0 اذا علمت بأن5\1=(P( A و=4\1 (P(A∪B , اوجد p(B في الحالات الاتيه :

 أ ) اذا كان A و B مستقلان
ب) اذا كان A و B  متنافيان
ج) اذاكان A  جزئيه من B‏

أ ) اذا كان A و B مستقلان مستقلان اى لا يؤثر وقوع احداهما فى الآخر .. اى ان تقاطعهم = حاصل ضربهم .. وهذا يؤدى الى . P(A∪B) =p(A) + p(B) - p(A)×p(B) = 1/5 + p(B) - 1/5p(B) = 1/4 4/5p(B) = 1/20 p(B) = 1/16 ll ب) اذا كان A و B  متنافيان لا يكمن ان يحدثوا ً معنا ً : اى ان تقاطعهم = 0 اذاً الإتحاد يحول الى + p(A) + p(B) = 1/4 1/5 + p(B) = 1/4 p(B) = 1/20 ............................. ج) اذاكان A  جزئيه من B‏ هذا يعنى ان : P(A∪B)  = p(B) = 1/4 ll‏

تابع القراءة

0 اثبت ان الشكل ABCD مربعاً

معطى : ABCD مستطيل. BF امتداد القطعة BC.
FB = 3 سم , AD = 6 سم

1) ماذا يمكن القول ان المثلثين FCD و FBE متشابهان  ؟

2) برهن أن ABCD مربع.

3)اوجد مثلثا اضافيا يشبه المثلثين FCD و FBE.




......................................................................

) ماذا يمكن القول ن المثلثين FCD و FBE
اذا كنت تقصد متشابهان فهما فيمكننا القول
انهم متشابهان اذا كانت B زاوية قائمة، وبما
انها امتداد للضلع ( احدى ضلعى المستطيل )
اذا ً بالفعل هى قائمة وتححق خاصية التشابه .

امتداد القطة المستقيمة = 3سم

احدى ضلعى ( المستطيل ) = 6سم

وهذا معناه ان المثلث القائم الصغير يتشابه
مع المثلث مع المثلث FDB  .. ومن خلال
علاقات النسبة والتناسب تصل الى المطلوب
..........................................................

بما اننا اثبتنا ان المثلث المكون
من امتداد القطعة المشتقيمة
يتشابه مع المثلث الذى فيه طول
ضلع = 6 سم  .. اذاً العلاقة 1 : 2

نفرض ان : AF = 2X   ,  EB = X

AF + EB = 3X

متى ::

3X = 6

عندما : X = 2

بالتعويض .. نجد انه اذا تحقق X = 2 فهذا يقتضى
بالضرورة ان الشكل ABCD مربعاً اذا واذا فقط كان
يحقق شروط متطابقة فيثاغورث ويظل الشتابه
كما هو   1 : 2 ... تابع

AF = 2X   ,  EB = X

AF = 4   ,  EB = 2

وتر المثلث ( الناشىء من امتداد الضلع )

= جذر((2)² + (3)²) = جذر(13)

وتر المثلث الآخر = جذر((6)² + (4)² ) = 2جذر(13)

ولكن هذا حافظ على نفس علاقة التشابه تماماً
وهى 2 : 1

لاحظ  2جذر(13) ÷ جذر(13) = 2 : 1

اذاً الشكل ABCD مربع .


المثلث الإضافى هو EAD لأنه يشترك فى نفس العلاقة
التشابه  2 : 1   او  1 : 2

الخلاصة كلاً من : FCD و FBE و EAD متشابهان

تابع القراءة

2 اوجد المتتابعة الهندسية التى تحقق تلك الشروط ؟

متتابعة هندسيه مجموع حديها الثاني والثالث 6 وحاصل ضرب الحد الاول في الرابع -72 اوجد المتتابعة .

 نفرض ان الحد الأول أ  ، اساسها ر

أر + أر² = 6   ومنها  أ (ر+ر²) = 6

                  6
ومنها أ = ـــــــــــــــــــ
                ر+ر²

أ × أر³ = - 72  ومنها أ² ر³ = -72

بالتعويض عن أ

      36
ــــــــــــــــــــــــ ر³ = -72
    ( ر+ر²)²

بضرب الطرفين فى (ر+ر²)²

36ر³ = -72(ر+ر²)²

36ر³ = -72(ر^4 + 2ر³ + ر²)

36ر³ +72ر^4 + 144ر³ + 72ر² = 0

72ر^4 + 180ر³ + 72ر² = 0

ر^4 + 2.5ر³ + ر² = 0

ر²(ر² + 2.5ر + 1 ) = 0

اما ر² = 0 ومنها ر = 0 مرفوض

واما  ر² + 2.5ر + 1 = 0
الحل بالقانون العام ..

المميز = جذر(6.25 - 4) = 1.5

      -2.5  ±  1.5
ر = ـــــــــــــــــــــــــ
             2

اما ر = -0.5    او  ر = -2

بالتعويض فى المعادلة : أ² ر³ = -72

أ² × (-0.5)³ = -72

         72
أ² = ــــــــــــ = 576  ومنها أ = ± 24
       0.125

بالتعويض عندما ر = -2


أ² × (-2)³ = -72

أ² = 9   ومنها أ = ± 3

الآن وفق بين :

أ = ±24    عندما  ر = -0.5

أ = ±3      عندما  ر = -2

اذا اردت التحقق اختبرهم جميعا لنأخذ :
أ = 24  ، ر = -0.5  ونكتبها

{24 ، -12 ، 6 ، -3، ......}   لا تحقق الشرط

ثم نأخذ : أ = -24 ، ر = -0.5

{-24 ، 12 ، -6 ، 3 ، ....}       تحقق الشرط

ثم نأخذ أ = 3   ،  ر = -2

{3 ، -6 ، 12 ، -24 ، ...}  تحقق الشرط

ثم نأخذ أ = -3 ، ر = -2

{-3 ، 6 ، -12 ، 24 ، ...} لا تحقق الشرط

اذاً عدد حلول المتتابعات هما :

{-24 ، 12 ، -6 ، 3 ، ....}
{3 ، -6 ، 12 ، -24 ، ...}

 

تابع القراءة

0 اوجد جميع الأعداد الطبيعية " ن " التى تحقق ان كلاً من : ن+1 ، ن+3 ، ن+7 ، ن+9 ، ن+15 اعداد اولية ؟

ن+1 ، ن+3 ، ن+7 ، ن+9 ، ن+15

الآن 0 ، 1 ، 2 ، 3 لا تحقق الشرط المطلوب
اول عدد قد حقق هذا الشرط هو 4

بما ان : جميع هذه الأعداد المذكورة اعداد اولية
ولا يوجد بينها (2) اذاً جميعها فردية، بالتالى تكون
ن زوجية .. تريد شرح هذه الجزئية ؟؟

لأن زوجى + فردى = فردى ، وجميع (ن) السابقة
مجموعة الى أعداد فردية، اذاً هى بحاجة الى أعداد
زوجية لتكون فردية ( لأن جميع الأعداد الأولية فردية
فيما عداً 2 )

عندما ن = 4 يتحقق هذه الأعداد الأولية .
******
5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 19
******

الآن قلنا من عدد الإحتمالان الممكنة، وانه مستحيل ان
تكون (ن) عدد فردى .. فنستنتج من ذلك ان ن عدد فردى
ليست بينه عوامل مشتركة مع 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 15
مثال يوضح هذه الجزئية : ( مثلاً لا نأخذ ن = 12 )
لماذا ؟؟ لأن 12 لها عوامل مشتركة مع 3 ، 9 ، 15

ن+1 ، ن+3 ، ن+7 ، ن+9 ، ن+15

وبوضع ن = 2م  حيث م عدد طبيعى

، م ليست من مضاعفات الـ
3 ، 7 ، 9 ، 15

جميع الأعداد الأولية اكبر من 5 تتحقق فى احدى
الصيغتين التاليتين : 6س+1  ، 6س+5

حيث س = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ......}


الآن اذا اخذنا الصيغة الأولى وفرضنا ان :

2م + 1 = 6س + 1

                                          2م
فإن : 2م = 6س  ، ومنها س = ـــــــــــــ
                                           6
          م
= ــــــــــــــــــ  ولكن س عدد صحيح، م كذلك ..
          3

اذاً  هذه الصيغة تحقق العدد الأول عندما تكون م
من مضاعفات 3 ، ولكننا اشترطنا ان لا تكون
من مضاعات العدد 3 .. اذاً هذه الصيغة لا تتحق
ولا يهم ان ندرسها على باقى الأعداد طالما انها
لم تحقق العدد الأول .


اذاً بقى إحتمال ان تكتب هذه الأعداد على الصيغة
الثانية : 6س + 5  ، نفرض ان :

ن+1 = 2م+1 = 6س + 5   ومنها

6س = 2م + 1 - 5

6س = 2م - 4  بقسمة الطرفين على 2

3س = م - 2   ، ومنها

             م - 2
س = ــــــــــــــــــــــ
               3

ولكن س عدد صحيح .. اذاً  (م-2) / 3 صحيح ايضاً
ولا يكون صحيح الا اذا كانت م - 2 من مضاعفات
العدد 3


بتجربة الصيغة الثانية على العدد الثانى : نفرض ان

2م + 3 = 6س + 5   ، ومنها

6س = 2م - 2  ، ومنها 3س = م - 1

ولكن س عد صحيح .. اذاً  (م-1) من مضاعفات
العدد 3 ، ولكن هذا يناقض كون العدد الأول متحقق
فى الصيغة الثانية عندما (م-2) من مضاعفات 3

اذاً العدد الوحيد (ن) الذى يحقق ان جميع هذه
الأعداد اولية هو :  ن = {4}

تابع القراءة

3 عين النقاط الحرجة ، والقيم القصوى للدوال الآتية

السؤال الأول : د(س)=جذر(س² - 1)


السؤال الثانى : اذا كانت د(2) قيمة صغرى للدالة د(س)=س² -ك س + 5
 على الفترة [-1 ، 5] فإن ك =.......؟؟


السؤال الثالث : عين القيم القصوى للدالة : 
                س+3                1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــ
                   4                 س

 السؤال الأول :

د(س)  =جذر(س² - 1)

                 2س
دَ(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ = 0
           2 جذر(س² - 1)

عندما 2س = 0  ، ومنها س = 0

عندما جذر(س² - 1 ) = 0 فإن

س² = 1  ، ومنها س = 1   ، س = -1

س = {1 ، -1}  بالتعويض فى الدالة  الأصلية


اذاً الحل الصحيح هو ب


░ السؤال الثانى ░

د(س) = س² - ك س + 5  على الفترة [-1 ، 5]

نوجد المشتقة الأولى للدالة حيث  ك ثابت ..

دَ(س) = 2س - ك  = 0

اذاً  2س = ك  ، ومنها س = ½ك نقطة حرجة للدالة

الآن نوجد المشتقة الثانية :

دً(س) = 2

دً(2) = 2 ايضاً بما انها موجبة اذاً 2 قيمة صغر
          للدالة ، بالتعويض بـ ½ ك ؟؟

دً(½ ك) = قيمة صغرى ايضاً ؟؟؟

بالنظر الى الدالة نجد انها دالة تربيعية مفتوحة
لأعلى ( لأن معامل س موجب ) اذاً تحتوى
على قيمة صغرى واحدة فقط عند رأس المنحنى
وهنا نوجد رأس المنحنى :

                          - معامل س
الإحداثى السينى = ــــــــــــــــــــــ
                          2 معامل س²

           ك
= ـــــــــــــــــــــــ  = قيمة صغرى للدالة
           2

ولكن القيمة الصغرى عندما س = 2

           ك
اذاً : ــــــــــــــــ = 2
          2

ومنها  ك = 4


░ السؤال الثالث ░


                س+3                1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــ
                   4                  س


               1          -1
دَ(س) = ـــــــــــــ + ـــــــــــــ = 0   ومنها نحصل على
               4          س²

     1            1
ـــــــــــــ = ـــــــــــــ
  س²            4


اذاً  :  س² = 4   ، ومنها س = ± 2

وبعد هذا هناك اصفار لمقام الدالة : س² = 0 ، ومنها س = 0
مرفوض لأنها ليست ضمن الفترة [1،3]
وكذلك -2 مرفوض لأنها ليست ضمن مجال نفس الفرة .

اذاً : س = 2  نقطة حرجة للدالة فى الفترة  [1،3]


الآن نوجد المشتقة الثانية :

                  صفر(س²) - 2س(-1)      
دً(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                          (س²)²

             2س                     2
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ
            س^4                  س³

ندرسها عندما س =  2

               2             1
دً(2) = ــــــــــــــــ = ـــــــــــ  قيمة صغرى محلية لأنها موجبة .
             (2)³          4



ولكن طالما حدد الدالة فى فترة اذاً ينبغى التعويض ببداية الفترة
ونهايتها ، وكذلك التعويض  بالقيمة 2  اى التعويض فى الدالة
بالقيم   {1 ، 2 ، 3}

بالتعويض فى الدالة :

                س+3                1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــ
                   4                  س


د(1) =  2

د(2) =  1.75

د(3) = 1.83333333  بالتقريب

اكبرهم قيمة عظمى محلية ، واصغرهم قيمة صغرى محلية فى نفس الفترة .

اذاً : س = 1 قيمة عظمى محلية    ، س = 2 قيمة صغرى محلية .

►بعض الملاحظات :◄

السؤال الأول :

                                مشتقة ما داخل الجذر

مشتقة الجذر التربيعى = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                   2×الجذر نفسه

لذلك فإن : مشتقة : جذر(س² - 1)

              2س

= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ

       2 جذر(س² - 1)

            س

= ــــــــــــــــــــــــــــ

      جذر(س² - 1)

اللآن بمساواه كلاً من البسط ، والمقام بصفر

لإيجاد النقاط الحرجة .. البسط س = 0  

المقام = جذر(س² - 1) = 0

ومنها س² - 1 = 0  اذاً  س² = 0

س = ± 1

اذاً س = { ±1 ، 0 } نقاط حرجة للدالة .

►السؤال الثانى◄

يمكن حلة مباشرةً من خلال معرفتنا انها دالة

تربيعية معامل س² فيها موجب اذاً فتحة المنحنى

لأعلى .. يترتب لعيه ان رأس المنحنى لأسفل

ان ان احداثى رأس المنحنى = قيمة صغرى مطلقة .

وهنا قانون الإحداثى السينى لرأس المنحنى

            - معامل س

= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

           2  معامل س²

        - (-ك)                   ك

= ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ

          2×1                   2

ولكنه ذكر فى السؤال ان القيمة الصغرى = 2

            ك

اذاً : ـــــــــــــــ = 2      ، ومنها ك = 4

           2

السؤال الثالث : اظن قد غطيتنا معظم جوانبه ..

تابع القراءة

0 معلومات عامة عن أعداد بيرنولى

تظهر اعداد بيرنولى فى دالة زيتا الريمانية، وايضاً فى التكامل الظلالى
ونشر بعض المتسلسلات، حيث تهتم بدراسة معاملات الحدود فى مجاميع
(ن-1)^م  حيث م تنتمى لمجموعة الأعداد الطبيعية

م = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .................}

حيث تم دراسة ان حاصل جمع( summation ) تلك المعاملات = 0

مثال : 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ......

تمثل فى العلاقة  ½ن² - ½ن
وكما يلاحظ ان ½ - ½ = 0
لأن ب0 = 1  ، ب1 = ½   حيث ب اختصار لأول حرف من بيرنولى، ويفضل كتبابتها بالإنجليزية .

وتمثل فى تلك العلاقة ( يطول شرحها الآن )

2             2
 ق  ب0 +  ق ب1  = 0
   0            1


◄قيم اعداد بيرنولى الفردية فيما عدا الواحد معدومة = 0

تمثل اعداد بيرنولى فى تلك العلاقة، لكل (ن-1)^م

(م+1)      (م+1)          (م+1)                (م+1)
      ق ب0 +    ق  ب1 +      ق ب2 + .... +     ق ب م  = 0
        0             1                 2                      م


مثال : نريد ان نوجد قانون عام لهذه المتسلسلة :

1² + 2² + 3² + ........... + ن²

بناء على تعريف خاص ( لأعداد بيرنولى ) نوجد اولا ً مجموع
المتلسلسة 0² + 1² + 2² + 3² + ...... + ن²

                              1               م       (م+1)
من تلك العلاقة :  ــــــــــــــــــــــــ مــــــــــــج       ق  ب(ك) ن^(م+1-ك)
                             م+1          ك=0             ك

حيث ن = عدد الحدود = الحد الآخير .

ب0 = 1  ، ب1 = -½  ،  ب2 = 1\6

      1           3                  3                    3
ـــــــــــــــــــــ [  ق ب0  ن³ +  ق ب1 ن² +  ق  ب2 ن ]
      3              0                   1                   2

      1              3               ن
= ــــــــــ [ن³ - ـــــــــ ن² + ـــــــــــ ]
      3              2               2

      1                  ن - 3ن²
= ــــــــــــ [ن³ + ـــــــــــــــــــــــ]
      3                      2

       ن³           ن - 3ن²                   2ن³ - 3ن² + ن
= ــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ =  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
       3                6                                6


     ن (2ن² - 3ن + 1 )            ن (ن - 1) (2ن - 1 )
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 6                                  6

وهكذا تم استنتاج القانون، ولكن هذا القانون يبدأ من مجموع الصفر
لذلك اذا اردنا ان يكون قانون صالح للبدأ من الواحد الصحيح، نضع ن+1 للطرفين
بدلاً من ن فقط ..

(ن+1)(ن+1-1) (2(ن+1) - 1 )                ن (ن+1) (2ن+1)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =   ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
              6                                                  6


اظن الموضوع طويل ويحتاج الى وضوح اكثر من ذلك، لذلك نكتفى بهذا القدر ... تحياتى.

تابع القراءة

1 هل هناك قواعد عامة لمعرفة قابلية القسمة على عدد ما ؟

فى نظرية الأعداد من خصائص التطابقات :

اذا كان أ ، ب عددين صحيحين بحيث ان :

   أ
ـــــــــــ =  م ن + ب
  ن

حيث ن ، م عدد صحيح ، ب هو باقى قسمة أ على ن
وتكتب العلاقة السابقة بتلك الصورة :

أ ≡ ب (مود ن)  ، وتقرأ : أ يطابق ب  مود ن

مثال : 5 ≡ 1 (مود 2)

لأن 5 تقبل القسمة على 2 ، والباقى 1

الخاصية الأهم فى انظمة التطابقات، والتى
نحن بصددها الآن هى :

اذا كان : أ ≡ ب (مود ن)

فإن : د(أ) ≡ د(ب) (مود ن)

حيث د : دالة فى س يعنى قد تكون د(س) = س²
او د(س) = 2س ، وا د(س) = س² + 2س + 1 .. الخ

مثال : 5 ≡ 1 (مود 2)

وبفرض دالة فى س :  د(س) = س²

اذاً : د(5) ≡ د(1) (مود 2)

      25 ≡ 1 (مود 2)

اتمنى ان تكون هذه الخطوة واضحة لأنها محور الأساس .


► قابلية القسمة على اى عدد صحيح◄

ليكن : أ ، ب عددان صحيحان ، ن كذلك بحيث

 أ ≡ ب (مود ن)

وبفرض دالة فى س  .. لكن ما هى ؟؟ هل نختار اى دالة ؟؟
بالطبع لا .. الدالة المختارة هى دالة النظام العشرى .. وهى
(( قبل الإنتقال لهذه الخطوة يفضل استعمال متصفح موزيلا
فاير فوكس لكى تظهر الرموز واضحة ))

د(س) = أ₀ س⁰ + أ₁ س¹ + أ₂ س² + ... + أر س^ر

مثال قبل الشرح : العدد 123 يمكن وضعه على الصورة :

123 = 3 + 20 + 100

اى ان قيمة 3 فى الآحاد كما هى ، وقيمة 2 فى العشرات
 = 20 (يعنى 2 × 10) وقيمة 1 فى الأولف = 100= (10^2)

لذلك يمكن نشر العدد 123 بهذه الصورة ايضاً :

123 = 3×(10)⁰ + 2×(10)¹ + 1×(10)²

حيث تم استبدال س بالعدد 10 .

الآن بالعودة الى ما كنت نتحدث عنه ..
ليكن : أ ≡ ب (مود ن)

وبفرض د : بحيث :

د(س) = أ₀ س⁰ + أ₁ س¹ + أ₂ س² + ... + أر س^ر

فهذا معناه ان :

د(أ) ≡ د(ب) (مود ن)

د(أ) : يعنى احذف كل س وضع أ
د(ب) : احذف كل س وضع ب

░ او مثال عملى قابلية القسمة على 3 ░

يقبل عدد ما القسمة على 3 اذا كان مجموع ارقامه
تقبل القسمة على 3 ايضاً، واذا كان العدد كبير
نستطيع تكرار الخوارزمية للوصول الى النتيجة .

مثال :  123 يقبل القسمة على 3 لأن 3+2+1=6

الإثبات :

نبدأ عند :  أ ≡ ب (مود ن)

وبوضع ن = 3  ، أ = 10
تعلم ان 10÷3 = 9 ، والباقى 1 اذاً  ب = 1

10 ≡ 1 (مود 3)     مما يعنى ان :

د(10) ≡ د(1) (مود 3)

وبفرض دالة فى س بحيث :
د(س) = أ₀ س⁰ + أ₁ س¹ + أ₂ س² + ... + أر س^ر

الآن نوجد كلاً من د(10) ، د(1)

د(10) = أ₀×(10)⁰ +أ₁ (10)¹ + .... + أر (10)^ر

لاحظ ان 10^0 = 1  .. وايضاً لاحظ ان
أ₀ القصد منها رقم الآحاد ، أ₁ رقم العشرات ... وهكذا

مما سبق نستنتج ان د(10) = العدد الأصلى الذى
نريد إختبار قابلية القسمة عليه ..

د(1) = أ₀×(1)⁰ +أ₁ (1)¹ + .... + أر (1)^ر

      = أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر

لأن (1) اس اى عدد هو نفسه .. بالعودة الى :

د(10) ≡ د(1) (مود 3)

اذاً :

العدد الأصلى ≡ أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر (مود 3)

نستنتج ماذا ؟؟

نستنتج انه اذا كان العدد الأصلى يقبل القسمة على 3
فإنه لابد ان يتحقق ان :  أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر
يقبل القسمة على 3 ايضاً .. هل تعلم ما معنى

 أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر       ؟؟

المقصود منها جمع العدد الأصلى مع عدم مراعاه الضرب
فى (10)^ر  .. يعنى بإختصار اجمع ارقام العدد ..


مثال : اثبت ان : 170962368  يقبل القسمة على 3

الحل : 8+6+3+2+6+9+0+7+1 = 42
ولكن 42 تقبل القسمة على 3 لأن : 2+4 = 6

► قابلية القسمة على 11◄

بما ان : 10 ≡ -1 (مود 11) اذاً د(10)≡د(-1) (مود ن)

العدد الأصلى ≡  أ₀ + أ₁ (-1) + أ₂ (-1)²
                              + .... + أر (-1)^ر (مود ن)

مما سبق نلاحظ انه يقبل عدد ما القسمة على 11
اذا كان مجموع الخانات الفردية - مجموج الخانات الزوجية
يقبل القسمة على 11 :

مثال 1) 121 يقبل القسمة على 11 لأن : (1+1) - 2 = 0
والصفر يقبل القسمة على 11 .

مثال 2) 765457  يقبل القسمة على 11 لأن :

(7+4+6) - (5+5+7) = 0

مثال 3) العدد 105075795 يقبل القسمة على 11 لأن :

(5+7+7+5+1) - (9+5+0+0) = 11


► قابلية القسمة على 7◄

بما ان : 10 ≡ 3 (مود 7) اذاً د(10)≡د(3) (مود 7)

العدد الأصلى ≡  أ₀ + أ₁ (3) +...+ أر (3)^ر (مود 7)

ولكن لاحظ انك مهما رفعت (3) لأى اس فإنها لا تقبل
القسمة على 7 لماذا ؟؟ لأن 3 عدد اولى ولا يوجد
بينم عوامله ( بعد رفعه الى قوى ) لا يوجد بينهم 7
وهذا معناه انه يقبل عددا ما ( صحيح ) القسمة
على 7 اذا ما جمع ارقامه بعد ضرب الآحاد فى (3)^0
وضرب العشرات فى 3 ، وضرب المئات فى (3)² ... وهكذا
كل هذا المجموع يقبل القسمة على 3 .. لكن الا ترى
انها طريقة بطيئة نسبياً ؟؟
نفرض ان العدد الذى يقبل القسمة على 7 هو :

ع =  أ₀+أ₁ (10)...+ أر (10)^ر

بأخذ 10 عامل مشترك من الطرف الايسر ..

ع =  10[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] + أ₀

بضرب الطرفين فى -2  ...

-2ع = -20 [أ₁+...+ أر (10)^ر-1] - 2أ₀

بطرح :  [أ₁+...+ أر (10)^ر-1] ثم جمعه ..

-2ع = -21[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] +[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] - 2أ₀

ولكن ع تقبل القسمة على 7 وهذا بدوره يؤدى الى
ان -2ع ايضاً تقبل القسمة على 7  .. وكذلك الطرف
الايسر يقبل القسمة على 7 ، ولكن -21 من مضاعفات 7
وهذا معناه ان :[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] - 2أ₀

يقبل القسمة على 7 ايضاً ، ولكن ما هو :
[أ₁+...+ أر (10)^ر-1]

هذا هو العدد نفسه بعد حذف الآحاد منه
بينما : - 2أ₀ = - ضعف الآحاد  .. بإختصار

يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان مجموع
سالب ضعف الآحاد الى العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد )
يقبل القسمة على 7 :

ملحوظة : يمكن تكرار الخوارزمية للوصول الى الهدف :-

مثال1) 49 تقبل القسمة على 7 لأن :

4 - (9×2) = -14  تقبل القسمة على 7

(( طبعاً هذه اعداد صغيرة ومن المعلوم انها تقبل
القسمة على 7 بدون اختبار حتى ))

مثال 2)  هل   32123  يقبل القسمة على 7 ؟؟

3212 - 6 = 3206

نلاحظ ان هذه الخطو لم تبين لنا ايضاً العدد يقبل القسمة
على 7 اما لا (( ببساطة ان العدد مازال كبير نسبياً ))
لذلك نكرر نفس الخطوات الى ان تأتى عند قيمة تعلم
انها تقبل القسمة على 7  ... تابع


320 - 12 = 308

30 - 16 = 14  ولكن 14 تقبل القسمة على 7

اذاً، وبعد تكرار الخوارزمية ثلاث مرات وصلنا الى ان :
32123 يقبل القسمة على 7 بدون باقٍ .


► بصفة عامة نريد ذكر التالى◄


اولاً : ►قابلية القسمة على 2 ◄
) يقبل عدد ما القسمة على 2 اذا كان آحاده يقبل
 القسمة على 2 .

ثانياً : ►قابلية القسمة على 3◄
 يقبل عدد ما القسمة على 3 اذا كان مجموع
 أرقامه يقبل القسمة على 3 .

ثالثاً : ►قابلية القسمة على 4 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 4 اذا كان
مجموع كلاً من آحاده وضعف عشراته يقبل القسمة على 4 .

او : يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان
 العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 .

رابعاً : يقبل عدد ما القسمة على خمسة اذا كان آحاده 0 او 5    .
خامساً : يقبل عدد ما القسمة على 6 اذا كان يقبل القسمة على
2 ، 3 معاً .

سادساً : ►قابلية القسمة على سبعة◄

يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان مجموع
سالب ضعف الآحاد الى العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد )
يقبل القسمة على 7 :

سابعاً : ►قابلية القسمة على 8 ◄
يقبل عدد ما القسمة على 8 إذا كان
( الآحاد + 2 × العشرات + 4 × المئات ) يقبل القسمة على 8

ثامناً : ►قابلية القسمة  على 9 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 9 اذا كانت مجموع
ارقامه تقبل القسمة على 9 .


تاسعاً : ►قابلية القسمة على 11 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 11 اذا كانت مجموع
ارقامه ( بإشارات مختلفة ) تقبل القسمة على 11 .

وايضاً : يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية
 ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )

عاشراً : ►قابلية القسمة على ضرب عددين أوليين فيما بينهما ◄

يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان
 يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24  يقبل القسمة على 2 , 3     إذن 24  يقبل القسمة على 6
 45   يقبل القسمة على 5 , 3     إذن 45  يقبل القسمة على 15

إذا كان العدد يقبل القسمة على 3 و 4  فإنه يقبل القسمة على  12

إذا كان العدد يقبل القسمة على 2 و 9  فإنه يقبل القسمة على 18

وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى
 بإتباع القاعدة السابقة

ملاحظة: ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لا يعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة
 على 8 لأن 2 ، 4 غير أوليين فيما بينهما


11 )  ►قابلية القسمة على 25 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 25 اذا كان آحاده + 5×( عشراته )
يقبل القسمة على 5  .
او :
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون
 من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25  أو كان
 كلاً من رقمي الآحاد والعشرات صفراً .

►قابلية القسمة على 13◄        

يقبل عدد ما القسمة على 13 اذا تحقق
 ب  -  9( آحاده ) يقبل القسمة على 13
والأسهل من ذلك هو : يقبل عدد ما القسمة على
 13 إذا كان ب + 4(آحاده) يقبل  القسمة على 13

حيث ب : تعنى العدد نفسه بعد حذف الآحاد منه .

►قابلية القسمة على 17◄

يقبل عدد ما القسمة على 17 اذا كان
العدد ( بعد حذف آحاده) - 5×آحاده
يقبل القسمة على 17  .

مثال1) 2278 يقبل القسمة على 17 لأن :

227 - (5×8) = 187  وبتكرار الخوارزمية مرة ثانية

18 - (7×5) = -17   وهو المطلوب .

►قابلية القسمة على 19◄

يقبل عدد ما القسمة على 19 اذا كان :
العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد) + 2×آحاده
يقبل القسمة على 19 :
لاحظ : انها حالة تشبه قابلية القسمة على 7 ايضاً
لكن الإشارة هنا  ( + ) فقط .

مثال 1) 323 تقبل القسمة على 19 لأن :

32 + 6 = 38 = 2×19

مثال2) 976  لا تقبل القسمة على 19 لأن :

97 + 12 = 109  بتكرار الخوارزمية مرة ثانية

10 + 18 = 28 لا تقبل القسمة على 19 .

►قابلية القسمة على 23◄

يقبل عدد ما القسمة على 23 اذا كان :
العدد (بعد حذف الآحاد) + 7×آحاد
يقبل القسمة على 23 .

مثال) 13754  يقبل القسمة على 23 لأن :

1375 + (4×7) = 1403 ، بالتكرار مرة ثانية

140 + (3×7) = 161 ، بالتكرار مرة ثالثة ..

16 + (1×7) = 23

لذلك العدد الأصلى : 13754 يقبل القسمة على 7 .

► قابلية القسمة على 29◄

يقبل عدد ما القسمة على 29 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف الآحاد) + 3×الآحاد
يقبل القسمة على 29   .

مثال) 17023  يقبل القسمة على 23 لأن :

1702 + (3×3) = 1711 ، بالتكرار مرة ثانية

171 + 3 = 174  بالتكرار مرة ثالثة ..

17 + (3×4) = 29

►قابلية القسمة على 31◄
يقبل عدد ما القسمة على 31 اذاً تحقق :
العدد (بعد حذف الآحاد) - 3×الآحاد
يقبل القسمة على 31  .

مثال) 216597  يقبل القسمة على 31 لأن :

21659 - (3×7) = 21638  بالتكرار مرة ثانية

2163 - (3×8) = 2139 بالتكرار مرة ثالثة ..

213 - (3×9) = 186  بالتكرار مرة رابعة ..

18 - (3×6) = 0  ، ولأن الصفر يقبل القسمة على 31

لذلك العدد الأصلى : 216597  يقبل القسمة على 31

►قابلية القسمة على 37◄

يقبل عدد ما القسمة على 37 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 11×آحاده
يقبل القسمة على 37  .

مثال : 24346  يقبل القسمة على 37  لأن :

2434 - (11×6) = 2368  بالتكرار مرة ثانية

236 - (8×11) = 148  بالتكرار مرة ثالثة..

14 - (8×11) = -74 = -2×37

►قابلية القسمة على 41◄
يقبل عدد ما القسمة على 41 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 4×آحاده
يقبل القسمة على 41 .

مثال : 28167  يقبل القسمة على 41 لأن ..

2816 - (4×7) = 2788  ، بالتكرار مرة ثانية

278 - (4×8) = 246  ، بالتكرار مرة ثالثة ..

24 - (6×4) = 0

►قابلية القسمة على 43◄
يقبل عدد ما القسمة على 43 اذا تحقق :
العدد(بعد حذف آحاده) + 13×آحاده
يقبل القسمة على 43 .

مثال:) 30014  يقبل القسمة على 43 لأن :

3001 + (4×13) = 3053  بالتكرار مرة ثانية..

305 + (3×13) = 344  بالتكرار مرة ثالثة ..

34 + (4×13) = 86 = 2(43)

اى انها من مضاعفات 43 ، وبما انها من مضاعفات
43 اذاً تقبل القسمة عليها ..

►قابلية القسمة على 47◄
يقبل عدد ما القسمة على 47 اذاً تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 14× آحاده
يقبل القسمة على على 47 .

مثال ) 44509  يقبل القسمة على 47 لأن :

4450 - (9×14) = 4324 ، بالتكرار مرة ثانية..

432 - (4×14) = 376  ، بالتكرارة مرة ثالثة ..

37 - (6×14) = -47   ( وهو المطلوب )


░ مثال آخير يضم بعض افكار ما سبق ░

بين ان : 691845  يقبل القسمة على 105

افضل طريقة من وجهة نظرى هى التحليل
لكن احياناً عندما تكون سريع فى اختبار
قابلية القسمة فإن الطريقة الثانية تكون
مناسبة لك .. الآن نريد اختبار القسمة
على 105 .. ولكن 105 ليس عدد أولى
بتحليل 105 الى عواملها الأولية ..

105 = 3×5×7

اذاً كأن السؤال هو : بين ان :691845
يقبل القسمة على 3 ، 5 ، 7  معاً .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 3 لأن
مجوع الأرقامه تقبل القسمة على 3 .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 5 .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 7 لأن :

69184 - (5×2) = 69174  بالتكرار مرة ثانية ..

6917 - (4×2) = 6909  بالتكرار مرة ثالثة ..

690 - 18 = 672  بالتكرار مرة رابعة ..

67 - 4 = 63  بالفعل تقبل القسمة على 7

لاحظ : 63 ÷ 7 = 9


اذاً : العدد 691845 يقبل القسمة على 105  .



يجذر الإشارة الى انه عند اختبار قابلية القسمة على 7
للأعداد الكبيرة حيث يصعب تكرار الخوارزمية مثلاً 17 ، او 20
او 30 او 50 مرة ..... الخ

وهنا نشير الى مجموع باسكال، وكمثال تطبيقى

اثبت ان العدد : 2739873661  يقبل القسمة على 7

سير العمليات يتطلب من ان تقوم بجمع هذه الأرقام
جميعاً .. لكن بشرط .. ماهو ؟؟
بعد ضرب الآحاد فى 1 ، العشرات فى 3 ، المئات فى 2
ثم تكرر نفس الخطوات مع الثلاثة خانات التى تليها
لكن بإشارة مخالفة .. يعنى - الألوف - 3× عشرات الألوف
- 2 × مئات الاولف .. ثم تكرر نفس الخطوات مع الثلاث
خانات التى تليها لكن بإشارة (+) ... وهكذا الى ان تأتى
بآخر رقم على يسار العدد .. ثم اجمع كل هذه العمليات
بحيث اذا كان المجموع يقبل القسمة على 7 كان العدد
الأصلى يقبل القسمة كذلك على 7 .

2739873661      (( رتب حلولك فى اقواس جيداً ))

(1+ 3×6 + 2×6) - (3 + 3×7+ 2×8)
+ (9 + 3×3 + 2×7) -2

= 21   يقبل القسمة على 7  .. اذاً

2739873661 يقبل القسمة على 7 بدون باقٍ .

► تفسير الطريقة◄

نفرض ع عدد صحيح بحيث ان :

ع = أ₀ + أ₁ (10)¹ + أ₂ (10)² + ... + أر (10)^ر

ثم ندرس انظمة بواقى قوى العدد عشرة .

      1    ≡  1               (مود 7)
      10  ≡  3               (مود 7)
  (10)²  ≡  2               (مود 7)
  (10)³  ≡  -1              (مود 7)
  (10)^4 ≡ -3              (مود 7)
  (10)^5 ≡ -2              (مود 7)
  (10)^6 ≡ 1               (مود 7)
  (10)^7 ≡ 3              (مود 7)
  (10)^8 ≡ 2              (مو9 7)

.
.
.
وهكذا استمر الى مالانهاية لتجد انك امام متتابعة
تكرر نفسها كل ثلاث خطوات على التوالى
1
3
2
ثم
-1
-3
-2

واذا ما اخذنا سالب واحد عامل مشترك يتبين ان
الإشارة ما بين الاقوس فقط تتغير هكذا + - + - + ....

للمزيد

تابع القراءة

15 اوجد س ص اذا علمت ان س+ص=2 ، س^4+ص^4=16 ؟

(س+ص) = 2  بتربيع الطرفين

س² + 2س ص + ص² = 4     ..(1)

بما ان : س^4 + ص^4 = 16   اذاً

(س² + ص²)² - 2س²ص² = 16    ..(2)

ولكن : س² + 2س ص + ص² = 4      ..(1)

اذاً : س² + ص² = -2س ص + 4

بالتعويض فى (2) ينتج ...

(-2س ص + 4 )² - 2س²ص² = 16    ..(2)

4س²ص² +16-16س ص - 2س² ص² = 16

2س²ص² -16س ص = 0

(( لأننا حذفنا 16 من الطرفين ))
الآن بتحليل الطرف الأيمن ..

2س ص (س ص - 8 ) = 0

اما 2س ص = 0  ومنها س ص = 0

واما : س ص - 8 = 0  ومنها س ص = 8

اذاً :  س ص = 0    او  س ص = 8


░░ للتأكد من حلك  اصنع الآتى ░░

س+ص = 2
س ص = 0

عند حلك لهذا النظام ينتج ان  س = 0 ، ص = 2  او العكس ..
وبالفعل هذا الحل يحقق النظام الأساس ، والذى هو :

س+ص = 2
س^4 + ص^4 = 16

كذلك حل النظام :

س+ص=2
س ص = 8

بعد حلك له ينتج ان : س = 1+ت جذر(7)  ، ص = 1 - ت جذر(7)  .. والعكس صحيح
حيث : ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

وبالفعل هذا الحل يحقق ايضاً النظام ا لأساسى الذى نحن بصدده ..
ارشاد : تستطيع استخدام نظرية ذات الحدين عند النشر .

تابع القراءة

0 بعد كم دقيقة يتقابل الثلاثة معاً .. ؟

يدور ثلاثة أشخاص في مسار دائري
الأول يتم الدورة كاملة في 12 دقيقة
والثاني في 30 دقيقة
والثالث في 45 دقيقة
فعند كم دقيقة يلتقون الاشخاص الثلاثة ؟
علما ان نقطة الانطلاق للاشخاص الثلاثة هي واحدة .

لنضع :
           1
الأول : ــــــــــ / دقيقة ( اى يقضى 1÷12 من الدائرة
          12                  فى الدقيقة الواحدة )

             1
الثانى : ــــــــــــ / دقيقة
             30

              1
الثالث : ـــــــــــــــ / دقيقة
             45

ثم بعد س دقيقة تقابلوا معاً :

 س           س          س
ــــــــــــ ، ــــــــــــــ ، ــــــــــــ
 12          30            45

المضاعف المشترك الأصغر لـ (12 ، 30 ، 45)
يحدد اول نقطة تلاقى لهم، ثم باقى المضاعفات
تحدد بقية نقاط التلاقى .. المهم

12 = (2)² × 3
30 =   2  × 3 × 5
45 =       (3)² ×5    

اذاً المضاعف المشترك الاصغر = 45×4 = 180

اى بعد 180 دقيقة .. ثم 180 ن

حيث ن = {1 ، 2 ، 3 ، ....}

ْ░░ الخطوات المنطقية للحل ░░

اما اذا اردت الخطوات المنطقية، لأنه قد يسأل سائل

وكيف علمت ان المضاعف المشترك الاصغر لهذه الأعداد

يحقق عدد الدقائق عند او نقطة تلاقى، فهذا وان دل

فإنما يدل على انهم لابد ان يتقابلوا فى نفس النقطة البدء ..!

والسؤال هنا هل يمكن لعدد الدقائق ان يكون عدد، وكسر ؟؟

من جهة أخرى .. هل يمكن ان يتلاقوا فى نقطة تمثل كسر

من دائرى ؟؟ .. والإجابة على السؤال تتلخص بالآتى .. والبرهان

بالتناقض .. لنفرض انهم تقابلوا فى نقطة تمثل جزء من دائرة

، فيكون يدينا النظام الآتى :

    س

ــــــــــــــــ = أ + ث       ..(1)

    12

    س 

ـــــــــــــــ = ب + ث      ..(2)

    30

    س

ـــــــــــــــ = جـ + ث     ..(3)

    45

حيث كلاً من أ ، ب ، جـ  ، اعداد صحيحة ،ث عدد نسبى او غير نسبى

حتى لكنه ثابت  ( بالفرض )  .. الآن من خلال تلك الأنظمة

نستنتج انه _ ومباشرةً _ 

12(أ+ث) = 30(ب+ث) = 45(ب+ث)

بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد

وهو : 3

4(أ+ث) = 10(ب+ث) = 15(ب+ث)

بتوزيع الأعداد على الأقواس ..

4أ+4ث = 10ب+10ث = 15ب+15ث

الآن بحذف 4 ث من جميع الأطراف الثلاثة .. فينتج

4أ = 10ب+6ث = 15ب+11ث

ولكن أ عدد صحيح ( بالفرض ) وهذا يؤدى الى ان

4أ ايضاً عدد صحيح .. ولكن هذا يناقض الفرض ان

ث عدد ( نسبى او غير نسبى ) .. اذاً ث ايضاً

عدد صحيح .. من خلال ذلك ينتج انه اما ث

عدد صحيح ، واما ث عدد صحيح لكنه معدوم

اى لا اهمية له، فقط تعرفنا على انه لابد من ان 

يتلاقوا عند نفس نقطة البدء .. وهذا بدوره يؤدى الى :

ان كلاً من :

   س           س            س

ـــــــــــــ ، ـــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــ

   12            30            45

هى عبارة عدد دورات ( اعداد صحيحة )

اى تقبل القسمة بدون باقٍ .. لذلك فإن

اول نقطة تلاقة ( عند نفس نقطة البدء )

بعد عدد دقائق ( صحيح ) وليكن س ، وتكون

س هى المضاعف المشترك الأصغر لهذه

الأعداد : (12 ، 30 ، 45) .. م.م.أ = 180

تابع القراءة

1 إثبت صحة المتطابقات المثلثلية الآتية

اثبت ان :
(جتاجـ - جاجـ)² =1 - جا2جـ

‏****************************
الطرف الايمن = (جتاجـ - جاجـ)²

= جتا²جـ + جا²جـ - 2جاجـ جتاجـ

= 1 - جا2جـ       ( وهو المطلوب )


░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اثبت أن ::جتا 2 أ على 1+جا 2أ= 1-ظا أ على 1+ظا أ

‏****************************
الحل :
                           جتا2أ
الطرف الأيمن = ــــــــــــــــــــــــــ
                          1+جا2أ


         جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        1 + 2جاأ جتاأ

ولكن يمكن تعريف 1 على انه جا²أ + جتا²أ


            جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      جتا²أ + 2جاأ جتاأ + جا²أ

            جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (جتاأ + جاأ)²

لماذا ؟؟ لأن المقام اصبح مربع كامل ..
الآن نقوم بتحليل البسط ( فرق مربعين )

      (جتاأ + جاأ) (جتاأ - جاأ)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (جتاأ + جاأ)²


          جتاأ - جاأ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ    ( بعد الإختصار )
         جتاأ + جاأ

(( وأخيراً بقسمة البسط ، والمقام على جتاأ ))

       1 - ظاأ
= ــــــــــــــــــــــ = الطرف الايسر ( وهو المطلوب )
      1 + ظاأ

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اذا كان جاس+جتاس = 1/جذر(2)..اوجد قيمة جا2س
الحل:
                                1
       جاس+جتاس = ــــــــــــــ
                            جذر(2)

بتربيع الطرفين :
                                               1
جتا²س+جا²س + 2جاس جتاس = ـــــــــــ
                                               2

                     1
1 + جا2س = ــــــــــ
                     2

وهذا معناه ان : جتا2س = ½ - 1 = -½

تابع القراءة