هل هناك صيغة عامة لحساب مجموع سيجما ك^م لكل م عدد طبيعى ، ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...} ؟

كيف وصلنا للعلاقة


  ن               ن(ن+1)(2ن+1)
سيجما ن² = ـــــــــــــــــــــــــــ
ك=1                     6


؟؟

وكذلك

  ن                ن(ن+1)
سيجما ن³ = [ـــــــــــــــ]²
 ك=1                2


؟؟

وهل هناك حد عام عندما تكون ن^م ؟؟؟

فى الحقيقة تجد هذه الصيغ كلاً منهم مبنى على الذى قبله،
 وتجد لها أكثر من إثبات من ضمنها صيغ التكرار
او الـ recurrence relations  .. ولنبدأ من المربع الكامل .


(ك+1)² = ك² + 2ك + 1        ما هى ك ؟


الإجابة : ك هى عدد طبيعى يأخذ قيماً متغيرة
{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ..........، ن}

ولنبدأ بالفعل بالتعويض بهذه الأعداد الى آخر عدد نتوقف
 عنده نكتب ن .. بحيث ن يعبر عن عدد الحدود . .


(1)² = (0)² + 2(0) + 1
(2)² = (1)² + 2(1) + 1
(3)² = (2)² + 2(2) + 1
(4)² = (3)² + 2(3) + 1
.
.
.
(ن)² = (ن-1)² + 2(ن-1) + 1


عندما نجمع جميع هذه المعادلات ينتج لنا :


(1)² + (2)² + (3)² + .... + (ن)² = (0)² + (1)² + (2)² + .... +(ن-1)²

  + 2[0 + 1 + 2 + 3 + ....+(ن-1)]   + ن


ما هى ن  ؟ هى عدد الوحايد فى آخر حد 1+1+1+1+....+ن


ومن هنا فصاعداً سأكتب إختصارات لأن هذه الطريقة فى الكتابة لا تعتمد
 على رموز الرياضيات الحديثة كـ سيجما .


بإضافة ن² للطرفين لكى نكمل بها الصيغة التربيعية
الناقصة فى الطرف الأيسر .

    ن                         ن                   ن-1
[سيجما ك²] + ن² = [سيجما ك²] + 2 [سيجما ك ] + ن
  ك=1                     ك=1                ك=1


           ن-1
بحذف  سيجما ن² من الطرفين ..       
          ك=1

       ن-1
 2 [سيجما ك ] + ن = ن²  
      ك=1

بعد ترتيب الحدود والقسمة على 2 وأخذ ن عامل مشترك فى البسط ينتج :


    ن-1             ن (ن - 1)
 [سيجما ك] = ـــــــــــــــــــ
   ك=1                  2

ولكن لاحظ هذه تعبر عن مجموعة المتتابعة :

1 + 2 + 3 + ..... + (ن-1)

أى انه بعد اضافتك ن للصيغة السابقة ينتج لك قانون ايجاد مجموع
متتابعة حسابية حدها الأول 1 وأساسها 1 وحدها الأخير ن .

   ن               ن (ن - 1)
سيجما ك = ــــــــــــــــــــــــ + ن
 ك=1                 2


        ن (ن - 1) + 2ن        ن (ن + 1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ
               2                        2

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
            ن
القانون سيجما ك²  نوجده بنفس الطريقة :-
           ك=1

(ك+1)³ = ك³ + 3ك² + 3ك + 1

ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .......}

(1)³ = (0)³ + 3(0)² + 3(0) + 1
(2)² = (1)³ + 3(1)² + 3(1) + 1
(3)³ = (2)³ + 3(2)² + 3(2) + 1
.
.
(ن)³ = (ن-1)³ + 3(ن-1)² + 3(ن-1) + 1

            ........ بالجمع .......

   ن               ن-1              ن-1               ن-1
سيجما ك³ = سيجما ك³ + 3سيجما ك² + 3 سيجما ك  + ن
 ك=1            ك=1             ك=1              ك=1

بعد اضافتك لـ ن‎³ للطرفين وطرح المجموع الذى يشتمل على ك³ من الطرفين ..
وايضاً تعلم ان من المجموع السابق أن :
   
                       ن-1          ن(ن-1)
                    سيجما ك = ــــــــــــــــ    .. ينتج بعدها    
                      ك=1             2


              ن-1            3ن(ن-1)
 ن³ = 3 سيجما ك² + ـــــــــــــــــــ + ن    ومنه ينتج ..
             ك=1                2


      ن-1                    3ن(ن-1)
 3 سيجما ك² = ن³ - ــــــــــــــــــــ - ن
     ك=1                       2

بعد توحيدك المقامات والقسمة على 3 ينتج ..

  2ن³ - 3ن(ن-1) - 2ن     ن [2ن² - 3(ن-1) - 2]
 ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           6                               6


     ن [2ن² - 3ن + 1]        ن (ن - 1) (2ن - 1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
               6                                6


ولكن هذا القانون هو : (1)² + (2)² + .... + (ن-1)²

اذاً نقوم بإضافة الحد الأخير  ن²  للقانون فينتج :

   ن              ن(ن-1)(2ن-1)
سيجما ك² = ــــــــــــــــــــــــــــ + ن²
 ك=1                   6


    ن(ن-1)(2ن-1) + 6ن²      ن [(ن-1)(2ن-1) + 6ن]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               6                                  6


      ن [2ن² + 3ن + 1]        ن(ن+1)(2ن+1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
                 6                           6


وهذا هو قانون المجموع : (1)² + (2)² + (3)³ + .... + (ن)²

   ن             ن(ن+1)(2ن+1)
سيجما ك² = ـــــــــــــــــــــــــ
 ك=1                   6

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بناء على الترتيب السابق : (وبإستعمال مفكوك ذات الحدين)

(ك+1)^4 = ك^4 + 4ك³ + 6ك² + 4ك + 1

ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...... ،ن}


(1)^4 = (0)^4 + 4(0)³ + 6(0)² + 4(0) + 1
(2)^4 = (1)^4 + 4(1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1
(3)^4 = (2)^4 + 4(2)³ + 6(2)² + 4(2) + 1
.
.
(ن)^4 = (ن-1)^4 + 4(ن-1)³ + 6(ن-1)² + 4(ن-1) + 1


                  ........... بالجمع ............

   ن                 ن-1                  ن-1                ن-1              ن-1
سيجما ك^4 = سيجما ك^4 + 4 سيجما ك³ + 6 سيجما ك² + 4سيجما ك + ن
 ك=1              ك=1                ك=1                ك=1            ك=1


بإضافة ن^4 للطرفين مع حذف المجموع الذى يشتمل على ك^4 من الطرفين .. ينتج

                ن-1                ن-1              ن-1
 ن^4 = 4 سيجما ك³ + 6 سيجما ك² + 4سيجما ك + ن
               ك=1               ك=1            ك=1


                         

                                ن-1            ن(ن-1)(2ن-1)           ن-1           ن(ن-1)
 لاحظ : سابقاً قولنا أن : سيجما ك² = ـــــــــــــــــــــــــ   وان سيجما ك = ــــــــــــــــ
                               ك=1                   6                   ك=1              2 



                               ن-1              ن-1
ولنقم بجمع الحدود  6 سيجما ك² + 4سيجما ك
                              ك=1            ك=1


     6ن(ن-1)(2ن-1)        4ن(ن-1)             
= ــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ  = ن(ن-1)(2ن-1) + 2ن(ن-1)
            6                      2



= ن(ن-1) (2ن+1)         ..   الآن



      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن^4 -  ن(ن-1) (2ن+1) - ن
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - (ن-1)(2ن+1) - 1]
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - (2ن² - ن - 1) -1]
     ك=1

      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - 2ن² + ن]
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن² (ن-1)²
     ك=1


   ن-1            ن² (ن-1)² 
سيجما ك³ = ــــــــــــــــــــ       بإضافة ن³ للطرفين (ينتج القانون)
  ك=1               4


   ن              ن² (ن-1)²
سيجما ك³ = ــــــــــــــــــ + ن³
 ك=1                4



   ن              ن² (ن-1)² +4ن³       ن² [(ن-1)² + 4ن]
سيجما ك³ = ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ   وبعد التحليل ينتج :
 ك=1                     4                          4


       ن² (ن+1)²          ن(ن+1)
= ـــــــــــــــــــــــــ = [ــــــــــــــــــ]²
           4                      2


          ن               ن(ن+1)
اذاً : سيجما ك³ = [ــــــــــــــــــ]²
        ك=1                 2



░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بإمكانك الآن ان تطلع على الطريقة العامة لإيجاد :

   ن
سيجما ك^م     حيث م عدد طبيعى  .
 ك=1

ولكنها تتطلب منك دراسة حول أعداد بيرنوللى، يمكنك
ان تضطلع عليها على موقع ويكيبديا، أو أخذ نبذة بسيطة
عنها على هذا الرابط . (معلومات عامة عن أعداد بيرنولى)


ويكيبيديا : عدد بيرنولى
موقع إجابة : صيغة فاولابر