0 اوجد جميع الحالات التى يكون أعداد زوجية متتالية مجموعها 1056

يمكنك تعميم المسألة حيث تفرض أن الحد الأول هو 2ن
والحد الأخير هو 2ن + 2ك حيث ك ، ن أعداد طبيعية
فيصبح شكل الأعداد هكذا : 2ن + (2ن+2) + (2ن+4) +...+(2ن + 2ك)
وبإستخدام تعريف مجموع المتتابعة الحسابية .. التى عدد حدودها ك+1   كيف ؟ .. فكر فيها
قانون متتابعة حسابية يتعين من خلال :


                عدد الحدود [الحد الأول + الحد الأخير]
المجموع = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                       2



  (ك+1) [2ن + 2ن + 2ك]
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 1056
                2


(ك+1) [4ن + 2ك]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 1056
           2

بقسمة البسط والمقام على 2

(ك+1) (2ن + ك) = 1056


بتوزيع الأقواس ينتج ..

2ك ن + ك + 2ن + ك² = 1056


= 2ن ك + 2ن + (ك²+ك) = 1056


= 2ن(ك+1) + (ك²+ك) = 1056


2ن(ك+1) = 1056 - (ك²+ك)


         1056 - (ك²+ك)
2ن = ـــــــــــــــــــــــــــــــ
              (ك+1)



        1056 - (ك²+ك)
ن = ـــــــــــــــــــــــــــــــ
            2 (ك+1)


لكل ن ، ك عددان طبيعيان

لاحظ أن : ك+1 = عدد الحدود والذى يكون
اكبر ما يمكن عندما يكون ك+1 = 32  كما اسلفنا

عندما : ك+1 = 32 فإن م = 31

المهم هو أن ك محصورة بين 1 ، 31

ولكن يجب ان يتحقق شطراً آخر وهو ان ن
عدد طبيعى .. لذلك لا يبقى لك سوى
التجريب (جرب عوض بـ ك من 1 الى 31)
بحيث تعطى ن عدد طبيعى .

وليكن ضع ك = 1  تعطيك ن = 263.5

ولكن 263.5 لا تنتمى لمجموعة الأعداد
الطبيعية .

والآن : ضع ك = 3 تعطيك ن = 175

عوض فى العلاقة

2ن + (2ن+2) + (2ن+4) +...+(2ن + 2ك)

بعدد حدود = ك+1 = 2 + 1 = 3 حدود

ن = 175   .. عوض

(2×175) + [(2×175)+2] + [(2×175)+4]


= 350 + 352 + 354 = 1056

وهكذا انشأت لك خوارزمية تستطيع ان توجد بها جميع الحالات التى
 تحقق الشروط المذكورة فى سؤالك :-

وبناء على التجربة والتحقق ظهر لى أن جميع الحالات الممكنة ثلاث حالات وهم :


الحالة الأولى : عدد الحدود = 3


 350 ، 352 ، 354


الحالة الثانية : عدد الحدود = 11


86 ، 88 ، 90 ، 92 ، 94 ، 96 ، 98 ، 100
102 ، 104 ، 106


الحالة الثالثة : عدد الحدود = 32


2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18
20 ، 22 ، 24 ، 26 ، 28 ، 30 ، 32 ، 34
36 ، 38 ، 40 ، 42 ، 44 ، 46 ، 48 ، 50
52 ، 54 ، 56 ، 58 ، 60 ، 62 ، 64

تابع القراءة

3 متى تكون نهاية الدوال الكسرية عند صفر من أصفار مقامها موجودة ؟

في الدوال الكسرية هناك قيمة تعدم المقام غالباً "و ليس دائماً" و بالتالي هذا العدد يقسم مجموعة التعريف إلى مجالين , و عند إيجاد النهاية عند هذا العدد من اليمين و من اليسار تكون أحدهما من تساوي + لا نهاية و الأخرى - لا نهاية , إذا هل لهذا التابع نهاية عند هذا العدد ؟ طالما لم تتساوى النهاية من اليمين و من اليسار ؟ و هل يمكن التعميم أن أي تابع كسري من نفس الشكل ليس له نهاية عند القيمة التي تعدم المقام ؟

مثال :
f(x) =1/x-3
مجموعة التعريف : هي R/{3}
أو :
]3,+∞[اجتماع]-∞,3[
النهاية عند 3 من اليمين تساوي +∞

النهاية عند 3 من اليسار تساوي -∞

النهاية من اليسار لا تساوي النهاية من اليمين   , إذا أين النهاية ؟

الرسم البياني :

الدوال الكسرية تستطيع ان تقسمها الى ثلاثة أنواع .

النوع الأول : أصفار المقام لا تنتمى لمجموعة الأعداد
الحقيقية، وهذا النوع مجاله IR .

النوع الثانى : أصفار المقام تنتمى لمجموعة الأعداد
الحقيقية، ولكن النهاية غير موجودة عند صفر من
أصفارها او عند جميع أصفارها .

النوع الثالث : أصفار المقام تنتمى لمجموعة الأعداد
الحقيقية، ولكن النهاية موجودة عند صفر من أصفارها
او عند جميع أصفارها .

..........................................................
فى الغالب يتم الحل على هذا الأساس :-

              أ
نهــــــــا ـــــــــــــ
س←0   س^ن

حيث أ عدد حقيقى ، ن عدد طبيعى .

ليكن أ عدد موجب، فإنه اذا كانت ن عدد فردى
فالنهاية ليست موجودة لأنه النهاية على يمين
الصفر هى +∞ ، وعلى يسار الصفر هى -∞

فى حالة ن عدد زوجى فإن النهاية موجودة
عند الصفر ، لأن النهاية من اليمين = النهاية من
اليسار = +∞

أول ما يتبادر الى ذهنك هو وما علاقتى بالصفر
انا اتحدث عن نهاية الدالة عند اى عدد ما من
أصفار مقامها ولم أحدد الصفر فقط !

الإجابة : من السهل هنا ان تتعرف على أننا
نستطيع تحويل الدالة الكسرية الى تلك الحالات
السابقة .. وهذا ما سأتحدث عنه .. ونبدأ بالتدرج
فى الأمثلة .

أولاً : سأكتب المصطلحات بالعربى وما يقابلها بالإنجليزى ..

د(س) = f(x)

نهـــا = lim

ولا تنسى ان قرآتك من اليمين الى اليسار لأنى
أعلم انك تعودت على الرياضيات من اليسار الى
اليمين .. فـ مثلاً المقدار س^ن يقرأ س أس ن
وليس ن أس س .

                         1                  
الأمثلة : نهـــــــا ـــــــــــــ = +∞  او -∞
          س←0     س

فى الحقيقة النهاية هنا لم تتعين اذاً النهاية
غير موجودة .. يمكنك وضع س عدد موجب
يؤول الى الصفر فتجد ان النتيجة 1/عدد موجب
يؤول الى الصفر تعطى +∞

ولكن اذا اقتربنا من يسار الصفر فإن س
تصبح عدد سالب يؤول الى الصفر
1/عدد سالب يؤول الى الصفر يعطى -∞


لاحظ :

1  0.9   0.0001  ►0◄  -0.0001   -0.9  -1

مجرد تخطيط على خط الأعداد حتى تتخيل الإقتراب
على يمين ويسار الصفر .

                           1
مثال آخر : نهـــــــا ــــــــــــ = +∞
             س←0    س²


لماذا النهاية تعينت هنا ؟

الإجابة سهلة جدا : ضع س عدد موجب يؤول
الى الصفر ، اذاً موجب على موجب = موجب

ضع س عدد سالب يؤول الى الصفر ، هنا
تجد ان الأس التربيعى يلغى الإشارة السالبة
لأن سالب × سالب = موجب

اذاً فى جميع الحالات س² موجبة، وهنا اذ
تم الحل فى حقل الأعداد الحقيقة فإن
النهاية فى جميع الحالات سواء من اليمين
او اليسار  +∞

الفكرة العامة هى : الأس الفردى لا يلغى الإشارة
السالبة، ويتعامل مع الموجب موجب ومع السالب سالب
بينما الأس الزوجى لا تفرق معه فهو يتعامل مع الموجب
موجب، ومع السالب موجب أيضاً ..

من جهة أخرى تعلم انك لو قسمت تفاحة مثلاً
على مليار شخص هل أحد سيأخذ شىء ؟
بالتأكيد النتيجة تؤول الى الصفر كلما آل عدد
الأشخاص الى مالانهاية، وهذا نعبر عنه بـ

                  1
نهــــــــــــــا ــــــــــــ = 0
س←±∞     س


سواء س تؤول الى موجب مالانهاية او سالب
مالانهاية فإن الناتج يؤول الى الصفر، ولكن الفرق
بين الأولى والثانية هو ان الأولى الإقتراب يكون
على يمين الصفر، والثانى الإقتراب على يسار الصفر
وفى جميع الحالات فالنهايات تتعامل مع هذا النوع على
أنه صفر .

                                   أ          
بصفة عامة : نهــــــــــــا ــــــــــــــ = 0
                س←±∞      س

حيث أ عدد حقيقى .

                س
نهــــــــــا ــــــــــــــــ = ∞
س←∞        أ

حيث أ عدد حقيقى لا يساوى الصفر .

وبصفة عامة ايجاد النهاية عند اللانهاية يتعين
بالآتى :

اذا كانت درجة البسط اصغر من درجة المقام
فإن النهاية تساوى صفر ، واذا كانت درجة
البسط أكبر من درجة المقام فإن النهاية
تساوى مالانهاية .

ولنأتى الى المثال الذى ذكرته ..

                 1
د(س) = ـــــــــــــــــــ
             س - 3


المجال = ح - {3}

                               1
الآن نريد : نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
             س←3      س - 3

                                            1
عند التعويض بـ س = 3  فإن الناتج ــــــــ
                                            0

وهذه الكمية غير معرفة لأن القسمة على
الصفر غير جائزة .

النهاية هنا تؤول الى الـ 3 سنحولها الى نهاية
أخرى  (او ان شئت فقل وضعها فى قالب آخر)
بحيث نجعل النهاية تؤول الى الصفر .

نفرض أن المقام : س - 3 = ص

وعندما س تؤول الى 3 فإن ص
تؤول الى الصفر .. كيف ؟؟ عوض س = 3

3 - 3 = ص   ومنها ص = 0  او تؤول الى الصفر .

عوض فى النهاية الأصلية ...

            1
نهـــــــا ــــــــ
ص←0   ص

أنت قد علمت مسبقاً ان هذه النهاية غير موجودة
لأن النهاية على يمين الصفر لا تساوى النهاية على
يسار الصفر .

والآن لنأخذ نفس المثال ونعدل عليه قليلاً ..

                  1
نهــــــــا  ــــــــــــــــــــ
س←3      (س - 3)²

النهاية هنا موجودة وتساوى +∞ وللتأكد
نفعل نفس الخطوات ..

نفرض أن س - 3 = ص  ومنها اذا كانت
س تؤول الى 3 فإن ص تؤول الى الصفر .. عوض ..

              1
نهــــــــا ــــــــــــ
ص←0     ص²

وقد سبق وقلنا ان هذه النهاية موجودة لأن المقام
مرفوع لأس تربيع .

وبصفة عامة (وبدون تعويض)

               جـ
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــ
س←أ    (س - أ)^ن


غير موجودة فى حالة ن عدد فردى
موجودة فى حالة ن عدد زوجى .

ملحوظة : جـ عدد حقيقى .

اذا كان جـ عدد حقيقى موجب وكان ن عدد زوجى
فإن النهاية موجودة وتساوى +∞
اما اذا كانت جـ عدد حقيقى سالب فإن
النهاية موجودة وتساوى - ∞

تابع القراءة

1 اوجد منشور تايلور للدوال الآتية f(x,y) = x³ - 2x y² عند -1و1 ، tan^-1(y/x) عند 1و1

أولاً : يمكنك مطالعة الصيغة العامة لمنشور تايلور فى دالة متعددة المتغيرات على موقع ويكيبيديا .

ثانياً : مراجعة القواعد المقدمة على التفاضل الجزئى ومنها القاعدة : dz = dx fx + dy fy

حيث fx و fy هما المشتقة الجزئية بالنسبة لـ x و y على التوالى .

الآن يمكننا إعادة تعريف الدوال السابقة بدلالة مشتقاتها
الجزئية عندما تقترب الدالة من نقطة معينة (a,b)

بحيث : f(x,y) = f(a,b) + (x-a)fx(a,b)+(y-b)fy(a,b) + 1/2![(x-a)²fxx

(a,b)+2(x-a)(y-b)fxy(a,b)+(y-b)²fyy(a,b)] + ... ll


نلاحظ الترتيب فى الحدود كما هو الترتيب فى نظرية ذات الحدين .

الدالة الأولى يمكن نشرها فى صورة  متسلسلة منتهية من الحدود .
بحيث نوجد المشتقات الجزئية حتى المشتقة الثالثة .

f(x,y) = x³ - 2x y²
f(-1,1) = (-1)³ - 2(-1)(1)² = 1

fx = 3x² - 2y²
fx(-1,1) = 1

fy = 4xy
fy(-1,1) = -4

fxx = 6x
fxx(-1,1) = -6

fxy = 4y
fxy(-1,1) = 4

fyy = 4x
fyy(-1,1) = -4

fxxx = 6
fxxy = 0
fxyy = 4
fyyy = 0

الآن يمكننا النشر بـ :

f(x,y) = f(a,b) + (x-a)fx(a,b)+(y-b)fy(a,b) + 1/2![(x-a)²fxx(a,b)+2(x

-a)(y-b)fxy(a,b)+(y-b)²fyy(a,b)] + ... ll


f(x,y) = 1 + (x+1) - 4(y-1) + (1/2!) [-6(x+1)² + 8(x+1)(y-1) - 4(y-1)

²] + (1/3!) [6(x+1)³ + 12(x+1)(y-1)²]  ll

والتى يمكن ان تبسط أكثر من ذلك اذا تتطلب ذلك ..

وحتى لا نكرر نفس الخطوات مع الدالة الثانية (نظراً لطول الطريقة) لكن الأهم من الحل
هو فهم ما تتضمنه الطريقة، بحيث فى المتسلسلات اللانهائية لسنا مجبرين لإيجاد جميع
المشتقات (لان هذا مستحيل أصلاً) لأنها لا نهائية يكفى فقط تتبع الحدود الأولى منها بحيث
ننظر هل يمكن استنتاج ان الحدود تتخذ ترتيب معين نستطيع ان نعمم عليه بقية الحدود ان
امكن ذلك فهو أفضل بالتأكيد .

1) التركيز على متسلسلة تايلور فى متغير واحد (لأنه نفس الترتيب فى عدة متغيرات)

2) التدريب على قوانين المشتقات الجزئية، والتفاضل والتكامل فى متعدد المتغيرات .

3) مراجعة نظرية ذات الحدين بحيث الترتيب فى الحدود ذات العوامل ll 1/n! ll تتخذ نفس
الترتيب، او يمكنك مباشرة ً معرفة تسلسل عوامل ذات الحدين فى مثلث باسكال .


F(x,y)=tan^(-1)  (y/x)        (1,1)    ll


                                                    مشتقة الزاوية
بصفة عامة مشتقة الظل العكسى = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                    (الزاوية)² + 1

نراها قد تحولت الى كسر .. لذلك يمكن تطبيق قاعدة القسمة فى الإشتقاق ..


     مشتقة البسط × المقام  - مشتقة المقام × البسط
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                               (المقام)²

سنعطى نبذة فقط عن المشتقات الجزئية وبالتالى يمكنك التوسع فيها ان شئت
للوصول الى الدقة المطلوبة .

f(x,y) = tan^-1(y/x)   ll
f(1,1) = pi/4

fx = yln(x)/[(y/x)² + 1]  ll
fx(1,1) = 0

fy = (1/x)/[(y/x) + 1]   ll
fy(1,1) = 0.5

fxx = [(y/x)[[(y/x)² + 1] - 2(y/x)y²ln²(x)]/[(y/x) + 1]²   ll

fxx(1,1) = 0.5

ولكن توجد طريقة تسهل علينا عملية الإشتقاق وهى أن نضع y/x = u
    
اضغط هنا اذا لم يكن نص كتابة المعادلات واضح (نظراً لطول المتسلسلة)

تابع القراءة

14 كيف نوجد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر ؟

لثلاثة أعداد فأكثر ..

بتحليلك لجميع هذا الأعداد بصفة عامة ومن ثم
ضرب القواسم المشتركة فيما بينهما .


مثال :

390  ،  525  ،  1155

من الواضح أن جميع هؤلاء يقبلون القسمة
على 5 .

390 = 5 × 78

بقى فقط ان تحلل 78 الى عواملها الأولية .

78 | 2
39 | 3
13 | 13
1

اذاً : 390 = 2 × 3 × 5 × 13

بنفس الطريقة :

525 = 5 × 105

ولكن 105 تقبل القسمة على 5 ايضاً ..

525 = 5 × 5 × 21

تعلم ان 21 = 3 × 7   اذاً :

525 = (5)² × 3 × 7


وأخيراً : 1155 = 5 × 231

الآن حلل 231 الى عوامله الأولية .

231 | 3
77 |  7
11 | 11
 1


اذاً : 1155 = 3 × 5 × 7 × 11

الآن نضع جميع الأعداد للمقارنة ..

390 = 2 × 3 × 5 × 13

525 = (5)² × 3 × 7

1155 = 3 × 5 × 7 × 11

بالنظر الى عوامل أصغر عدد وهو 390
تجد ان أصغر عامل فيه هو 2  لكن هل
2 موجودة فى بقية الأعداد ؟ بالتأكيد لا
اذاً 2 ليست من ضمن عوامل القاسم
المشترك الأكبر .

ثم نأخذ العدد 3 لأنه مكرر فى جميع الأعداد .
وايضاً العدد 5 (فقط ولا نأخذ (5)² )

العدد 13 غير موجود فى بقية الأعداد .

وهنا نقول ان القاسم المشترك الأكبر لـ
هذا الأعداد = 3 × 5 = 15

ولكن ماذا عن المضاعف المشترك الأصغر ؟
بنفس الطريقة حللنا الأعداد ومن ثم نرتب هذه
الأعداد ( لكن هذه المرة الترتيب من الكبير الى الصغير )

1155 = 3 × 5 × 7 × 11

525 = (5)² × 3 × 7

390 = 2 × 3 × 5 × 13

أسهل طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأكبر
لهذه الأعداد هى أن نضع جميع هذه العوامل
(بدون أسس) وبدون تكرار .. ومن ثم نجرى
الخطوات الآتية : ( يفضل الترتيب )

العوامل الأولية لهذه الأعداد هى :

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13

ثم نأخذ العامل 2 المرفوع لأكبر أس نجد أن
أكبر أس هو 1 اذاً نأخذ 2 كما هى .
بنفس الطريقة خذ العامل 3 لنجد ان أكبر أس
مرفوع اليه هو 1 اذاً نأخذ 3 كما هى ..

الآن : العامل الأولى 5 أكبر أس مرفوع اليه
هو 2 اذاً نحذف 5 ونضع بدلاً منها (5)²

وأخيراً لاحظ كلاً من 7 ، 11 أكبر أس مرفوع اليهم
فى جميع هذه العوامل هو الأس واحد اذاً نأخذهم
كما هم .

المضاعف المشترك الاصغر هو :

2 × 3 × (5)² × 7 × 11 × 13 = 225225

تابع القراءة

0 هل هناك صيغة عامة لحساب مجموع سيجما ك^م لكل م عدد طبيعى ، ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...} ؟

كيف وصلنا للعلاقة


  ن               ن(ن+1)(2ن+1)
سيجما ن² = ـــــــــــــــــــــــــــ
ك=1                     6


؟؟

وكذلك

  ن                ن(ن+1)
سيجما ن³ = [ـــــــــــــــ]²
 ك=1                2


؟؟

وهل هناك حد عام عندما تكون ن^م ؟؟؟

فى الحقيقة تجد هذه الصيغ كلاً منهم مبنى على الذى قبله،
 وتجد لها أكثر من إثبات من ضمنها صيغ التكرار
او الـ recurrence relations  .. ولنبدأ من المربع الكامل .


(ك+1)² = ك² + 2ك + 1        ما هى ك ؟


الإجابة : ك هى عدد طبيعى يأخذ قيماً متغيرة
{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ..........، ن}

ولنبدأ بالفعل بالتعويض بهذه الأعداد الى آخر عدد نتوقف
 عنده نكتب ن .. بحيث ن يعبر عن عدد الحدود . .


(1)² = (0)² + 2(0) + 1
(2)² = (1)² + 2(1) + 1
(3)² = (2)² + 2(2) + 1
(4)² = (3)² + 2(3) + 1
.
.
.
(ن)² = (ن-1)² + 2(ن-1) + 1


عندما نجمع جميع هذه المعادلات ينتج لنا :


(1)² + (2)² + (3)² + .... + (ن)² = (0)² + (1)² + (2)² + .... +(ن-1)²

  + 2[0 + 1 + 2 + 3 + ....+(ن-1)]   + ن


ما هى ن  ؟ هى عدد الوحايد فى آخر حد 1+1+1+1+....+ن


ومن هنا فصاعداً سأكتب إختصارات لأن هذه الطريقة فى الكتابة لا تعتمد
 على رموز الرياضيات الحديثة كـ سيجما .


بإضافة ن² للطرفين لكى نكمل بها الصيغة التربيعية
الناقصة فى الطرف الأيسر .

    ن                         ن                   ن-1
[سيجما ك²] + ن² = [سيجما ك²] + 2 [سيجما ك ] + ن
  ك=1                     ك=1                ك=1


           ن-1
بحذف  سيجما ن² من الطرفين ..       
          ك=1

       ن-1
 2 [سيجما ك ] + ن = ن²  
      ك=1

بعد ترتيب الحدود والقسمة على 2 وأخذ ن عامل مشترك فى البسط ينتج :


    ن-1             ن (ن - 1)
 [سيجما ك] = ـــــــــــــــــــ
   ك=1                  2

ولكن لاحظ هذه تعبر عن مجموعة المتتابعة :

1 + 2 + 3 + ..... + (ن-1)

أى انه بعد اضافتك ن للصيغة السابقة ينتج لك قانون ايجاد مجموع
متتابعة حسابية حدها الأول 1 وأساسها 1 وحدها الأخير ن .

   ن               ن (ن - 1)
سيجما ك = ــــــــــــــــــــــــ + ن
 ك=1                 2


        ن (ن - 1) + 2ن        ن (ن + 1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ
               2                        2

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
            ن
القانون سيجما ك²  نوجده بنفس الطريقة :-
           ك=1

(ك+1)³ = ك³ + 3ك² + 3ك + 1

ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .......}

(1)³ = (0)³ + 3(0)² + 3(0) + 1
(2)² = (1)³ + 3(1)² + 3(1) + 1
(3)³ = (2)³ + 3(2)² + 3(2) + 1
.
.
(ن)³ = (ن-1)³ + 3(ن-1)² + 3(ن-1) + 1

            ........ بالجمع .......

   ن               ن-1              ن-1               ن-1
سيجما ك³ = سيجما ك³ + 3سيجما ك² + 3 سيجما ك  + ن
 ك=1            ك=1             ك=1              ك=1

بعد اضافتك لـ ن‎³ للطرفين وطرح المجموع الذى يشتمل على ك³ من الطرفين ..
وايضاً تعلم ان من المجموع السابق أن :
   
                       ن-1          ن(ن-1)
                    سيجما ك = ــــــــــــــــ    .. ينتج بعدها    
                      ك=1             2


              ن-1            3ن(ن-1)
 ن³ = 3 سيجما ك² + ـــــــــــــــــــ + ن    ومنه ينتج ..
             ك=1                2


      ن-1                    3ن(ن-1)
 3 سيجما ك² = ن³ - ــــــــــــــــــــ - ن
     ك=1                       2

بعد توحيدك المقامات والقسمة على 3 ينتج ..

  2ن³ - 3ن(ن-1) - 2ن     ن [2ن² - 3(ن-1) - 2]
 ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           6                               6


     ن [2ن² - 3ن + 1]        ن (ن - 1) (2ن - 1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
               6                                6


ولكن هذا القانون هو : (1)² + (2)² + .... + (ن-1)²

اذاً نقوم بإضافة الحد الأخير  ن²  للقانون فينتج :

   ن              ن(ن-1)(2ن-1)
سيجما ك² = ــــــــــــــــــــــــــــ + ن²
 ك=1                   6


    ن(ن-1)(2ن-1) + 6ن²      ن [(ن-1)(2ن-1) + 6ن]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               6                                  6


      ن [2ن² + 3ن + 1]        ن(ن+1)(2ن+1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
                 6                           6


وهذا هو قانون المجموع : (1)² + (2)² + (3)³ + .... + (ن)²

   ن             ن(ن+1)(2ن+1)
سيجما ك² = ـــــــــــــــــــــــــ
 ك=1                   6

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بناء على الترتيب السابق : (وبإستعمال مفكوك ذات الحدين)

(ك+1)^4 = ك^4 + 4ك³ + 6ك² + 4ك + 1

ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...... ،ن}


(1)^4 = (0)^4 + 4(0)³ + 6(0)² + 4(0) + 1
(2)^4 = (1)^4 + 4(1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1
(3)^4 = (2)^4 + 4(2)³ + 6(2)² + 4(2) + 1
.
.
(ن)^4 = (ن-1)^4 + 4(ن-1)³ + 6(ن-1)² + 4(ن-1) + 1


                  ........... بالجمع ............

   ن                 ن-1                  ن-1                ن-1              ن-1
سيجما ك^4 = سيجما ك^4 + 4 سيجما ك³ + 6 سيجما ك² + 4سيجما ك + ن
 ك=1              ك=1                ك=1                ك=1            ك=1


بإضافة ن^4 للطرفين مع حذف المجموع الذى يشتمل على ك^4 من الطرفين .. ينتج

                ن-1                ن-1              ن-1
 ن^4 = 4 سيجما ك³ + 6 سيجما ك² + 4سيجما ك + ن
               ك=1               ك=1            ك=1


                         

                                ن-1            ن(ن-1)(2ن-1)           ن-1           ن(ن-1)
 لاحظ : سابقاً قولنا أن : سيجما ك² = ـــــــــــــــــــــــــ   وان سيجما ك = ــــــــــــــــ
                               ك=1                   6                   ك=1              2 



                               ن-1              ن-1
ولنقم بجمع الحدود  6 سيجما ك² + 4سيجما ك
                              ك=1            ك=1


     6ن(ن-1)(2ن-1)        4ن(ن-1)             
= ــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ  = ن(ن-1)(2ن-1) + 2ن(ن-1)
            6                      2



= ن(ن-1) (2ن+1)         ..   الآن



      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن^4 -  ن(ن-1) (2ن+1) - ن
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - (ن-1)(2ن+1) - 1]
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - (2ن² - ن - 1) -1]
     ك=1

      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - 2ن² + ن]
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن² (ن-1)²
     ك=1


   ن-1            ن² (ن-1)² 
سيجما ك³ = ــــــــــــــــــــ       بإضافة ن³ للطرفين (ينتج القانون)
  ك=1               4


   ن              ن² (ن-1)²
سيجما ك³ = ــــــــــــــــــ + ن³
 ك=1                4



   ن              ن² (ن-1)² +4ن³       ن² [(ن-1)² + 4ن]
سيجما ك³ = ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ   وبعد التحليل ينتج :
 ك=1                     4                          4


       ن² (ن+1)²          ن(ن+1)
= ـــــــــــــــــــــــــ = [ــــــــــــــــــ]²
           4                      2


          ن               ن(ن+1)
اذاً : سيجما ك³ = [ــــــــــــــــــ]²
        ك=1                 2



░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بإمكانك الآن ان تطلع على الطريقة العامة لإيجاد :

   ن
سيجما ك^م     حيث م عدد طبيعى  .
 ك=1

ولكنها تتطلب منك دراسة حول أعداد بيرنوللى، يمكنك
ان تضطلع عليها على موقع ويكيبديا، أو أخذ نبذة بسيطة
عنها على هذا الرابط . (معلومات عامة عن أعداد بيرنولى)


ويكيبيديا : عدد بيرنولى
موقع إجابة : صيغة فاولابر

تابع القراءة

0 هل هناك قاعدة عامة لمعرفة ما اذا كان عدد طبيعى ما له أكثر من جذر ؟

من المعروف ان الجذر التكعيبة لاربعة و ستين = 4 والجذر التربيعيى = 8

فهل هناك اعداد اخري تحقق هذة الميزة ؟  " ليس شرط جذر تكعيبى او تربيعى اى جذرين ؟؟ "

يعنى هل يوجد اعداد اخري تحقق

الجذر الميمي لسين = أ
الجذر النونى لسين = ب
حيث ب=/=أ " اى ان س =/= 1 " ؟؟
وبحيث س و ص اعداد صحيحة طبيعية ؟؟؟؟

هل يوجد ؟؟؟

وما هى القواعد التى نقوم بها للتاكد من ان هذا العدد له هذا النوع من الجذرين .؟

وهل هناك طريقة لاستخراج هذا النوع من الاعداد ؟

دالة مثلا او او ؟؟

س^(1\م) = ك^ن         (1)

ص^(1\ن) = ك^م         (2)

يمكن اعادة ترتيب (2) بحيث تتحول الى :

ص^(1\م) = ك^ن         (2)

س^(1\م) = ك^ن         (1)


بقسمة (1) على (2)

   س
(ـــــــــــ)^(1\م) = 1
  ص


ومنها س/ص = 1  ومنها س = ص

للأسف لن يتحقق الشرط الا اذا كانت :

س = ص           :(

ولنأخذ العدد س = ص = 2

الجذر التكعيبى لـ(2)

الجذر التربيعى لـ (2)

وهذا يتحقق دائماً على اى عددين !

لماذا ؟

مثال اذا أخذنا العدد س .

الجذر التكعيبى لـ س = س^(1\3)

الجذر التربيعى لـ س = س^(1\2)

خذ الجذر التربيعى للأول :

جذر[س^(1\3)] = س^(1\6)

خذر الجذر التكعيبى للثانى ..

الجذر التعكيبى لـ [س^(1\2)]


= س^(1\6)


مثلاً بالنسبة لمثالك :

الجذر التعكيبى لـ (64) = 4

جذر(64) = 8

الآن : جذر(4) = 2

الجذر التعكيبى لـ (8) = 2


وبصفة عامة الطريقة تصلح لأى جذرين مختلفين من الدرجة م ، ن   .

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

لاحظ : الاعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة
الأعداد الحقيقية، لذلك يظل الشرط هو نفسه :

                      س = ص


س^(1\م) = ك^ن     

س^(1\ن) = ك^م 

الشرط الآخر وهو ان يكون الناتج عدد طبيعى
هذا الشرط يتحقق فى حالة تحقق الآتى :

نأخذ أمثلة خاصة على الجذر التربيعى والتكعيبى .


4 × 4 × 4

8 × 8 × 8

16 × 16 × 16


بحيث ان الجذور التعكيبية لهؤلاء هم :

4 ، 8 ، 16 على التوالى .. وجميع نواتجها
مربعات كاملة .. وهذا هو القصد .

مثال آخر : 2 × 2 × 2 = 8

لذلك 8 لا تحقق الشرط :

الجذر التعكيبى لـ (8) = 2

فى حين أن 2 ليست مربع كامل .

الآن نفرض أن : س = ن² × ن² × ن² = ن^6

حيث ن عدد طبيعى .

الجذر الثالث لـ ن² × ن² × ن² = ن²

الجذر التربيعى لـ ن² × ن² × ن²

= الجذر التربيعى لـ ن³ × ن³ = ن³

عند تعميم هذا على جميع الجذور يجب ان
يتحقق أن : الجذر (م×ن) للعدد الطبيعى هو
عدد طبيعى أيضاً :

فى المثال السابق 2×2×2 = 8

نجد ان الجذر السادس للعدد 8 ليس عدد
طبيعى، ولكن :

4 × 4 × 4

الجذر السادس لـ (4×4×4) = 2


وهنا ناتى الى التعميم النهائى وهو ان يكون ناتج
الجذر الذى درجته (م×ن) - او مضاعفاته - ناتج
عدد طبيعى ..

مثال : 16 × 16 × 16

الجذر الأول : م = 3       (تكعيبى)

الجذر الثانى : ن = 2     (تربيعى)

الجذر الذى درجته م×ن = 6  (الجذر السادس)


16 × 16 × 16 = 4×4×4×4×4×4

(لاحظ ست اربعات) هذا دليل كافى على ان
الحالة هنا تجوز على الجذرين 2 ، 3 .

ولكن فى الحقيقة مازال هناك تحليل .. فـ

 4×4×4×4×4×4

= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

هكذا اثنى عشر مرة .

ولكن 12 من مضاعفات لـ 6  وهذا أيضاً يؤكد لنا
أنها جائز على الجذور الآتية :

نوجد قواسم العدد  12   وهى المجموعة

ق(12) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12}

ومن ثم نوجد المجموعات الجزئية ( الثنائية لها
اى التى تتكون من عنصرين فقط .. وهى

{

{1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}،
{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 12}،{4 ، 6}،{4 ، 12}
،{6 ، 12}،

}

ومن ثم نستثنى المجموعات التى حاصل ضرب
عنصريها أكبر من 12 .. فيتبقى لدينا .

{

{1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}،
{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}، {3 ، 4}

}

منهم 6 مجموعات (لا تضيف لنا شىء جديد)

وهم : {1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}

فمن المعروف انك لو اخذت الجذر الإثنى عشرى لـ


= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

فإن الناتج عدد اذا أخذنا الجذر الأول له يكون
عدد طبيعى .. وهذا حل تستطيع ان تسميه
بالحل التافه لأنه معروف أن أى عدد طبيعى
جذره الأول عدد طبيعى أيضاً ..

خذ مثلاً المجموعة {1 ، 3}

وهى تعنى اذا اخذت الجذر الأول لـ

= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

فإن الناتج عدد جذره الثالث ناتجه عدد طبيعى

او العكس : يمكن ان نقول اذا اخذت الجذر الثالث
لـ 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12
فإن الناتج عدد جذره الأول عدد طبيعى، وفى
جميع الحالات فهى حلول لا تضيف الينا جديد .

اذاً نستطيع أن نستخلص أربع مجموعات تعبر عن
مجموعة الحل الفعلية، وهى المجموعة :

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}، {3 ، 4}

}

بحيث استثنينا الجذر الأول والذى لا يفيدنا فى شىء .
وبدئناً من الجذر التربيعى .. فتكون لدينا أربعة حلول
ممكنة .

مثال : خذ المجموعة {2 ، 3} وهى تعنى أن أخذ
جذر أحدهما للعدد (2)^12  يعطى الآخر .


وهنا نلاحظ شىء جيد جداً وهو ان الأعداد الأولية
لا تملك أى حلول فعلية لأن عدد قواسمها 2 فقط
1 والعدد نفسه وعند طرحهم لا تتبقى أى قواسم
أخرى للعدد .


ولنأخذ المثال الذى وضعته : 64

أول شىء نحلل 64 الى عواملها الأولية .

وبعد التحليل ينتج لك 64 = (2)^6

لاحظ (هذا يعنى أن 2 لا تحلل أكثر من ذلك)
وهنا نأخذ الـ 6 (أى نأخذ الأس) ونحلله ايضاً
الى عوامله الأوليه .

6 = 2 × 3

إوجد قواسم العدد 6 واستثنى منها 1 ، 6
يتبقى لك أيضاً المجموعة {2 ، 3}

ومن ثم كون منها المجموعات الجزئية التى
عددها 2ق2 = 1  

اذاً عدد طريق الحل هى طريقة واحدة وهى
المجموعة {2 ، 3}

بمعنى إن 64  لا يصلح معه أى جذرين الى الثانى
والثالث : ( التربيعى التكعيبى)

نأخذ مثالاً آخر : عند تحليلك لهذا العدد 16777216

فإنه = [2]^24

وهنا نوجد قواسم العدد 64 فيما عدا 1 ، 64 .

{2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12}

الآن نوجد المجموعات الجزئية والتى عددها :

6ق2 = 15  مجموعة جزئية .

(لاحظ 6 يعنى عدد عناصر القواسم)
(32 اى عدد عناصر ما تحتويه المجموعه الواحدة)

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 8}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 8}،{3 ، 12}،{4 ، 6}،
{4 ، 8}،{4 ، 12}،{6 ، 8}،{6 ، 12}،{8 ، 12}

}

نشطب على المجموعة التى حاصل ضرب عنصريا
أكبر من 24 ... فيتبقى لدينا المجموعات الآتية :

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 8}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 8}،{4 ، 6}

}


اذاً عدد الحلول الممكنة = 9


مثال : هذا العدد 19683  عند تحليله يصبح :

[3]^9

الآن نوجد قواسم العدد 9 ونحذف منها طبعاً
1 ، 9  فتجد انه تبقى لدينا قاسم وحيد وهو 3
هل 3 نستطيع ان نكون بها مجموعة واحدة على
الأقل تتكون من عنصرين ؟ بالتأكيد هذا مستحيل
واذا قلت {3 ، 3} فهذه المجموعة كأك كتبت {3}

لذلك عدد الحلول الممكنة = 0


مثال : العدد 4 عند تحليله يعطى (2)²
ولكن الأس 2 عبارة عند عدد أولى .. اذاً

عدد الحلول الممكنة = 0


مثال : 12 عند تحليله يعطى (2)² × 3

هنا لا نختبر أصلاً لأن العدد 12 تحلل الى عددين
أوليين مختلفين .. لذلك :

عدد الحلول الممكنة = 0


وهنا خاصية هامة جداً : عند تحليلك لعدد
ما الى عوامله الأولية ووجدته قد تحلل الى عددين
اولين مختلفين .. اذاً عدد الحلول الممكنة = 0

مثال ولنأخذ عدد كبير : 2736

فى الحقيقة انت غير ملزم بتحليل هذا العدد تحليلاً
كاملاً، فقط تعلم انه عدد زوجى وكما ان مجموع أرقامه
عدد يقبل القسمة على 3 .. اذاً 2 ، 3 من عوامل هذا
العدد .. اذاً عدد الحلول الممكنة = 0


النتيجة النهائية :

اذا استطعنا أن نضع اى عدد طبيعى على
الصورة  [أ]^م لكل أ عدد أولى ، م عدد مؤلف
ليس على الصورة س^ن بحيث س عدد اولى
فإنه يوجد على الأقل مجموعة ثنائية تنتمى
لمجموعة الحل ..

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
طالع السؤال من هنا

تابع القراءة

16 ما هى الحلول العامة للمعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية ؟

مثل : x² y''+xy'+y=2

يمكنك حل هذه المعادلة بعدة طرق منها
الطريقة التى ذكرتها ، ولكن هذه المعادلة
تختلف عن المعادلة y" + ay' + b y = 0

فى أن معاملات هذه دالة فى x .

اما النوع الآخر وهو : y" + ay' + b y = Q(x)   ll

والحل العام لها هو :

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral

يعنى تحل كما لو كانت معادلة تفاضلية متجانسة
ومن ثم ايجاد التكامل الجزئى الذى يعبر عن الدالة
التى فى الطرف الأيمن .. نبدأ أولاً بحل معادلة
تفاضلية متجانسة، ولتكن .


y" + 3y' - 4y = 0

الحل : نفرض أن y = e^rx

طبعاً لاحظ الصيحيح هو y = C e^rx

لكن يفضل وضع C فى نهاية الحل لعدم
حدوث مشاكل كما انك تعلم ان C فى المشتقة
فى او فى التكامل (ستكون كما هى )

مثال : مشتقة 2x  فى المشتقة نزلت 2
او مشتقة 2e^x هى نفسها ..وهكذا

نفرض أن : y = e^rx حيث r عدد حقيقى ما (ثابت)

الآن نوجد المشتقة الأولى والثانية ..

y' = re^rx     و  y" = r² e^rx بالتعويض فى ..

y" + 3y' - 4y = 0

 r² e^rx + 3re^rx - 4e^rx = 0


بأخذ e^rx عامل مشترك ..

e^rx [r² + 3r - 4] =0

ومنها اما e^rx = 0 وهذا مستحيل

اذاً نأخذ الحل الثانى : r² + 3r - 4 = 0

ثم نستخدم التحليل : (او بالقانون العام)

ll         (r + 4) (r -1) = 0

تجد r = 1   او r = -4

وبناء عليه تكون جميع الحلول الممكنة للمعادلة السابقة هى :

y = c1 e^x   او y = c2 e^-4x

حيث c1 و c2 ثوابت .. تم اثبات ان كلا الحلين يشكلان
تركيب خطى او تحويل خطى linear transformation
بمعنى ان مجموع الحلين أيضاً حل للمعادلة ..

بحيث يكون الحل العام للمعادلة هو :

y = c1 e^x + c2 e^-4x

وبصفة عامة الحل العام للمعادلة التفاضلية على
الشكل : y" + ay' + b y = 0  هو :

y = c1 e^r1x + c2 e^r2x

بحيث r1 و r2 هما جذوراً للدالة المميزة

r² + ar + b = 0

الآن نأتى الى المعادلات التى على الصورة التالية :

y" + ay' + b y = Q(x)   ll

والحل العام لها هو :

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral


مثال : y" + 3y' - 4y = x²

لاحظ هى نفسها الدالة السابقة مع وضع x²
بدلاً من الصفر .. هذا النوع من المعادلات تحل كما
لو كانت : y" + 3y' - 4y = 0

وحلها العام كما اسلفنا : y = c1 e^x + c2 e^-4x

هذا الحل هو حل جزئى لهذه المعادلة التفاضلية
الآن نبحث عن الحل الذى يؤكد لنا صحة أن :
 y" + 3y' - 4y = x²

الآن نلاحظ ان الطرف الأيمن عبارة عن دالة تربيعية
لذلك نفرض أن الدالة الأصلية لها هى دالة من الدرجة
الثانية والصورة العامة لها هى :

y = ax² + bx + c

ومنها y' = 2ax + b  و y" = 2a  بالتعويض فى المعادلة

y" + 3y' - 4y = x²


2a + 3(2ax+b) - 4( ax² + bx + c) = x²

نرتب هذه المعادلة من الأس الأكبر الى الأس
الأصغر مع إعتبار أن a , b , c ثوابت .

2a+6ax+3b-4ax²-4bx-4c-x² = 0


ll    (-4a-1)x² + (6a-4b)x + (2a+3b-4c) = 0

لكى تكون هذه المعادلة صحيحة نشترط أن يكون
كل عامل من هؤلاء يساوى صفر .

4a - 1 = 0  -  ومنها a = -1/4 

6a - 4b = 0  ومنها ll    4b = -6(1/4

ومنها b = -3/8  وأخيراً 2a+3b-4c = 0

ومنها :  ll      -4c = ½ + 9/8 = 13/8

c = -13/32

ويكون الحل العام لهذه المعادلة : y" + 3y' - 4y = x²

هو : y = c1 e^x + c2 e^-4x -(1/4)x² - (3/8)x - (13/32)   ll

وبصفة عامة يمكنك مراجعة الرابط فى المراجع بحيث يخبرك
ماذ نفعل لو كانت الدالة هى  Asinxمثلاً وليست x² ؟
حيث A عدد ثابت

هنا نضع فرضية y = Csinx + D cosx

ونوجد المشتقة الأولى والثانية ونعوض فى الدالة الأصلية ..
ومن ثم نضع شروطاً كما فعلنا لإيجاد كلاً من C و D .
لو كانت الدالة Q(x) = ax فإنا نفرض دالة تآلفية y = Cx + D
لو كانت الدالة فى الطرف الأيمن هى Q(x) = e^Ax فإننا
نفرض أن : y = C e^Ax 

بإختصار الفرضية تكون من نفس فصيلة الدالة التى
فى الطرف الأيمن (ولاحظ كل هذا مجرد تخمين)
او فرضيات صحيحة فى ظل شروط معينة، ومع
التعود عليها تصبح سهلة ..

بإسلوب مشابه ننتقل الى الحالة التى فيها العوامل
دالة أخرى فى x .

P(x)y" + q(x)y' + R(x)y = Q(x)  ll

سأبدأ من حل (مثال) خاص ومن ثم تستطيع ان تعممه
 على أى مسألة من هذا النوع .. وليكن المثال الذى وضعته .

x² y''+xy'+y=2

تلاحظ ان الطرف الأين دالة فى س (هتقولى أين س ؟)
اعتبرها دالة ثابتة فى س (وانتهت المشكلة)
اى تعامل معادلة معادلة تفاضلية غير متجانسة من الدرجة
الثانية .

طريقة أويلر - كوشى تتلخص فى فكرة واحدة وهى :
يمكنك تحويل هذه المعادل السابقة الى معادلة أخرى
على الشكل : y" + ay' + by = 2 بحيث a , b ثوابت
ولكن لكى تتم هذه الطريقة بنجاح ننقل الدالة من المتغير
x الى متغير آخر t (وهى طريقة مشابهة جزئياً لتحويل لا بلاس)    

لاحظ فى المعادلة السابقة عندا اكتب y' المقصود منها هو :

dy/dx وعندما نكتب y" نقصد منها d²y/dx²  اى المشتقة الثانية
بالنسبة لـ x ...  الآن نصنع تحويلا يحول dy/dx الى dy/dt

                               
نفرض أن : x = e^t  اشتق الطرفين بالنسبة لـ t

dx/dt = e^t  لاحظ ما الذى حدث ؟

نعلم ان e^t = x والمشتقة الأولى ايضاً بـ x

لكننا نريد dy/dt   بإستعمال قاعدة chain rule :::

dy/dt = dx/dt  . dy/dx

ولكن  dx/dt  = x  اذاً

dy/dt = x  dy/dx

اشتق مرة ثانية بالنسبة للمتغير t

d²y/dt² = d/dt (x dy//dx)    ll


يمكنك تبسيط الحل هكذا :


d²y/dt² = d/dx (x dy//dx) . dx/dt  

لم يحدث شىء إختصر dx مع dx ينتج لنا
الصورة الأصلية، وقد صنعنا هذه الخطوة للتبسيط
لأن الدالة داخل القوس لا تحتوى على t .. الآن
اشتق ما داخل القوس بالنسبة لـ x بإستعمال
قاعدة الضرب product rule  .


d²y/dt² = (dy/dx + x d²y/dx²) dx/dt

علمان أن dy/dt = x  بالتعويض ..


d²y/dt² = (dy/dx + x d²y/dx²) x


d²y/dt²  = x dy/dx + x² d²y/dx²


القى نظرة على أول المسألة تجد أن :

x dy/dx  = dy/dt  بالتعويض ..


d²y/dt²  = dy/dt + x² d²y/dx²


ومنها : x² d²y/dx² = d²y/dt²  - dy/dt

بالتعويض فى المعادلة الأصلية :::

x² y''+xy'+y=2  

d²y/dt²  - dy/dt + dy/dt + y = 2

أختصر ..

d²y/dt² + y = 2

تحولت الى معادلة تفاصلية غير متجانسة فى
المتغير t ... بحيث يمكنك حلها كما أسلفنا .

بحيث حلها يكون :
 y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral

c1 و c2 ثوابت . r1 و r2 جذوراً للمعادلة المميزة .

أولاً نوجد الحل الجزئى للمعادلة أعلاه بوضع :

d²y/dt² + y  = 0

المعادلة المميزة هى : r² + 1 = 0

ومنها r1 = i     و  r2 = -i

حيث i وحدة تخيلية .

اذاً : y = c1 e^it + C2 e^-it + particular integral

وهنا نريد تبسيط هذا المقدار (وضعه فى صورة أخرى)
وهى صيغة أويلر ...

c1e^it = c1 cos(t) + c1 i sin(t)   ll

c2 e^-it = c2 cos(t) - c2 i sin(t)  ll

بجمع المعادلتين معاً (مع مراعاة الحدود المشابهة)

c1e^it + c2e^-it = (c1+c2) cos(t) + (c1 - c2) i sin(t)  ll

الآن ماذا لو قلت 3 عدد ثابت .. وماذا عن 2 ؟ ثابت أيضاً
وماذا عن i ? ثابت ... اى ان المعادلات التفاضلية لا تفرق
بين هذا او ذلك (كلهم ثوابت)

نفرض أن c1+c2 = A  و  ll      (c1 - c2) i = B

حيث كلاً من A و B ثوابت .

_ملحوظة : هذه الخطوات وضعتها للتوضيح فقط)
والا فكل هذه الخطوات لا تكتب .. بحيث نستنتج
مباشرة ً أن :-

الحل الجزئى للمعادلة هو : A cos(t) + B sin(t)   ll

لكى نوجد الحل المكمل لهذه المعادلة ننظر الى الطرف
الأيمن نجده دالة ثابتة وهى 2 .. وكما أصلفت اذاً
نفرض (حل جزئى يحقق المعادلة) وهو y = C

حيث C ثابت .. المشتقة الأولى والثانية له تساوى 0

بالتعويض فى المعادلة d²y/dt² + y = 2

ومنها  C = 2  أى أن :  particular integral = 2

لتصبح المعادلة هى :

y = A cos(t) + B sin(t) + 2

ولكن : x = e^t  بأخذ ln للطرفين ينتج : t = lnx

وفى الأخير يصبح شكل المعادلة (فى x) هو :

y = A cos(ln(x)) + B sin(ln(x)) + 2

وهذا هو الحل العام للمعادلة .




.......................................
مراجع :
Inhomogeneous constant-coefficient differential equations



http://www.sosmath.com/diffeq/second/euler/euler.html

تابع القراءة

3 بعض التكاملات على الدوال المثلثية العكسية والزائدية وأخرى متنوعة ..

1)
                            2 - جذر(1-س²)
    اوجد             ʃ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                             جذر(1-س²)

قم بتوزيع البسط على المقام .


            2                      جذر(1-س²)
= ʃـــــــــــــــــــــــ دس - ʃ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جذر(1-س²)                 جذر(1-س²)


          2
= ـــــــــــــــــــــــــــ دس -  ʃ دس
    جذر(1 - س²)


ما داخل التكامل هو متطابقة 1 - جا²س

يعنى نفرض أن س = جاص

ومنها دس = جتاص دص   بالتعويض ..



          2جتاص
=ʃ ـــــــــــــــــــــــــــ دص -  ʃ دس
   جذر(1 - جاص²)


       2جتاص
=ʃ ــــــــــــــــــــــــــــ دص - س
       جتاص


= ʃ 2 دص - س

= 2ص - س + ث

ولكن س = جاص  ومنها ص = جا^-1(س) بالتعويض..


= 2جا^-1(س) - س + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
2)

         1
ʃ ـــــــــــــــــــ دس
   س لوس

 

يمكنك حله بالتعويض .. نفرض أن :-

لوس = ص   ومنها 1\س دس = دص

دس = س دص  بالتعويض ...

      س
ʃ ـــــــــــــــــــــــ  دص
    س ص


          1
=ʃ ـــــــــــــــــ دص
         ص


= لط|ص| + ث    بالتعويض عن ص ..

= لط| لط|س|  |  + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

3)تكامل جا2س/جذر(3-جتا^4(س))

 يمكن وضع التكامل على الصورة :

.          جا2س
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر[3 - [(جتاس)²]²]


لاحظ مشتقة جتا²س = 2جتاس × -جاس

= - 2جاس جتاس = -جا2س

الآن نضرب داخل وخارج التكامل فى -1


.          -جا2س
-∫ ــــــــــــــــــــــــــــأأأــــ دس
   جذر[3 - [(جتاس)²]²]


بأخذ 3 عامل مشترك من تحت الجذر
تخرج خارجاً بـ 1/جذر(3)

                              -جا2س
= -1/جذر(3) ∫   ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                  جذر[1 - [(1\3) جتا²س]²]


بضرب البسط فى (1\3) ومن ثم الضرب فى المعكوس
الضربى 3 .


       
                          -(1\3) جا2س
= (-3/جذر(3)) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                   جذر[1 - [(1\3) جتا²س]²



= (-3\جذر(3) جا^-1[(1\3) جتا²س] + ث


= -جذر(3) جا^-1[(1\3) جتا²س] + ث

حيث جا^-1 هى دالة الجيب العكسى .

 ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

4)  تكامل هــ^2س/(هـــ^4س-5) 


.         هـ^2س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
       هـ^4س - 5

يمكنك حله بالتعويض .

نفرض ان هـ^2س = ص  ومنها

2هـ^2س دس = دص

اى ان : 2ص دس = دص  بالتعويض ..


.           ص
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     2ص( ص² - 5)


             1
= ½∫ ـــــــــــــــــــ دص
         ص² - 5


بأخذ -5 عامل مشترك من المقام
يخرج طبعاً خاجر التكامل بـ -(1\5)

                     1
= (-2\5) ∫ــــــــــــــــــــــــ دص
                1 - (1\5)ص²


                        1
= (-2\5) ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                1 - [(1\جذر(5))ص]²

لماذا اجيرنا كل هذه الخطوات ؟
للوصول الى المشتقة العكسية للظل الزائدى .

الآن ما هى مشتقة 1\جذر(5))ص ؟

المشتقة هى : 1\جذر(5)

نضرب البسط فى  1\جذر(5)  ومن ثم
خارج التكامل فى جذر(5)


                                (1/جذر(5)
= (-2جذر(5)/5) ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                       1 - [(1\جذر(5))ص]²



= (-2جذر(5)/5) × ظاز^-1[(1\جذر(5))ص] + ث

ولكن ص = هـ^2س   بالتعويض ..

= (-2جذر(5)/5) × ظاز^-1[(1\جذر(5))هـ^2س] + ث


وطبعاً كان يمكنك حل التكامل ابتدائاً بالكسور الجزئية ..

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

 5) تكامل س/(1-س^4)

.
        س
∫ ــــــــــــــــــــــــ دس
     1 - س^4



        س
∫ ــــــــــــــــــــــــ دس
     1 - (س²)²

ما الذى يفيدنا فى ذلك (هى نفسها) ؟

لاحظ مشتقة س²  هى 2س

الآن نضرب البسط فى 2 ومن ثم خارج
التكامل فى ½

                 2س
= ½ ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــ دس
              1 - (س²)²



= ½ظاز^-1(س²) + ث

او الظل الزائدى العكسى لـ س²


ويمكنك حلها بطرق أخرى ...

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
 6)   تكامل جا4س/(جتا^4(2س) +4)
      
 .         جا4س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   [جتا(2س)]^4 + 4

نقوم بوضع التكامل على هذا الشكل ..

                     -2جا4س
=(-1\2)∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
               [جتا²(2س)]² + 4


مشتقة جتا²(2س) = 2جتا(2س) × -2جا(2س)

= -2 جا4س

الآن نأخذ من المقام 4 عامل مشترك .
عند ضربه فى مقام النصف يعطى ثمن .

                     -2جا4س
=(-1\8)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
           (1\4)[جتا²(2س)]² + 1

ندخل ربع داخل القوس فتصبح نصف
لأنك تعلم أن مربع النصف هو ربع .

                     -2جا4س
=(-1\8)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
             [½جتا²(2س)]² + 1


بالضرب بسطاً ومقاماً فى ½

                     -جا4س
=(-1\16)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
             [½جتا²(2س)]² + 1

وهذا هو تماماً مشتقة دالة الظل العكس ظا^-1(س)


التكامل = (-1\16) ظا^-1[½جتا²(2س)] + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
7)  تكامل جذر[2-س²]

 .
∫جذر(2 - س²) دس

نفرض أن س = جذر(2)جاص

ومنها : دس = جذر(2) جتاص دص بالتعويض ..

لاحظ جذر(2 - (جذر(2) جاص)²)

= جذر(2 - 2جا²ص) = جذر(2) جذر(1 - جا²ص)

= جذر(2) جتاص   بالتعويض ..


∫جذر(2 - س²) دس

= جذر(2)∫جتاص × جذر(2) جتاص دص

= 2 ∫جتا²ص دص

ولكت جتا²ص = ½جتا2ص + ½ بالتعويض ..

2 ∫جتا²ص دص =  ∫2[½جتا2ص + ½] دص


= ∫جتا2ص + ∫دص


= ½جا2ص + ص + ث

ولكن س = جذر(2)جاص

ومنها جاص = س/جذر(2)

اذاً : ص = جا^-1[س/جذر(2) ]

الآن كيف نوجد جا2ص ؟

نعلم ان : جا2ص = 2جاص جتاص

اذاً ½جا2ص = جاص جتاص

ولكن جاص = س/جذر(2)

ومنها طول المجاور = جذر[2 - س²]

جتاص = (1\جذر(2)) جذر[2 - س²]  

ومنها ½جا2ص = جاص جتاص
= س/جذر(2) × (1\جذر(2)) جذر[2 - س²]

= ½س جذر[2 - س²]    بالتعويض فى :


التكامل = ½جا2ص + ص + ث


= ½س جذر[2 - س²] + ص  + ث

ولكن : جاص = س/جذر(2)   ومنها ص = جا^-1[س/جذر(2) ]


التكامل = ½س جذر[2 - س²] + جا^-1[س/جذر(2)]  + ث
 
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
8)    تكامل جتا^5س × جذرجاس

.
∫ جتا^5(س) جذر(جاس) دس

= ∫ جتا^5(س) جا^0.5(س) دس

= ∫[جتا^1.5(س)]^(10\3) جا^0.5(س) دس

كل الذى حدث من خصائص الأسس فلا تقلق

اضرب 1.5 × (10 على 3) = 5

لكن ما الذى يفيدنا فى ذلك ؟

الذى يفيد هو : أن مشتقة جتا^1.5(س)

= - 1.5 جا^0.5(س)

الآن نضرب داخل التكامل فى -1.5
وخارجه نضرب فى المعكوس الضربى والجمعى معاً
وهو (2\3)

(2\3)∫[جتا^1.5(س)]^(10\3) ×-1.5جا^0.5(س) دس


الدالة هى جتا^1.5(س)

مشتقتها هى -1.5جا^0.5(س)

قيمة هذا التكامل :

            [جتا^1.5(س)]^(13\3)
= (2\3)× ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ +ث
                     (13\3)


    2 [جتا^1.5(س)]^(13\3)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ث
               13

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

9)  تكامل جتاس/جذر [2+جتا 2س]

          جتاس
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(2+جتا2س)



لاحظ : جتا2س = 1 - 2جا²س بالتعويض..


          جتاس
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(2+1 - 2جا²س)


           جتاس
=∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
     جذر(3 - 2جا²س)


بأخذ 3 عامل مشترك ..

                        جتاس
= 1/جذر(3) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                 جذر[1 - (2\3)جا²س]


                        جتاس
= 1/جذر(3) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                جذر[1 - [جذر(2\3)جاس]²]


لاحظ : مشتقة جذر(2\3) جاس = جذر(2\3) جتاس

الآن نقوم بضرب البسط فى جذر(2\3)
ومن ثم الضرب فى المعكوس الضربى له .

بعد الضرب وتبسيط المقدار خارج التكامل ينتج ..

                      جذر(2\3) جتاس
= جذر(2)/2 ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                جذر[1 - [جذر(2\3)جاس]²]


   
= ½جذر(2) جا^-1[جذر(2\3)جاس] + ث


حيث جا^-1 هى دالة الجيب العكسى .

░░░░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░
10)  تكامل س/[جذر(1+س²)+جذر(1+س²)³] 

.                س
ʃ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر(1+س²)+جذر(1+س²)³


نفرض أن : جذر(1+س²) = ص

               س
ومنها : ــــــــــــــــــــــ دس = دص
         جذر(1+س²)


        س
= ــــــــــــــــــ دس = دص
        ص

بالتعويض فى التكامل .

         س ص
ʃ ـــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     س(ص + ص³)


         س  ص
= ʃ ــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     س ص (1 + ص²)


            1
= ʃ ـــــــــــــــــــــــ دص
       1 + ص²


= ظا^-1(ص) + ث

= ظا^-1[جذر(1+س²)] + ث


حيث ظا^-1 هو الظل العكسى . 
       
 ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░
►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄

تابع القراءة

2 ما هى دالة زيتا الريمانية وما علاقتها بالأعداد الأولية ؟

أعتقد ان سؤالك يحتوى أفكار عديدة تحتاج الى
 بحث طويل، لذلك سأعطيك نبذة فقط عن دالة زيتا
او الذى أعرفه عنها ... يوجد لها رمز خاص يمكنك
الإضطلاع عليه فى موقع ويكيبيديا الذى وضعه الأخ
لكى سأستعمل رمز آخر وهو  ز  مثلاً ز(س)  .

هى الدالة المعرفة على س عدد مركب بحيث :

              ∞          1
ز(س) = سيجما ـــــــــــــــ
            ن=1      ن^س

بمعنى هى دالة فى س

 (س معرفة على حقل الأعداد المركبة)

بحيث الدالة عبارة عن مجموع متسلسلة لا نهائية
 للصورة السابق ذكرها .

مثال : ما هى ز(1) ؟

            ∞        1
ز(1) = سيجما ـــــــــــ
          ن=1      ن


            1            1            1
= 1 + ــــــــــ + ــــــــــــ + ـــــــــــ + ......
           2             3           4


هذه حالة واحدة فقط للدالة عندما س = 1

وبصفة عامة يمكن نشر الدالة بهذا الأسلوب .

          1            1            1
 1 + ـــــــــــ + ــــــــــــ + ـــــــــــــ + .....
       2^س      3^س       4^س


بحيث : س = أ + ب ت

أ = الجزء الحقيقى ، ب = الجزء التخيلى

ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

عندما ت = 0  تتحويل س الى عدد حقيقى .

الآن نريد تحويل دالة زيتا الى صورة جداء على الصورة :


                                     1
ز(س) =  حاصل ضرب ــــــــــــــــــــــــــــ
                                1 - أ^(-س)

حيث أ عدد أولى = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، .......}

بحيث تكون الدالة عل الصورة :

                 1                   1                1
ز(س) = ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ× ......
            1 - 2^-س       1 - 3^-س       1  - 5^-س

وهذا هو ما سألت عنه علاقتها بالأعداد الأولية .. لإثبات ذلك :


ز(س) = 1 + 1\2^س + 1\3^س + 1\4^س + .......   (1)

بضرب طرفى المعادلة فى 1\2^س


1\2^س ز(س) = 1\2^س + 1\4^س + 1\6^س + .... (2)

بصفة عامة عند ضرب الطرفين فى 1\2^س ستجد أن جميع
أساسات المقام أعداد زوجية مرتبة ترتيب جيد .

بطرح (2) من (1) ولاحظ أن :

ز(س) - 1\2^س ز(س) = (1 - 1\2^س) ز(س)

حيث أخذنا ز(س) عامل مشترك .. وعند طرح الطرف الآخر
لن يتبقى لك سوى المقامات الفردية .


(1 - 1\2^س) ز(س) = 1 + 1\3^س + 1\5^س + ... (3)

بضرب (3) فى 1\3^س

1\3^س (1 - 1\2^س) ز(س) = 1\3^س + 1\9^س
+ 1\15^س + 1\21^س + .....        (4)

ماذا تلاحظ ؟ نلاحظ ان جميع المقامات الآن هى مضاعفات
العدد 3 (الفردية فقط) يعنى 24 من مضاعفات 3 لكنه زوجى.

بطرح (4) من (3)   :::: لاحظ نطرح أولاً الأطراف اليمنى .

(1 - 1\2^س) ز(س)  - 1\3^س (1 - 1\2^س) ز(س)

بأخذ (1 - 1\2^س) ز(س) عامل مشترك ..

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) ز(س)

وعند طرح الطرفين الأيسريين نلاحظ اننا نطرح جميع مضاعفات
العدد 3 الفردية من جميع الأعداد الفردية فينتج لنا جميع الأعداد
الفردية (للمقامات) فيما عدا مضاعفات العدد 3 .

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) ز(س) = 1+ْ[1\5^س]+[1\7^س]

+[1\11^س]+[1\13^س]+[1\17^س]+ ...... (5)


الطرف الأيسر عبارة عن جميع الأعداد الفردية بإستثناء مضاعفات
العدد 3 .. بمعنى المقامات كما ترى تسير هكذا ..

1 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 25 ، 29 ، 31 ، .....

وهكذا فى الخطوة التى تليها نقوم بضرب طرفى المعادلة فى
1\5^س فينتج لنا جميع الأعداد الفردية بإستثناء مضاعفات
العدد 3  ومضاعفات العدد 5 ، ثم نقوم بطرح المعادلتين ، تنتج
لنا معادلة جديدة نضرب طرفيها فى 1\7^س فينتج لنا جميع
الأعداد الفردية فيما عدا مضاعفات العدد 3 ، 5 ، 7  .... وهكذ
ماذا تلاحظ ؟   .. لاحظ أويلر أن التكرار اللانهائى لهذه الخوازرمية
اللانهائية تؤدى حتماً الى ان ينتهى الطرف الأيسر الى 1 وان يأخذ
الطرف الأيمن هذا الشكل :

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 3^س) (1 - 5^س)
(1 - 7^س) ............. × ز(س)

وسبب هذا كما تعرف هو ان جميع الأعداد الأولية فردية فيما
عدا العدد 2 .

كل مرة نضرب فى 1\(عدد أولى)^س  فيعطينا فى التكرار
اللانهائى أن :

الطرف الأيسر عبارة عن جميع الأعداد الفردية فيما عدا
مضاعفات 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، .... وهكذا
الى مالانهائة .. يفسر لنا ذلك ان التكرار اللانهائى لهذه العملية
يؤدى بنا الى :

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 3^س) (1 - 5^س)
(1 - 7^س) ............. × ز(س) = 1


ومنها نحصل على :

                                            1
ز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         (1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 1\3^س) (1 - 1\5^س) ....



لاحظ ان حاصل الضرب غير منتهى ... والذى يعبر عنها بشكل
أفضل (أنظر الروابط)  ... بحيث نقول :


                                    1
ز(س) =  حاصل ضرب ـــــــــــــــــــــــــ
                              1 - أ^(-س)

حيث أ عدد أولى = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، .......}

طبعاً هنا الأس سالب (للدلالة على انه كسر)

تعلم ان 1\س = س^-1   ... وهكذا

هناك عدة حسابات توصلوا اليها لحساب قيم هذه الدالة
للأعداد الزوجية (بإستخدام أعداد أخرى تسمى أعداد بيرنولى)
بحيث أصحبت صيغة عامة .

                                             ط²
ز(0) = -½  ، ز(1) = ∞  ، ز(2) = ــــــــــ ≈ 1.645
                                             6

ز(3) ≈ 1.202   ،  ز(4) ≈ 1.0823

بصفة عامة يمكنك الإضطلاع على الصيغة العامة لـ 2ن
على موقع ويكبيديا ... لو وضعنا س = 2ن  حيث :

ن = {0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ......}  

فإن هناك صيغة عامة يمكنك حساب دالة زيتا عندها .

ولا تسألنى عن أشياء أخرى فى الدالة لأننى لم اتعمق
فيها كثيراً :)

ولكن نصيحتى لك هناك أشياء أخرى يتحتم عليك دراستهاد
حتى تكون دراسة مثل هذه الدوال (الخاصة) سهلة الفهم
بالنسبة لك وتحقق منها أكبر استفادة ممكنة .

مراجع :دالة زيتا
Riemann zeta function
Proof of the Euler product formula
فرضية ريمان
Riemann Zeta Function Calculator

تابع القراءة

0 اثبت ان النسبة بين مساحتى مثلثين متشابهين كنسبة مربع طولى أى ضلعين متناظرين

نفرض أن نسبة التشابه كنسبة ك : م

بما أن المثلثان أ ب جـ  ،  د هـ و متشابهان اذاً :-

  أب         ب جـ         أجـ          ك
ــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ
 دهـ         هـ و           دو          م


تذكر : مساحة المثلث = ½ حاصل ضرب أى ضلعين فى
جيب الزاوية المحصورة بينهما :

مساحة أ ب جـ = ½ أب × أ جـ × جاأ

مساحة د هـ و = ½ دهـ × دو × جاد

بقسمة المساحيتين :

ولاحظ ان جاأ = جاد   لأن زاوية أ = زاوية د

نظراً لتشابه المثلثان .. وبناء عليه


    ½ أب × أ جـ × جاأ         أب × أ جـ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    ½ دهـ × دو × جاد         دهـ × دو


ولكن فى أول الإجابة قلنا من التشابه ينتج أن :

  أب           ك        أجـ          ك
ــــــــــــ = ــــــــــ  ، ــــــــــ = ــــــــــ
 دهـ           م         دو           م


      أب × أ جـ         ك         ك          ك
اذاً : ــــــــــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــ = [ــــــــ]²
      دهـ × دو         م          م           م


هذا يكافئ أن فى المثلين المتشابهين النسبة بين
مساحتى المثلثين كالنسبة بين مربع طولى أى ضلعين
متناظرين فيهما .

تابع القراءة