اوجد تكامل س^5/جذر(س²+1) دس

.         س^5
 ـــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(س² + 1)

نضع س = ظاص ومنها دس = قا²ص دص

اذاً: جذر(س² + 1) = جذر(ظا²ص + 1)

= جذر(قا²ص) = قاص



                     ظا^5(ص) قا²ص
بالتعويض .. ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                         قاص


= ∫ ظا^5(ص) قاص دص


= ∫ظاص قاص ظا^4ص دص


ولكن : ظا²ص = قا²ص - 1

اذاً : ظا^4(ص) = [ظا²ص]² = (قا²ص - 1)²

اذاً : التكامل اصبح على هذا الشكل :

∫ظاص قاص (قا²ص - 1)² دص


نفرض أن قاص = ف ومنها قاص ظاص دص = دف

                  دف                       دف
دص = ــــــــــــــــــــــــــــــ   = ــــــــــــــــــــــــــ
              قاص ظاص                ظاص ف


بالتعويض ..


∫ظاص قاص (قا²ص - 1)² دص


     ظاص ف (ف² - 1)²
= ∫ـــــــــــــــــــــــــــــ دف
         ظاص ف



= ∫ (ف² - 1)² دف  نفك المربع الكامل


= ∫(ف^4 -2ف² + 1) دف

نكامل كل حد على حدى ..


        ف^5          2ف³
=  ــــــــــــــــــ - ــــــــــــــــــ + ف  + ث
          5              3


ولكن ف = قاص .. بالتعويض ...


     قا^5(ص)    2قا³(س)
= ـــــــــــــــــ - ــــــــــــــــــ + قاص + ث
        5               3


الآن :  فرضنا منذ البداية أن : س = ظاص

هل نستطيع ايجاد قاص  ؟؟ نعم

                     المقابل
نعمل ان ظاص = ــــــــــــــ
                       المجاور

المقابل = س   والمجاور = 1


اذاً : الوتر = جذر(س² + 1)


                         1
ومنها جتاص = ــــــــــــــــــــــــــ
                   جذر(س² + 1)

نعلم انا قاص  مقلوب الجتاص  اذاً


قاص = جذر(س² + 1)   ::: وبناء عليه



.       س^5
 ـــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(س² + 1)



   [جذر(س² + 1)]^5           2[جذر(س² + 1)]³
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + جذر(س² + 1) + ث
          5                                    3


نختصر الأسس مع الجذور .. يتبقى لدينا :



     (س²+1)³       2(س²+1)
= ــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــــ + جذر(س² + 1) + ث
          5                  3