اثبت ان النسبة بين مساحتى مثلثين متشابهين كنسبة مربع طولى أى ضلعين متناظرين

نفرض أن نسبة التشابه كنسبة ك : م

بما أن المثلثان أ ب جـ  ،  د هـ و متشابهان اذاً :-

  أب         ب جـ         أجـ          ك
ــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ
 دهـ         هـ و           دو          م


تذكر : مساحة المثلث = ½ حاصل ضرب أى ضلعين فى
جيب الزاوية المحصورة بينهما :

مساحة أ ب جـ = ½ أب × أ جـ × جاأ

مساحة د هـ و = ½ دهـ × دو × جاد

بقسمة المساحيتين :

ولاحظ ان جاأ = جاد   لأن زاوية أ = زاوية د

نظراً لتشابه المثلثان .. وبناء عليه


    ½ أب × أ جـ × جاأ         أب × أ جـ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    ½ دهـ × دو × جاد         دهـ × دو


ولكن فى أول الإجابة قلنا من التشابه ينتج أن :

  أب           ك        أجـ          ك
ــــــــــــ = ــــــــــ  ، ــــــــــ = ــــــــــ
 دهـ           م         دو           م


      أب × أ جـ         ك         ك          ك
اذاً : ــــــــــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــ = [ــــــــ]²
      دهـ × دو         م          م           م


هذا يكافئ أن فى المثلين المتشابهين النسبة بين
مساحتى المثلثين كالنسبة بين مربع طولى أى ضلعين
متناظرين فيهما .