنقص الأعمدة بمقدار واحد ليتكون لدينا فى الأخير
هذا المجموع ..

(9×55) + (8×55) + (7×55) + ..... + (1×55)

= 55[1 + 2 + 3 + .... +9] = 55 × 45 = 2475 مستطيل 

نستنتج : انه اذا كان عدد الصفوف ص وعدد الأعمد ع

فإن عدد المستطيلات الممكنة :

     ص              ع
= سيجما ك × سيجما ك
   ك=1          ك=1

   ص(ص+1)            ع(ع+1)
= ـــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ
        2                      2

       ص ع (ص+1) (ع+1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                4

اى :

عدد الصفوف×عدد الأعمدة×(عدد الصفوف+1)×(عدد الأعمدة+1)
=ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                 4


فى مثالنا نقول : عدد الصفوف = 10  ، عدد الأعمدة = 9

                          9 × 10 × 11 × 10
عدد المستطيلات = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = 2475 مستطيل
                                 4  

للمزيد اضغط هنا

تابع القراءة

0 ما قيمة كلاً من ت^ت ، جذر(ت) ؟

معلومات يجب ان نعرفها قبل البدء .
لط(-1) = ت ط  ،  لط (ت) = ½ت ط ، هـ^(ت ط) = -1
--------------------------------------------
1)  ت^ت

ليكن : ت^ت = ص بأخذ لط للطرفين ..

ت لط(ت) = لط(ص)  ---> ت × ½ ت ط = لط(ص)

-½ط = لط(ص)  ومنها ص = هـ^(-½ط) ≈ 0.2078795

اذاً ت^ت = هـ^(-½ط)  هل تتخيل ذلك ؟؟
------------------------------------------------------

2)   ت^0.5

لكن : ت^0.5 = ص  بأخذ لط للطرفين ..

0.5 لط(ت) = لط(ص)  ---> 0.5 × 0.5 ت ط = لط(ص)

0.25 ت ط = لط(ص)  ومنها ص = هـ^(ت ط × 0.25)

= [هـ^(ت ط)]^(0.25)

= (-1)^0.25 = الجذر الرابع لـ (-1)

كان فى الإمكان ايضاً وضعه فى صيغة اويلر .

-------- بإستعمال صيغة اويلر المثلثية --------

ليكن : ت^0.5 = ص   ---> ت = ص²

ت = 0 + ت

معيار العدد = جذر(0² + 1²) = 1
الزاوية التى يصنعها العدد مع محور السينات = 90 درجة = ط/2

ت = هـ^(½ ت ط)

اى ان : ص² = هـ^(½ ت ط)

ومنها : ص = هـ^(0.25 ت ط)

اى أن : ت^0.5 = جذر(ت) = هـ^(0.25 ت ط)

وهى نفس النتيجة التى توصلنا اليها سابقاً بأسهل من ذلك ..

--------------- يمكن ايضاً وضعها فى صورة أخرى --------------

وصلنا الى : ت^0.5 = هـ^(0.25 ت ط) = جتا(ط/4) + ت جا(ط/4)

                                       1 + ت
= 1/جذر(2) + ت 1/جذر(2) = ــــــــــــــــــ
                                      جذر(2)

---------- الوصول الى الحل بدون صيغة اويلر -------

ليكن : جذر(ت) = س + ت ص   (ربع الطرفين)

ت = (س² - ص²) + ت 2 س ص

س² - ص² = 0    ----> (1)

2س ص = 1       ---> (2)

من (1) نجد أن : (س - ص) (س + ص) = 0

اما  س = ص  او س = -ص (مرفوض تعطى قيم تخيلية)
ومن المفترض اننا نضع شرط ان س ، ص اعداد حقيقية .

بالتعويض فى (1)    2س² = 1  ومنها  س = ± 1/جذر(2)

اذاً : جذر(ت) = ± 1/جذر(2) ± ت 1/جذر(2)

       1 + ت
= ــــــــــــــــــــــــ
    ±  جذر(2)

السؤال المطروح هنا هل الحلين مقبولين معاً ؟

اعتقد ان الحل الموجب فقط هو المقبول نظراً لأن جذر(ت)
ليست مجهول او متغير، لذا لا يمكن ان يكون له قمتين مختلفتين
فى القيمة (قد يكون له أكثر من شكل وصيغة)

مثلاً لا يجوز ان نقول أن : جذر(25) = ± 5
الصحيح هو  : جذر(25) = 5

                      1 + ت
لذا : جذر(ت) = ــــــــــــــــ
                     جذر(2)

كما يمكن التحقق من هذه الإجراءات من صيغة ايلر نفسها .

تابع القراءة

0 ما هى أساسيات التعامل مع موقع ejabah المدعم من برنامج ميديا ويكى ؟

تكملة للموضوع السابق (اساسيات التعامل مع موقع ولفرام الفا) على الرابط "
http://ejabat.google.com/ejabat/thread?tid=5b2d0babb3324f81
والذى اكدت فيه على ضرورة تسخير التقنيات الحديثة من أجل خدمة المستخدم
على الإنترنت، وراشاده بإبتاع أساليب التدقيق والتحقق مما يتعلمه دائماً، واكدت
ايضاً على أن أهداف الموقع موجهة بالأساس الى الذى يحبذ البحث عن معلومة
تتبع خوارزميات محددة، مثل حل مسألة تعتمد على طرق اتباع خريطة او نموذج
متسلسل فى الحل، وبدل من برمجتها فالموقع يقدمها لك جاهزة (كهدية) ، وايضاً
يسمح لك بتقديم إقتراحات من أجل التعديل على خوارزمية يتبعها الموقع فى الحل
أى ان الموقع يسمح بالمساهمة بكل ما تلاحظه من مميزات وعيوب، فتستطيع
بكل سهولة تقديم رسالة للموقع تخبره فيها بتدعيم اللغة العربية مثلاً، او أن يتبع
اسلوب آخر فى حل بعض المسائل، وهكذا .. ايضاً الموقع لن يفيد الشخص الكسول
الذى يرحب بالمعلومات الجاهزة ولا يريد ان يبذل اى مجهود لكى يفهم، لكنه موجه
بالأساس من أجل خدمة المستخدم الذى يسعى جاهداً من أجل التعلم، والذى
لديه اصلاً معلومات متوفرة عن الحلول والإقتراحات لكنه مل من تكرارها كثيراً
وسأضرب مثال على ذلك، الآلة الحاسبة لطفل فى المرحلة الإبتدائية لن تنفعه
فى شىء لأنه لا يريد ان يبذل اى مجهود او تفكير، هو فقط يبحث عن حلول
جاهزة ، والى الآن لم يحفظ جدول الضرب ، ويتعامل مع الرياضيات بنوع من التصلب
الفكرى، فهنا الآلة الحاسبة عطلته عن التفكير، فى حين انها ستكون مفيدة جداً
للطالب فى المرحلة المتوسطة والذى قد الم أصلاً بقوانين الجمع والضرب والقسمة
وغيرها لكنه يريد توفير الوقت والمجهود فى أشياء هو يعلمها يقينا لكنه يريد اجتيازها
سريعاً من أجل التركيز على الهدف الأساسي وهو حل المسألة الأساسية .

من جهة أخرى وجدت هنا من يستخدم برنامج لمعالجة اكواد latex code وهو
موقع : http://www.codecogs.com/latex/about.php وهذا شىء جيد، لكن
من جهة أخرى فإن استعمال رموز لاتيك وحدها غير كافية للشرح وتوضيح
المعانى والأفكار التى تحتويها المسألة، فهى مجرد خطوات تسلسلية مرتبة
فى حين أنك تستطيع ان تحرر هذا الكود على الموقع الذى نحن بصدده مع
بعض الإمتيازات ككتابة تعليق بالعربى - لا اشكال - ولا تخش كثيراً من صعوبة
التحرير هناك فالموقع يعمل عليه أشخاص آخرون، فكل ما فى الأمر إنك بدلاً
من كتابة الحل برموز اللاتيك فى الموقع codecogs ستكتبه فى الموقع :
http://www.ejabah.info/ وهذا رابط قديم له، او يمكنك إستعمال هذا
الرابط : http://goo.gl/gSwOf  ملحوظة الرابط تم إختصاره لطوله .

لا تخش الوقوع فى الخطأ - طبعاً أخطاء غير معتمدة - ستجد من يحررها
ان وجدت أخطاء، او من يضيف اليها ان كانت تحتوى على نقص، لا اريدكم
ان تخذلونى فسبب قلة مشاركتى هناك هو قلة عدد المشاركين الجادين
ولم أجد التفاعل هناك كما أراه هنا فى الموقع .

♦ فيما يفيدنى هذا الموقع بالنسبة لى كعضو هنا فى جوجل ؟
♣ يفيدك فى أن الإجابة على سؤال خاصة ً الذى يريد صاحبه كتابة
معادلاته بالإنجليزى، ويريد ايضاً يراها مرتبة ومنسقة، وايضاً لا يريدها
على هيئة صورة وفقط، بل يريد بعض التعليقات ولو كانت بين السطور
اى انه تقريباً عمل مشابه لما تصنعه فى الموقع codecogs .

♦ اذاً ما الفرق طالما انه عمل مشابه، وهل لك مصلحة فى ذلك ؟
♣ أكاد اجزم لك انه ليس لى ادنى مصلحة لذلك، ولا اريد ان اكسب
فلساً واحداً حتى اذا دخلت الموقع لن تجد فيه إعلان واحد على الرغم
من ذلك ليس عيباً، ولكن كما يري صاحبه حتى يبدو الموقع أكثر جدية
فى التعامل، وانه موقع تعليمى فى المقام الأول، وليس تجارى مثلاً
او شىء من هذا القبيل .

♦ اذاً ما الفرق ؟
♣ الفرق هو ان codecogs صورة (صدقنى لن تدوم كثيراً) و كتابتك الرموز
فى هذا الموقع يعمل على ارشفته فى محرك البحث جوجل وبقية المحركات
الأخرى او ما يسمى بالسيو search engine optimization فمواقع محركات
البحث لا تقرأ الصور ولا تؤرشفها (بالبلدى لا تنظر اليها) - طبعاً هى تقرأ
الـ alt الموجود فيها كالتعريف بالصورة وخلافه .. الميزة الأخرى سيظل الموقع
محتفظ بسجل الإسم الذى سجلت به فى الموقع كنوع من المساهمة فى
هذا الموضوع (او الـ mini-post الذى كتبته)، الميزة الثالثة عملك لن يُمحى
(طبعاً طالما أنه لم يُغلق) ولأنه من الحين والآخر تؤخذ منه نسخ إحتياطية
تحسباً لضياع البيانات ان حدث ذلك،، والميزة الرابعة حرية التعديل على الموضوع
- على خلاف الصورة - فإذا نسيت حرف او كتابة رمز مختلف وتريد تعديله فهناك
ببساطة مسموح لك عمل ذلك، والميزة الخامسة انك ربما وبعد مدة وجيزة تجد
بعض الأكواد التى كتبتها تحولت الى موضوع كامل بفضل المحررين القائمين على
الموقع، او الموثوق بهم .


♦ اذاً ما هى أساسيات التعامل مع الموقع ؟
♣ حسناً هذا سؤال جيد وهو لُب موضوعنا، ستحتاج فقط ان تتعرف على
أساسيات التحرير على ميديا ويكى، ومن تعامل مع التحرير على موقع ويكيبيديا
من قبل سيكون هذا يسيراً جداً غير الذى أول من يتعامل معه ربما يجد بعض
العصوبات النادرة ثم تزول هذه الإشكاليات تدريجياً مع التدرب، وممارسة الكتابة
عليه، واظن ايضاً من لديه معرفة ولو بسيطة عن أسياسيات الكتابة برموز
الـ Latex سيكون هذا أفضل بكل تأكيد ، والآن افتح الموقع على الرابط الجديد
له (دعك من الرابطين السابقين) ، وافتح هذا : http://www.ejabah.info/ar
لأنه سيتم ترقية الموقع على هذا الرابط الحديث ، والآن كما ترى يشبه موقع
ويكيبيديا فى القوائم والإطارات ، ولكن فى المضمون فهو يشبه موقع جوجل
إجابات أكثر ، فستطيع ان تعتبره خليط (كوكتيل) او تستطيع ان تسميه موقع
ويكي اجابات (طبعاً الإسم ده بينى و بينك ومتقولوش لحد) والآن كما ترى
شكل الموقع فى بساطته، فهو ايضاً يدعم الصور والملفات المرفقة بالموضوع
وعلى يمين الموقع ستجد التصنيفات، وما يهمنى منها هو تصنيف " رياضيات "
ستجد ايضاً فى أسفل الموقع بعض المساهمين فى الموقع، اضغط على وصلة
" اضف اسمك الى هذه القائمة " واضف اسمك ان اردت ذلك ، وطبعاً هذه الخطوة
تكون بعد ان سجلت فى الموقع فى أعلى اليسار    دخول / إنشاء حساب
اضغط انشىء حساباً وستجد خطوات التسجيل ليست بها اى صعوبة، فقط
اردت التذكير بالخانة الأولى (منعاً لتسجيل الهاكرز مرات عديدة) ستكتب فى
هذا المربع ما يمليه عليك، ومن المفترض الآن انك سجلت ...

فى أعلى الموقع امح ما هو مكتوب فى مربع طرح السؤال، واكتب عنواناً مناسباً
لا علاقه ما ستكتبه، ثم اضغط على زر طرح سؤال، لينقلك مباشرة الى مربع التحرير
انصحك أولاً بإختيار التصنيف المناسب (وليكن " رياضيات ") ثم انتقل الى مربع التحرير

{{طرح سؤال}}
<!--            ضع تفاصيل أكثر عن سؤالك أسفل هذا السطر مباشرة              -->

       ضع تفاصيل السؤال هنا (اذا لزم الأمر)

{{نهاية سؤال}}
= <!-- ضع الإجابة أسفل هذا السطر مباشرة -->=

♦ وما الذى سأكتبه تحت هذا السطر مباشرة ً ؟
♣ ستكتب معادلات الرياضياتية تاركاً بعض التعليقات البسيطة عليها ان شئت
ومن ثم حفظ الصفحة ووضعها كوصلة بدلاً من استخدام codecogs والذى
ربما يمحى رابط الصورة بعد مدة زمنية محددة على حسب شروط الخدمة
(ملحوظة لست متأكد من ذلك لكن يمكنك قرآة شروطهم من هنا :
http://www.codecogs.com/pages/agreements/termsofuse.php

ستضع مباشرة ً تحت هذا السطر وسم بداية الإجابة ووسم نهاية الإجابة
والذى بدوره يعطيك القالب الذى ستكتب فيه الإجابة، والأمر بيسط جداً .

{{إجابة سؤال}}

اكتب ما يحلو لك من معادلات هنا واضعاً بعض التعليقات ان شئت ..

{{نهاية}}

ولن أخوض فى طريقة زخرفة الإجابة او اضافة بعض الألوان او شىء من هذا
القبيل خاصاً وهو أمر غير مرغوب فى البداية فنحن نريد كتابة المعادلات سريعاً
من أجل وضعها هنا فى الموقع لتظهر فى صورة معادلات منسقة ومرتبة ومفهومة
المظهر خاصة للمبتدئين الذين يجدون صعوبة فى وضع شرطة مائلة مثلاً كهذه /
او كتابة Int ليدل على التكامل، او خصوصاً فى القسمة المطولة، واشياء من هذا
القبيل، وانت غير مطالب بإستعامل الموقع دائماً الا اذا استدعى الأمر ذلك فمثلاً فى
حالة سؤال يتكرر عشرات المرات فلا حاجة لإستعمال الموقع لمعالجة النصوص الرياضية
بإختصار لن تستعمله الا عند الحاجة اليه، واذا اردت التعمق أكثر فى نظام الميديا ويكى
أحيلك الى هذا الكتاب لتقرأه فى وقت فراغك اذا رغبت فى ذلك، وبالمرة ستتعلم بعض
أسياسيات التحرير على موقع ويكيبيديا : http://www.mediafire.com/?7hj63effkmqkffg


♦ لقد صدعت رأسى .. اذاً ما المانع من إستخدام محرر النصوص Latex ؟
♣ حسناً .. هل تعلم انه بمقدورك وضع محرر النصوص Latex فى موقعك بل
تستطيع وضعه حتى فى مدونة Blogger ؟ وايضاً تستطيع التعديل عليه
كما صنعت فى مدونتى، وقمت بتنصيب Latex editor عليها ، بل ويستطيع حتى
الإداريون هنا فى الموقع وضعه (هذا ان كان هناك اداريين فى الموقع) .. نعود
الى موضوعنا وهو ان كنت تريد كتابة سطر مثلاً او سطرين فيكفى استعمال
الموقع http://www.codecogs.com/latex/about.php  لكن اذا كانت كتابتك
عن نظام مكون من عدة علاقات رياضياتة ومتعددة الأسطر فهنا انصحك بإستعمال
http://www.ejabah.info/ar ، او قم بإستعمال الإثنين معاً، فتقوم بنسخ الكود
بالكامل فى الموقع كما عودتك مع إضافة بعض التعليقات اليسيرة ان لزم ذلك .

♦ وهل هناك لغة ترميز يجب ان أتعلمها ؟
♣ فى حقيقة الأمر لا اريد ان انفرك وأقولك لك نعم يجب ذلك فكما ترى
بإمكانك الضغط على زر معين فى موقع تحرير النصوص وهو يتكفل بكتابة
الكود الخاص به، ولكن هذا غير مستحب فى جميع الأحوال، نظراً لأنك
ربما تحتاج من الحين والآخر التعديل على قمت به، او بإختصار تريد تعلم
هذه اللغة من أجل الكتابة بسهولة ويسر كما أكتب انا الآن مثلاً ولا أجد
مشقة فى ذلك، وتذكر أول مرة كنت تريد فيها أن تتعلم الكتابة على الكيبورد
كيف كان وضعك، هكذا الأمر تماماً، والأمر ايضاً متروك لك كما أنها لغة بسيطة
الفهم ولا تحتاج الى مجهود خارق كى تتعلمها ، وسأبدأ معك بالإساسيات ثم
احيلك الى رابط موجود على ويكيبيديا، وأتركك أيضاً تبحث وتتعمق فى ذلك ان
شئت .

♣ وسم البداية ووسم النهاية

تستعمل لغة اللاتيك وسم البداية <math> وتنتهى بـ <math/>
او يكون وسم البداية <tex> ووسم النهاية <tex/> ولكن فى الموقع
الذى سنتعامل يكون يكون وسم البداية يكافىء وسم النهاية وهو علامة
دولار هكذا $

$اكتب الصيغة هنا$

او  $$اكتب الصيغة هنا$$

♦ وما الفرق بين الأولى والثانية ؟
♣ الفرق هو ان الأولى تضع الصيغة الرياضياتية مندمجة من أسطر الكلام
اما الثانية تضع الصيغة مستقلة بذاتها، وغالباً ما تكون فى منتصف السطر .
ولك ان تستخدم ما يحلو لك على حسب ظروف المسألة، لكنى أقترح عليك
اذا كانت كتابة الرموز أكثر من التعليقات عليها فإستعمل الصيغة الثانية
$$اكتب الصيغة هنا$$  ، او يمكنك مباشرة ً من محرر نصوص الموقع الضغط
على زر فى الأعلى مرسوم عليه علامة الجذر التربيعى للدلالة على صيغة
رياضية ، وبمجرد الضغط عليه تجد :
$$Insert formula here, optionally \tag{manual-number}$$

احذف هذا السطر وضع بدلاً منه الصيغ التى تريدها..

لن اطول عليك ستجد الأمور مبسطة وليس بها تعقيد، وربما فقط تواجهك العلل
البسيطة خاصة ً اذا كنت لم تعرف شيئاً عنها .. عداً ذلك فالموضوع بسيط جداً .

♣ تخيل كتابة العلاقات الرياضياتية
-----------------------------------------
قبل البدء فى اى شىء يجب ان تتخيل او تستوحى ما الذى ستكتبه ؟
وهنا اقترح عليك بإستعمال ورقة خارجية لكتابة السؤال، والإجابة عليه ومن
ثم كتابته فى الموقع، او يمنكك الإستغناء عن ذلك ان كنت قد تعودت على
كتابة الرموز دون الحاجة الى الحل على ورقة مستقلة أولا، ولكنى اشدد
على ضرورة ذلك ان كانت هذه أول مرة لك تتعامل مع محرر نصوص هذه اللغة .

♣ اللغة المسموح بها داخل الكود
-----------------------------------------
اللغة المسموح بها داخل الكود هى أى لغة، ولكن لا يحبذ استخدام اللغة العربية فيهاا
لأنها سوف تظهر بشكل غير مرتب، وغير مقبول بالمرة، فيمكن كتابة بعض الكلمات البسيطة
مثال if  ... then   او let   او حتى بعض الجمل الإنجليزية البسيطة ان لزم الأمر ذلك، او يمكنك
عدم استعمالها مطلقا واستخدم وضع العلاقة الرياضياتة مندمجة مع الأسطر التى تكتبه عن
استعمل النسق الأول : $اكتب الصيغة هنا$  وهذا تستطيع ان تكتب بالعربية وقت ما شئت
لكن خارج الكود ، وبقى نقطة أحب ان انوه اليها وهى ان الكود لا يحسب المسافات، فمثلاً
عندما تكتب علاقة ما او حتى جمله ولتكن the first code بعد الضغط على زر المعاينة تظهر
لك بهذا المنظر  thefirstcode هكذا بدون مسافات، وان احببت وضع المسافات فقط استعمل
الترميز ,\ اى شرطة مائلة ثم فاصلة (بالحرف و ولكن بالإنجليزية) فحتى تظهر الجملة السابقة
بشكل سليم داخل الكود تكتب هكذا : $the\, first\, code$ لتظهر لك بهذا الشكل
the first code بعد الضغط على زر معاينة او بعد حفظ الصفحة عند انتهاءك من كافة الإجراءات .
((لاحظ من حين لآخر اضغط على زر معاينة للتحقق مما تصنعه))


♣ أهم الوظائف التى ينبغى التعرف عليها فى البداية
----------------------------------------------------------------
• العلامات الأربعة الأساسية تكتب كما هى + - * فيما عدا القسمة .. لماذا ؟
لأن الموقع يتخذ أسلوب آخر لكتابة كلاً من البسط والمقام بهذه الطريقة
{اكتب المقام هنا}{اكتب البسط هنا} مثال {2}{1} والتى تعنى 1 على 2 او نصف
وتكتب وتظهر بعد المعاينة ككسر وليس شرطة مائلة هكذا / .

• الإعلان عن أمر ما أو إجراء ما نكتب قبله \ او ما يسمى backslash
مثال : sqrt\  والتى تعنى اكتب علامة الجذر التربيعى .
♦ ولماذا لا نكتبها هكذا فقط sqrt  ؟
♣ لأن المحرر يستعامل معها على انها كلمة فقط لا أكثر وسيكتبها كما هى، ولهذا
وجب التنبيه جداً على هذه الخاصة من أهم خصائص اللغة، فإن وجدت أخطاء فى
كتابة الكود فإبحث أولاً عن عدم استعمالك لـ \ بداية الإعلان عن كتابة رمز معين .

ملحق #5 12‏/08‏/2012 11:11:30 ص

• العمليات الحسابية البسيطة :

- الجذر النونى يكتب بهذه الطريقة :  sqrt[n]{x}     l\  وتعنى الجذر النونى لـ x
مثال :   l      $$\sqrt[3] {x^2 - 1}$$      l
ملحوظة : وضع |      | من أجل قرآة الكود بشكل سليم والا فلا تكترث عندما
تراه غير ذلك نظراً لكتابتك الكود فى محرر عربى فقط يظهر بهكذا الشكل مثلاً
$$\sqrt[3] {x^2 - 1}$$ .


- لكتابة أس عبارة عدد ما او يتكون من رمز واحد فقط مثل 5^x  واذا كان الأس
يتكون من أكثر من رمز تكون الكتابة هكذا : $x^{2x+1}$  اى بإختصار نضع
الأس داخل قوسين مجموعة هكذا  {       }

وحتى لا أجد مشقة فيما اكتبه هنا باللغتين معاً قم بدراسة محتويات هذا
الرابط دراسة جيدة لأهم الوظائف التى ستتعامل معها، وبالتدرج سيحتوى
قاموسك على كثير منها .

ادرس محتويات هذا الرابط : http://goo.gl/CBCUk

لاحظ اقول ادرس محتويات هذا الرابط وليست مجرد قرآة سريعة وانتهى الأمر
اى خذ كل كود ستحتاج اليه وضعه فى محرر النصوص ثم قم بعملية معاينة
وشاهد ما هى التغييرات التى حدثت أثناء العرض ، ولاحظ لن يتم حفظ الصفحة
التى انشأتها الا اذا ضغت على زر حفظ الصفحة .

♦ حسناً سأعيد النظر جيداً فى الرابط الذى وضعته وسأدرس محتواه، وسأفتح
سؤال جديد فى الموقع من أجل تجربة ما سأحتاج اليه .... وسوف ...
♣ ممممم لا ادرى لماذا أكثرت كثيراً من كلمة سوف، وانا أطلب منك عمل ذلك
الآن فليس امامك الآن وقت لتضيعه، فالأمر لن يستغرق منك ربما ساعة كحد
أقصى لتجربه (ما تحتاج اليه فقط من رموز) اى انه بمجرد النظر الى الرمز ستتعرف
عليه مباشرة ً وتقول لنفسك نعم هذا الرمز استعمله كثيراً .. مباشرةً انظر الى
الكود الخاص به وأذهب وجربه فى صندوق التحرير بالموقع، واضغط زر المعاينة .. وهكذا
فمثلاً  times\ يجب التركيز عليه لأنك ستستعمله كثيراً وهو رمز الضرب ×  .

♣ وكنصيحة أخرى يُفضل التجربة فى محرر الموقع :
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

والذى يسمح لك بمشاهدة ما صنعته Online

وبعد ان تنتهى من ذلك اتجه الى المربع السفلى (الأصغر) وعند الجملة
HTML code to embed this equation into a web page  اختر من القائمة
المنسدلة latex او مباشرةً انسخ ما كتبته فى محرر الترميز .

ملحوظة لن يسمح لك الموقع بنزول سطر جديد الا اذا وضعت خطوات حل
مسألة ما فى شكل مصفوفة بمعنى : أكتب هذا الكود وستفهم ما اقصده


\begin{matrix}

f(n+1)&=& (n+1)^2 \\ & =& n^2 + 2n + 1

\end{matrix}

اى لنزول سطر جديد نكتب علامة التوازى \\ وكأنك تخبر المحرر ان السطر السابق
يوازى التالى له والعكس صحيح .. اى انك بهذه الطريقة تستعمل طرق مرتبة فى
الحل ولن تحتاج لأن تكتب وسم البداية والنهاية عشرات المرات .

اى انه لكتابة خطوات بشكل متسلسل وانيق نكتبها بين الوسمين

\begin{matrix}

اكتب ما يحلو لك من رموز Latex ولنزول سطر جديد اكتب \\

\end{matrix}

ولمشاهدة ما صنعته على هيئة صورة مفتوحة فى المتصفح فقط كليك يمين على
ما صنعته واختر copy Image Location هذا بالنسبة لمتصفح الفاير فوكس، وبقية
المتصفحات بها نفس الخاصية (لكن مع إختلاف كتابتها فقط) لكنها تؤدى الى نفس
الغرض، وانا انصح عاماً بإستعمال متصفح موزيلا فاير فوكس لما يتمتع من خصائص
غير موجودة فى أى متصفح آخر .

♣ أكرر اذا كنت ستكتب خطوات المسألة كلها تحت بعضها البعض من دون
التعليق (باللغة العربية) ما بين السطور .. استعمل وسم البداية \begin{matrix}
ووسم النهاية  \end{matrix} ولكن احياناً عند حلك لخطوت مسألة ما تكرر كثيرً
علامة المساواة = ولكنك تريدها ان تكون تحت بعضها البعض .. اذا اردت ذلك
فقط عند نزولك سطر جديد هكذا \\ ضع علامة المساواة بهذا الشكل  &=&

\begin{matrix}

f(n+1)&=& (n+1)^2 \\  & =& n^2 + 2n + 1 \\ &=& 1 + 2n + n^2

\end{matrix}

بعد إضافة سطر جديد (كخطوة اضافية من أجل التوضيح فقط)

وقم بنسخ هذه الأكواد فى محرر هذا الموقع :
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
حتى ترى نتائج ما تكتبه ..

لاحظ ايضاً ان الموقع يبدأ فى معاجلة ما تكتبه بدون الوسمين $$ الكود $$
والذى من الطبيعى ستكتبهم عند كتابتك فى موقع ejabah  مثلاً .. ولاحظ
يمكنك اختيار نوع ولون وحجم الخط بما يناسبك .

مثال :

\LARGE\begin{matrix}
{\color{Blue} x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2} \\
{\color{Green} x^2 - 1 = (x - 1) (x + 1)} \\
{\color{Red} x^3 - 1 = (x - 1) (x^2 + x + 1)}
\end{matrix}

مثال آخر : لحساب مجموع ريمان (كنهاية)

{\color{Blue} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x}

وتوجد مزايا أخرى كثيرة ستكتشفها بنفسك مع التجربه ..

1) يمكنك حفظ عملك كصورة (بإمتدادات محددة)
2) يمكنك حفظ عملك كإمتداد كتاب pdf
3) وهذه أهم خاصية بحيث يمكنك نسخ محتويات الكود بالكامل فى موقع
يدعم أكواد latex مع التعليق بجمل بسيطة على ما أوردت، ولأنه لا يجوز
كما علمت الكتابة باللغة العربية داخل الكود، وان سمح لك بذلك ستظهر
النتيجة مشوهة بالحروف والكلمات .

♣ لا ترهق نفسك برموز زائدة انت فى غنى عنها، فمع التعود على الكتابة
ستتعرف عليها شئت ام ابيت لأنك تتعامل مع نظام متكامل، وبالتأكيد ستحتاج
الى بعض الرموز التى كانت غائبة عنك يوماً ما ..

♣ لا تستصعب الإجراءات فما كتبته يمكن أن الخصه لك فى بضعه أسطر ، فقط
أحتاج منك همة وعزيمة، وارداة قوية على صدق نواياك .

الروابط من جديد هى :

الرابط الجديد لموقع إجابة : http://www.ejabah.info/q2a/

محرر أكواد لاتيك : http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

وأخيراً .. اذا كانت لديكم أى إقتراحات بشأن الموضوع تفضلوا بها ..

-------------------------------------------------------------------------------------
والى ان يتم إصلاح الخلل فى الموضوع (من اكواد) يمكنك مطالعة الموضوع
بالكامل على موقع جوجل اجابات من هنا .

تابع القراءة

0 Prove that cross product of 3 vectors in R^3 is not associative ..‏

if U=(u1 , u2 , u3)
V=(v1 , v2 , v3 )
G=(g1 , g2 , g3 )

prove that :

( U x V ) x G =/= U x ( V x G ) 

المتجهات الثلاث نستطيع ان نتكتبهم بطريقة أخرى طالما ان نوع الضرب اتجاهى :-

U = u1 i + u2 j + u3 k

V = v1 i + v2 j + v3 k

W = w1 i + w2 j + w3 k

حيث أن : i تعنى متجه الوحدة فى اتجاه محور السينات .
           j تعنى متجه الوحدة فى اتجاه محور الصادات .
           k تعنى متجه الوحدة فى اتجاه محور العينات .

لك أن تعلم أن (اساسيات يجب مراعاتها قبل البدء، واؤكد على ذلك
حتى لاندخل فى تفاصيل كثيرة)

لك أن تعلم أن :

i × j = k    ,  j × k = i       , k × i = j

لك ان تعلم ايضاً فى حال عكسنا اوضاعهم فإن الإشارة تتحول سالبة .

مثال : اذا كان i × j = k   فإن   j × i = - k    وهكذا ...

وايضاً يجب ان تعلم ان ضرب المتجه فى نفسه يعطى المتجه الصفرى .

وبإستعمال طرق الضرب العادية (ضرب الحدوديات)

نوجد أولاً : l                                                           ( U x V ) x G

U × V =  ( u1 i + u2 j + u3 k) × (v1 i + v2 j + v3 k)   l

ومن ثم مقارنتها بـ U x ( V x G )   l

فنجد انهما غير متساويان، ولم اتطرق الى كتابة الخطوات نظراً لطولها، ولكنى
اعطيتك الفكرة، فالضرب هو نفس الضرب الذى اخذته فى اعدادى مع مراعاه
فقط متجهات الوحدة ... مثال عندما تضرب u1i × v1 i  فإن i × i = 0  وبناء عليه
هذا الحد يعتبر معدوم (غير موجود) وعندما تضرب الحد الأول فى الثانى :
u1 i × v2 j = u1 v2 i×j = u1v2 k

وهذا لأن :  i×j = k    

وبعد الضرب جمع الحدود التى بها i وحدها التى معاملها j وحدها ثم التى معاملها k وحدها
وبهذا تكون حصلت على متجه تجديد (ناتج عن ضرب المتجهين)





-------------------------------------------------------------------------------------------------


سأكتب بالعربية : س ، ص ، ع متجهات الوحدة .

اساسيات :

س×ص = ع    ،  ص×ع = س   ،  ع × س = ص

يمكنك اجراء الضرب كما يلى :

أ =    <أ1 ، أ2 ، أ3>
ب = <ب1 ، ب2 ، ب3>
ج = <ج1 ، ج2 ، ج3>

والذى نريده هو : (أ × ب) × ج

أولا : ايجاد  أ × ب

س     ص       ع

أ1       أ2      أ3  = (أ2ج3 - أ3ج2)س - (أ1ج3 - أ3ج1)ص + (أ1ج2 - أ2ج1)ع

ج1    ج2       ج3

يتبع .... ايجاد   (أ × ب) × ج


    س                      ص                    ع

(أ2ج3 - أ3ج2)     - (أ1ج3 - أ3ج1)     (أ1ج2 - أ2ج1)

   ج1                     ج2                      ج3



= [-ج3(أ1ج3 - أ3ج1) - ج2(أ1ج2 - أ2ج1)] س

- [ج3(أ2ج3 - أ3ج2) - ج1 (أ1ج2 - أ2ج1)] ص

+ [ج2 (أ2ج3 - أ3ج2) + ج1 (أ1ج3 - أ3ج1)] ع

هكذا تكون قد حصلت على  (أ × ب) × ج


ثانياً : ايجاد  ب × ج

س          ص            ع

ب1         ب2          ب3

ج1          ج2           ج3


= (ب2ج3 - ب3ج2)س - (ب1ج3 - ج1ب3)ص + (ب1ج2 - ب2ج1)ع


يتبع .... ايجاد أ × (ب × ج)


    س                         ص                      ع

     أ1                          أ2                       أ3

(ب2ج3 - ب3ج2)     - (ب1ج3 - ج1ب3)    (ب1ج2 - ب2ج1)


= [أ2 (ب1ج2 - ب2ج1) + أ3 (ب1ج3 - ج1ب3)] س

- [أ1 (ب1ج2 - ب2ج1) - أ3 (ب2ج3 - ب3ج2)] ص

+ [- أ1(ب1ج3 - ج1ب3) - أ2 (ب2ج3 - ب3ج2)] ع

وبمقارنتها مع الأول نجد أن : (أ × ب) × ج ≠  أ × (ب × ج)

تابع القراءة