نظام العد الثنائى

يعتبر نظام العد الثنائى من أهم أنظمة العد
بحيث تتعامل معه الحواسيب الحديثة بلغة برمجية
تسمى لغة الآلة يفهمها المعالج .

هذا العدد 36 يقرأ 6 وثلاثون فى نظام العد العشرى
بينما هو لا معنى له فى نظام العد الثنائى لأن نظام
العد الثنائى يتكون من عددين فقط وهما 0 ، 1
والمعنى الأدق هو ان النظام الثنائى يتكون من رمزين
فقط هما true or false يعنى صحيح او خطأ .. تشغيل
إطفاء .. كاذب او صادق .. بصفة عامة الشىء ونقيضة ..
عبرنا عنهم بالرمزين 0 ، 1   .

فالعدد 36 فى نظام العد العشرى يكافىء العدد 100100
فى نظام العد الثنائى :

كما ان نظام العد العشرى يستعمل قوى العدد 10
فإن نظام العد الثنائى يستعمل قوى العدد 2

العدد 100 فى نظام العد العشرى يقرأ مائة

بينما فى نظام العد الثنائى يقرأ واحد صفر صفر .

أولاً : التحويل من النظام الثنائى الى النظام العشرى :

مثال : عند تحويل العدد 100100 الى نظام العد العشرى
نفعل الآتى :

0×(2)^0 + 0×(2)^1 + 1×(2)² +
 0×(2)³ + 0×(2)^4 × 1×(2)^5

= 0 + 0 + 4 + 32 = 36

وبصفة عامة نلاحظ ان الخانات الصفرية قيمها معدم
فى النظام الثنائى والعشرى ايضاً .

نستنتج أن الخانة الأولى عند التحويل تظل كما هى
اذا كان واحد عند التحويل تصبح واحد أيضاً
اذا كانت 0 عند التحويل تصبح صفر أيضاً .

2) الخانات الصفرية معدومة القيمة عند التحويل .

3) أكبر قوى للعدد 2 هى عد خانات العدد فرق 1
لأن الخانة الأولى (ممكن تسميها الخانة الصفرية)

مثال : العدد السابق 100100 يتكون من 6 أرقام
لذلك أكبر قوى عند التحويل هى القوى 5 للأساس 2 .

كل هذا يساعدنا على التحويل المباشر بدون نشر
العدد هكذا كما فعلنا :

مثال : حول العدد 110010001 الى نظام العد العشرى :


= 1 + (2)^4 + (2)^7 + (2)^8 = 401


ثانياً : التحويل من النظام العشرى الى الثنائى :

هناك طريقة تتبع وتذكرها معظم المواقع مع انى فى الغالب
لا استعملها كثيراً وهى : قسمة العدد المراد تحويله على 2
بخوارزمية ثابتة بحيث اذا قبل العدد القسمة على 2
نكتب 0 واذا لم يقبل القسمة على 2 نكتب 1 وهكذا
والناتج يكتب من اليسار الى اليمين .

مثال : حول 401 الى نظام العد الثنائى .

نتبع الخوارزمية الآتية الخاصة بالتحويل :


401 ÷ 2  = 200     والباقى    1

200 ÷ 2 =  100    والباقى     0

100 ÷ 2 = 50      والباقى     0

50 ÷ 2 =  25       والباقى    0

25 ÷ 2 = 12       والباقى     1

12 ÷ 2 = 6       والباقى      0

6 ÷ 2 = 3         والباقى     0

3 ÷ 2 = 1         والباقى     1

1 ÷ 2 = 0         والباقى    1


لتجد أن العدد هو : 110010001

الطريقة الثانةي أفضلها حقيقة ً نظراً لقصرها
فيمكنك ان تكتبها فى سطر واحد فقط .

سأرمز لرمز التحويل بسهم هكذا ← سأشرح الطريقة أولاً:

عشرى ← ثنائى

0 ← 0

1 ← 1

2 ← 10

3 ← 11

4 ← 100

5 ← 101

6 ← 110

7 ← 111

8 ← 1000

9 ← 1001

10 ← 1010

هل لاحظت شيئاً ما ؟ دون :

1) تحويل الأعداد الزوجية الخانة الأولى فيه دائماً 0
بينما عند تحويل الأعداد الفردية فإن الخانة الأولى تصبح 1

2) تحويل أعداد قوى العدد 2 هى 1 واماه مجموعة من الأصفار
تساوى هذه القوى : مثال عند حويل 4 فهى من قوى العدد 2
وتكتب : (2)² لذلك عند تحويلها = 100
وكذلك أيضاً 8 هى عبارة أصلاً عن (2)³ لذلك عند تحويلها الى
نظام العد الثنائى تصبح :  1000      ... وهكذا ...

16  عند تحويلها تعطى 10000        .... الخ

3) تجميعية وإبدالية : بمعنى : قلنا أن : 4 بالنظام
العشرى = (2)² والتى تكافىء 100 بالنظام الثنائى
فما هو تحويل 5 ؟ هنا نستخدم الخاصية التجميعية :

5 = 4 + 1   ونحن نعرف تحويل الـ 4 والواحد كذلك

تحويل الـ 4  هو 100
تحويل الواحد هو 1

اذاً : تحويل الـ 5 هو 100 + 1 = 101

هل هذا يغنينا عن الطريقة السالفة الذكر ؟
نعم تماماً ولكن حتاج الى التدرب عليها أولاً .

والسؤال هو : كيف نعرف أن هذا العدد من قوى العدد 2 ؟

مثال : 32 هذه سهلة جداً  32 = (2)^5

لكن : ماذا لو كان العدد هو : 16384   ؟

هذا هو السؤال الأهم جداً، وهنا نلاحظ اذا كان العدد
فردى فهو بالتأكيد ليس من قوى العدد 2

فى الحقيقة انت غير  ملزم بذلك .. هل العدد كبير ؟
جزئه الى أقرب عدد تعرفه بحيث يكون عبارة عن قوى
العدد 2 .

هل تعلم أن 1024 = (2)^10  ؟

الإستنتاج : 2048 = (2)^11

ما الذى حدث هنا ؟

الذى حدث عندما ضربنا (2)^10 فى 2
اعطتنا (2)^11 وهذا طبيعى جداً لأننا
فى حالة الضرب نجمع الأسس .


الآن : نريد تقسيم العدد السابق الى الوف
ثم مضاعفات العدد 24 ، وهذا تستطيع فعله .

العدد : 16384 = 384 + 16000

اذا كانت 16 ألف هى الهدق فيجب أن نحصل على 24×16

فنجد أن : 24×16 = 384  اذاً :

العدد : 16384 يحتوى على (2)^10 مضروبه فى نفسها 16 مرة

وبناء عليه : = 16 × 2^10 = (2)^4 × (2)^10 = (2)^14

وبناء عليه :

16384 ← 100000000000000

تستطيع بعد ذلك عند التضرب على الطريقتين ان الطريقة
التى تتناسب معك، ولكن لاحظ فإنك لو وجدت 16384
بالطريقة الأولى (القسمة المتتالية) فإنك تظل تقسم على
14 مرة أو ربما 15 مرة .