الدوال الزائدية

اذا قلنا س² + ص² = 1
تعتبر دائرة الوحدة، والتى تقابلها فى الإحداثيات
البارامترية جتا²س + جا²س = 1
ملحوظة : الأفضل هو وضع رمز غير س للتفرقة
بينه وبين الإحداثيات الكارتيزية،لكن فقط وضعتها
هكذا لأننا تعودنا على شكلها بهذه الصيغة .


ننتقل الى : س² - ص² = 1

هذه أبسط صورة لمعادلة القطع الزائد
والذى فيه :

احداثى الرأس الأيمن : (1 ، 0)

احداثى الرأس الايسر : (-1 ، 0)

فقط اكتفى بهذين الإحداثيين

فإذا رمزنا لجيب التمام الزائدى بالرمز جتازس
والجيب الزائدى بالرمز جازس فيكون :

جتاز²س - جاز²س = 1

وهذه هى المتطابقة الأساسية فى حساب
الدوال الزائدية .

هذه الدوال تتميز بصفات أهمها :

جتاز(0) = 1

جاز(0) = 0

وهذه الخاصية هى نفس الخاصية الموجودة
فى الدوال المثلثية (الدائرية)
ويمكنك استنتاجها من خلال رسم القطع الزائد .

الخاصية الثانية :

مشتقة جتازس  تعطى جازس

ومشتقة جازس تعطى جتاس

الإثبات:(لأن هذه الخطوة هامة جداً)

نستطيع ان نثبت إثبات جزئى عندما س=0
(ولكن هذا الأإثبات يتطلب منك رسم كلاً من
دالتى جتازس ، جازس)

فى حين أن هناك إثبات اسهل بكثير وهو :

بما أن : جتاز²س - جاز²س = 1

اذاً : جتاز²س = جاز²س + 1

الآن اشتق الطرفين بالنسبة لـ س

تجد أن : مشتقة جتاز²س = مشتقة (جاز²س + 1)

ولكن مشتقة الواحد = 0

(اى عندما نشتق يكون لا فائدة منه)

اذاً : مشتقة جتاز²س = مشتقة جاز²س

وبإستخدام قوانين الإشتقاق ..

اذاً : 2جتازس × مشتقة جتازس = 2جازس × مشتقة جازس

بمقارنة الطرفين نجد أن :


مشتقة جتازس = جازس

مشتقة جازس = جتازس


نأخذ هذه المعلومات وننتقل الى متسلسلة ماكلورين .


د(س) = جتازس

دَ(س) = جازس

دً(س) = جتازس 

.... وهكذا

نعلم أن : جتاز(0) = 1 وان جاز(0) = 0

اذاًً :

جتازس = 1+س²\2!+س^4\4!+.....

بنفس الطريقة نجد أن :

جازس = س+س³\3!+س^5\5!+......


بجمع المعاداتين معاً ينتج :

جتازس+جازس = 1+س+س²\2!+س³\3!+....


ولكن :  1+س+س²\2!+س³\3!+.... = هـ^س

حيث هـ ≈ 2.71828


اذاً : جتازس + جازس = هـ^س

وهذه من أهم المتطابقات :

لاحظ كما أن دالة جاس فردية فإن دالة جازس فردية ايضاً
وكما ان دالة جتاس زوجية فإن دالة جتازس زوجية ايضاً ..

الآن : هـ^س = جتازس + جازس

نحذف س ونضع - س للطرفين ..


هـ^-س = جتاز(-س) + جاز(- س)


هـ^-س = جتازس - جازس

الآن : لدينا متطابقتين :

هـ^س = جتازس + جازس     (1)

هـ^-س = جتازس - جازس     (2)

........... بجمع (1) ، (2) .............


هـ^س + هـ^-س = 2جتازس


                      هـ^س + هـ^-س
ومنها : جتازس = ــــــــــــــــــــــــــــ
                               2


................ بطرح (1) ، (2) .................


هـ^س - هـ^-س = 2جازس


                      هـ^س - هـ^-س
ومنها : جازس = ــــــــــــــــــــــــــــ
                               2


الآن نستطيع وبسهولة أن نثبت أن مشتقة احداهما
تعطى الآخر :


جتازس = ½(هـ^س + هـ^-س)

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

(جتازس) َ = ½(هـ^س - هـ^-س)


= جازس

بنفس الطريقة نثبت أن :

(جازس) َ = جتازس


تستطيع بمعرفة ذلك ايجاد مشتقات بقية الدوال .

                        جازس
مثلاً : ظازس = ــــــــــــــــــــ
                       جتازس


    هـ^س - هـ^-س             2 
= ــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــ
            2              هـ^س + هـ^-س



       هـ^س - هـ^-س
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      هـ^س + هـ^-س


وبتطبيق قاعدة القسمة لإيجاد مشتقة ظازس


    (هـ^س + هـ^-س)² - (هـ^س - هـ^-س)²
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (هـ^س + هـ^-س)²


البسط عبارة عن فرق مربعين بعد التبسيط يصبح :


     2هـ^س × 2هـ^-س
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
     (هـ^س + هـ^-س)²


               2                           
= [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]²
     (هـ^س + هـ^-س)


        1
= ـــــــــــــــ = قاز²س
    جتاز²س
     

وحتى لا نكرر خطوات زائدة بنفس الطريقة نذكر ما يلى :


د/دس جتازس = جازس

د/دس جازس = جتازس

د/دس ظازس = قاز²س

د/دس ظتازس = - قتاز²س

د/دس قازس = - قازس ظازس

د/دس قتازس = - قتازس ظتازس

أضغط هنا للتتعرف على المشتقات العكسية .


نأتى الى بعض التكاملات :

بما ان مشتقة احداهما يعطى الآخر .

(اقصد جازس ، جتازس )


فإن : ∫جتازس دس = جازس + ث

∫جازس دس = جتازس + ث

ننتقل الى الحالة الأهم .. ماذا لو كانت بدلا ً من س
دالة فى س ؟

                           جاز[د(س)]
∫جتاز[د(س)] دس = ــــــــــــــــــ + ث
                              دَ(س)


                          جتاز[د(س)]
∫جاز[د(س)] دس = ــــــــــــــــــــــ+ ث
                             دَ(س)


يعنى بإختصار اشتق اشتقاق عادى جداً ثم
اقسم على مشتقة الزاوية .

لكن ماذا نصنع فى الإشتقاق ؟؟

الإشتقاق مرحلة عكسية بدلاً من أن نقسم على
مشتقة الزاوية (نضرب فى مشتقة الزاوية)

مثال (للتوضيح فقط)

مشتقة  جتاز[د(س)] = دَ(س) جاز[د(س)]


مثال : اوجد مشتقة جتاز(س² - 1)


د/دس جتاز(س² - 1) = 2س جاز(س² - 1)


بمعرفتك بالمعلومات السابقة تستطيع ايجاد بقية
التكاملات الأساسية بنفسك .


الآن نأتى الى أهم جزء وهو علاقة الدوال الزائدية
بالدوال الدائرية (المثلثية)


ربما تعلم صيغة أويلر للدوال المثلثية وهى :

(متطابقتين هامتين)

هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس     (1)

هـ^(-ت س) = جتاس - ت جاس    (2)

حيث ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

هـ هو العدد النيبيرى ≈ 2.71828

بجمع (1) ، (2) ينتج لنا :


هـ^(ت س) + هـ^(-ت س) = 2جتاس


            هـ^(ت س) + هـ^(-ت س)
جتاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           2


بطرح (1) ، (2) ينتج لك :


           هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
جاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        2ت

..................................................

نبدء من المتطابقة الأولى :


            هـ^(ت س) + هـ^(-ت س)
جتاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           2


تعلم أن ت×ت = ت² = -1

وبوضع ت س للطرفين ..


                  هـ^(ت² س) + هـ^(-ت² س)
جتا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                  2


                    هـ^س + هـ^-س
جتا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                              2



جتا(ت س) = جتازس


نأخذ المتطابقة الثانية :


           هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
جاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        2ت


بضرب الطرفين فى ت ينتج :


                هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
ت جاس = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                               2



نضع ت س للطرفين ..


                    هـ^(ت² س) - هـ^(-ت² س)
ت جا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                     2



                    هـ^(- س) - هـ^(س)
ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                               2


بضرب الطرفين فى -1


                          هـ^س - هـ^-س
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                  2


- ت جا(ت س) = جازس


بإختصار نريد نذكر ما يلى :


جتازس = جتا(ت س)

جازس = - ت جا(ت س)

ظازس = - ت ظاز(ت س)

ظتازس = ت ظتا(ت س)

قازس = قا(ت س)

قتازس = ت قتا(ت س)


وكما أن هناك متطابقات مثلثية فهناك ايضاً متطابقات زائدية :
نذكر منها :

جتاز(س±ص) = جتازس جتازص ± جازس جازص

جاز(س±ص) = جازس جتازص ± جتازس جازص


                        ظازس ± ظازص
ظاز(س±ص) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       1 ± ظازس ظازص


جاز(2س) = 2 جازس جتازس

جتاز(2س) = جتاز²س + جاز²س

= 2جتاز²س - 1 = 2جاز²س + 1

ظاز²س = 1 - قاز²س

ظتاز²س = 1 + قتاز²س