اوجد مشتقة 1/جذر(3س) بقانون المشتقة العام .

                1
د(س) = ـــــــــــــــــ  بالضرب بسطاً ومقاماً فى جذر(3س)
           جذر(3س)

           جذر(3س)     جذر(3)     جذر(س)
د(س) = ــــــــــــــــ = ــــــــــــ × ـــــــــــــــ
              3س            3            س


                     د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) =  نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــ
            هـ←0         هـ

                          جذر(3)  جذر(س+هـ)      جذر(س)              
د(س+هـ) - د(س) = ــــــــــ [ـــــــــــــــــــــ  - ــــــــــــــــ]
                             3       (س+هـ)            س

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - (س+هـ) جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                    س(س+هـ)

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                       س(س+هـ)

بعد هذا التبسيط نعود لأصل القانون ....

جذر(3)           س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0                   هـ س(س + هـ)

نقوم بتوزيع البسط على المقام ...

جذر(3)          س جذر(س+هـ) - س جذر(س)             هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0     هـ س(س + هـ)                 هـ←0  هـ س(س + هـ)

بقسمة النهاية الأولى بسطاً ومقاماً على س
وقسمة النهاية الثانية بسطاً ومقاماً على هـ  (العامل الصفرى)

جذر(3)           جذر(س+هـ) -  جذر(س)                    جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0       هـ (س + هـ)                    هـ←0  س(س + هـ)

فى النهاية الثانية نضع هـ = 0 (لأننا اختزلنا العامل الصفرى)

اما النهاية الأولى فنقوم بإخراج 1/(س+هـ) وهذه النهاية = 1/س
بعد وضع هـ = 1  (والمعنى ان النهاية الأولى عبارة عن حاصل
ضرب نهاتين) ...


جذر(3)      1               جذر(س+هـ) -  جذر(س)    جذر(س)
ــــــــــ × ـــــــــ  نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ -  ــــــــــــــ
 3          س     هـ←0              هـ                      س²

                  جذر(س+هـ) - جذر(س)
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
         هـ←0             هـ
                     
وسنرمز لنا بالرمز جذر(س) َ       ...

                 جذر3  جذر(س)َ    جذر(س)
اذاً : دَ(س) = ـــــــــ [ــــــــــــ - ــــــــــــــ]
                   3        س         س²

وبعد توحيد المقامات ...

   جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                   س²

وهذا يحولنا مباشرة ً الى ايجاد مشتقة جذر(س) بالقانون العام .

           جذر(س+هـ) - جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ

وهذه هى الفكرة فى السؤال وكان بالإمكان البدء ....

هنا نقوم بضرب البسط والمقام فى المرافق وهو : جذر(س+هـ) + جذر(س)
وكل هذا من أجل اظهار العامل الصفرى (هـ) فى البسط حتى يُختصر مع نظيره
فى المقام .


           جذر(س+هـ) - جذر(س)    جذر(س+هـ) + جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ                    جذر(س+هـ) + جذر(س)


                        س + هـ - س
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0    هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

                       هـ
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  نختصر العامل الصفرى ...
   هـ←0  هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  


                         1
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0   [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

والآن وبعد إختصار العامل الصفر جاز لنا ان نستعيض هـ بـ 0 .

               1                     1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
   جذر(س) + جذر(س)      2ذر(س)


نعود الى آخر خطوة :

             جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
دَ(س) = ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
              3                 س²


   جذر3   س/2جذر(س) - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                  س²

طريقة أخرى اسرع فى الحل .

                                1/جذر(س+هـ) - 1/جذر(س)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ـــــــــــــــــــــتـــــــــــــــــــ
                      هـ←0               هـ

بالضرب بسطاً ومقاماً فى المرافق = 1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)

                                      1/(س+هـ) - 1/س
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نقوم بتوحيد المقامات فى البسط فقط ...

فنجد أن : 1/(س+هـ) - 1/س = -هـ/س(س+هـ)  بالتعويض ...

                                                -هـ/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نختزل العامل الصفرى هـ  .

                                                -1/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0    [1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نضع هـ = 0
   
                                      -1/س²
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                          [1/جذر(س) + 1/جذر(س)]

                             -1/س²                       -1            2
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــ = 1/جذر(3) ــــــــــ ÷ ـــــــــــــــ
                         2/جذر(س)                     س²       جذر(س)

      -1           جذر(س)     - جذر(س)
= ـــــــــــــــــ × ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ
  جذر(3) س²       2          2جذر(3) س²

وهى نفسها النتيجة التى حصلنا عليها سابقاً لكن بعد وضعها فى ابسط صورة .