إوجد تكامل dx/xsqrt(x²+3) ll

فى مثل هذه التكاملات ضع X = جذر الحد المطلق
مضروبة فى tanu .

let  X = sqrt(3) tanu

نشتقة الطرفين بالنسبة لـ X

dx = sqrt(3) sec²u du

بالتعويض فى التكامل ..

ll    ∫1/xsqrt(x²+3)  dx

ll = ∫  sqrt(3) sec²u/sqrt(3)tanu.sqrt(3tan²u+3) du

3 تخرج من تحت الجذر بـ جذر(3)

ll = ∫ sec²u/tanu.sqrt(3)sqrt(tan²u+1) du

تعلم المتطابقة الشهيرة :tan²u+1 = sec²u

بالتعويض فى التكامل ..


ll = ∫ sec²u/tanu.sqrt(3)sqrt(sec²u) du

الذجر يلغى التربيع فينتج :

ll = ∫ sec²u/tanu.sqrt(3)secu du

بعد لإختصار والتبسيط نحصل على الصورة :


ll = 1/sqrt(3)∫csc(u) du


هل تعلم أن تكامل : csc(u) = -ln|csc(u)+cot(u)|  l   ؟


يتضح من ذلك أن نتيجة التكامل هى :

ll     - ln|csc(u)+cot(u)|/sqrt(3)  + C ll

الآن نريد فقط ايجاد u بدلالة X :

لاحظ قلنا : X = sqrt(3) tan(u)    ll

ومنها : tan(u) = X/sqrt(3)     ll

من خلال ذلك يتضح أن :

csc(u) = sqrt(x²+3)/x

cot(u) = sqrt(3)/x

تحقق من تلك الخطة بنفسك..الآ عوض فى التكامل ..

ll     - ln|csc(u)+cot(u)|/sqrt(3)  + C ll


ll     - ln|(sqrt(x²+3)+sqrt(3))/x|/sqrt(3)  + C ll


وتستطيع تبسيطه من خلال قوانين اللوغاريتمات المعروفة ..