اشتقاق دالة الأس الطبيعى هـ^س ودالة اللوغاريتم الطبيعى لط (س)

أولاً يجب أن تكون ملم جيداً بقوانين
الأسس واللوغاريتمات نذكر منها ما يلى :

قوانين الأسس :

س^(أ+ب) = س^أ × س^ب

س^(أ×ب) = (س^أ)^ب  او العكس .

أ^0 = 1  حيث أ ≠ 0

النتيجة :

 أى دالة أسية تمر بالنقطة (0 ، 1)

لأن : د(0) = أ^0 = 1

نتيجة(2) : اى دالة أسية تقطع ما مقداره واحد من محور الصادات .


قوانين اللوغاريتمات :



لو(1) = 0            ،   لوأ = 1
 أ                           أ


            لوب
لوب = ــــــــــــــ
 أ          لوأ


بحيث أ ، ب ينتمى الى ح+


اذا كان : أ^س = ب  فإن : لوأ^س = لوب

ومنها : س لوأ = لوب  ومنها :


           لوب
س = ــــــــــــــ = لوب
           لوأ         أ


وتنطق لوغاريتم ب للأساس أ .

مباشرة ً بدون أجراء هذه الخطوات مرة ثانية نقول :

اذا كان  : أ^س = ب فإن  س = لوب
                                        أ

والعكس صحيح : يعنى : اذا كان : س= لوب
                                                 أ

فإن : أ^س = ب


نظرية : أ^لوس  = س
             أ

يعنى اذا وجد اساس مرفوع للوغاريتم س لنفس الأساس
فإن قيمة هذا المقدار = س

والعكس صحيح يعنى يمكن نقول : س = أ^لوس
                                                      أ

ما ينطبق على اللوغاريتم العادية ينطبق أيضاً على
اللوغاريتم النيبيرى (او اللوغاريتم الطبيعى)

اذا كان العدد النيبيرى هـ حيث هـ ≈ 2.71828

فإن لوس = لط (س)
     هـ

أى انه لط هى إختصار لـ لو
                               هـ

................................................................
نأتى الآن لموضوع العدد النيبيرى ونشرحه بالتفصيل :

د(س) = أ^س          حيث أ ينتمى لـ ح+


تعليل أ ينتمى لـ ح+ لأنه لو كانت أ سالبة فإن الدالة
تصبح متذبذبة : مثال : د(س) = (-2)^س

د(1) = -2   ، د(2) = 4 ، د(3) = -8

لاحظ : موجب .. سالب .. موجب ....

اذاً الدالة لا تأخذ شكل منحنى معين نستطيع إجراء الإشتقاق عليه .
فلا هى تزايدية ولا هى تناقصية (متذبذبة) اذاً نستثنى أن تكون
أ قيمة سالبة .

 قانون معدل التغير :

                       د(س+∆) - د(س)
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ
             ∆←0            ∆


لاحظ وضعت ∆ بدلاً من الرمز المعتاد (هـ) للتفرقة بينه
وبين العدد النيبيرى هـ .

ملحوظة أخرى : الأفضل أن نكتب ∆س وتعنى معدل تغير
س والذى يؤول الى الصفر كما هو واضح، ولكن للإختصار
فقط وضعتها هكذا ∆ .


د(س) = أ^س  دالة الأسية للأساس الموجب أ .


                          أ^(س+∆) - أ^س
دَ(س) = نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             ∆←0               ∆


               أ^س أ^∆ - أ^س
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــ
    ∆←0           ∆


                            أ^∆  -  1
= نهـــــــــا أ^س × ـــــــــــــــــــــ
    ∆←0                     ∆

للاحظ النهاية تشير على متغير ∆←0  ولا تشير
الى س .. يعنى النهاية بالنسبة لـ ∆ اذاً :

                         أ^∆  -  1
= أ^س نهـــــــا  ــــــــــــــــــــــ
            ∆←0          ∆


أنه من السهل ايجاد هذه النهاية بقاعدة لوبيتال عندما ∆←0
نشتق البسط مرة والمقام مرة .



نهــــــــا = مشتقة (أ^∆) عندما ∆ = 0
 ∆←0

لاحظ أ^∆ هى دالة أسية أيضاً (ان شئت ففقل هى نفسها)


اذاً : نهــــــــا = دَ(0)
       ∆←0

كيف نثبت ذلك بطريقة رياضياتية ؟

ببساطة شديدة جداً اوجد مشتقة الدالة عند الصفر ..


                                         أ^∆  -  1                     
قولنا : دَ(س) = أ^س نهـــــــا  ــــــــــــــــــــــ
                            ∆←0          ∆


                             أ^∆  -  1
دَ(0) = أ^0  نهـــــــا ــــــــــــــــــــــ ولكن أ^0 = 1
                ∆←0          ∆



                  أ^∆  -  1
اذاً : نهـــــــا ــــــــــــــــــــ = دَ(0)
       ∆←0        ∆      



مشتقة الدالة الأسية : اذا كانت : د(س) = أ^س


فإن : دَ(س) = أ^س  دَ(0)

مثال : د(س) = 2^س   اذاً دَ(س) = 2^س دَ(0)

إرسم هذه الدالة (رسم تقريبى) ولسنا بحاجة للتعويض
بإعداد كثيرة ،فقط ارسم الدالة فى الفترة  [1 ، -1]
هل تستطيع أن تقترب من قيمة دَ(0) من الرسم ؟
الإجابة : نعم تستطيع ذلك : ارسم الدالة فى الفترة
السابقة وقلنا أن أى دالة أسية تمر بالنقطة (0 ، 1)
ومن ثم إرسم ميل الخط المماس عندما س = 0
او عند النقطة (0 ، 1) : لاحظ ان ميل الدالة موجب
لأن الزاوية التى يصنعها الخط المماس مع محور السينات
فى الإتجاه الموجب له زواية حادة .

     
            طول المقطع الصادى
الميل= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           طول المقطع السينى


نريد أن نصل الى ماذا ؟

نريد ان نصل الى هل هذا الميل قيمته عدد صحيح ؟
مثلاً : هل قيمته 1 ؟

بالتأكيد اذا كان المقطع الصادى أقل من المقطع السينى
فإن البسط أقل من المقام وبالتالى النتيجة الق من الواحد .
واذا حدث العكس تكون النتيجة أكبر من الواحد ، واذا حدث
ان المقطع السينى = المقطع الصادى فإن النتيجة واحد تماماً

مما سبق نذكر ما يلى :

اذا كانت الدالة د(س) = 2^س  فإن : دَ(0) ≈ 0.6931

اذا كانت الدالة د(س) = 2^س فإن : دَ(0) ≈ 1.0986

الإستنتاج : كلما زاد الأساس كلما كانت : دَ(0) أكبر .

أى أننا نريد عدد ما (اساس للدالة) ما بين الـ 2  ،  3
بحيث تكون عنده : دَ(0) = 1 

السؤال هل يهمنا ما هو العدد ؟

فى الحقيقة هذا لا يهم الآن (فيما بعد ربما نستخدمه)

الأهم هو : اننا تيقنا من أنه يوجد عدد ما بين الـ 2 ، 3
تتحقق عنده أن  دَ(0) = 1

بعد عدة حسابات توصلنا الى أن العدد ≈ 2.71828
وهو العدد النيبيرى ونرمز له بالرمز هـ أو بالإنجليزية e

لماذا بحثنا عن هذا العدد بالذات ؟

لأن هذا العدد يحقق شىء غريب جداً لم يحدث فى تاريخ التفاضل
والتكامل او ان شئت فقل لم يحدث فى تاريخ الرياضيات .

د(س) = هـ^س     ومنها دَ(س) = هـ^س دَ(0)

دَ(س) = هـ^س × 1  اذاً : دَ(س) = هـ^س

يتحقق من خلال ذلك أن : د(س) = دَ(س)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اللوغاريتم الطبيعى :

قولنا أن مشتقة هـ^س هى نفسها .. ماذا عن 2^س ؟
او بصفة عامة ماذا عن مشتقة أ^س حيث أ عدد حقيقى
موجب فيما عدا هـ ؟

الإجابة هى اللوغاريتم الطبيعى :

د(س) = أ^س

يمكن أخذ لط للطرفين .. ونكمل ولكن هذا يخرجنا عن سياق
المسألة حيث أننا لم نتتطرق بعد لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى

ولكن يمكن وضع الدالة أ^س فى صورة دالة للأساس هـ

من خصائص اللوغاريتمات ينتج أن : أ = هـ^لوأ
                                                    هـ

يعنى : أ = هـ^لط(أ)   برفع الطرفين للقوى س .


أ^س = [هـ^لط(أ)]^س   ومن خصائص الأسس ينتج :


أ^س = هـ^[لط(أ) س]     اليس أ^س = د(س)  ؟


اذاً : د(س) =  هـ^[لط(أ) س]  تحولت الى دالة الأس الطبيعى


بتطبيق (قاعدة chain rule)


دَ(س) = لط(أ) هـ^[لط(أ) س]

اليس : هـ^[لط(أ) س] = د(س) ؟

اذاً : دَ(س) = لط(أ) د(س)

أو :  دَ(س) = لط(أ) أ^س

مثال : اذا كانت : د(س) = 3^س فإن دَ(س) = لط(3) × 3^س

اذا كانت الدالة : د(س) = هـ^س فإن دَ(س) = لط(هـ) × هـ^س

ولكن لط(هـ) = لوهـ = 1  
                   هـ

اذاً : دَ(س) = هـ^س

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
مشتقة الدالة العكسية لـ هـ^س (دالة اللوغاريتم الطبيعى)

حتى لا أدخلك معى فى متاهات مثل كل مرة :)

ببساطة ويسر الدالة العكسية هى دالة اللوغاريتم الطبيعى
واعتقد إنك لم تدرس اللوغاريتمات بعد فى المدرسة لذلك
اذا وجدت صعوبة فى فهم ذلك فأجله الى حين آخر .

اذا قولنا : س = هـ^ص 

ايجاد ص بدلالة س (هذه هى الدالة العكسية)
نقول بأخذ لط للطرفين .

لط (س) = لط هـ^ص   ومن خصائص اللوغاريتمات ينتج أن :

ص = لط (س)       او    د(س) = لط (س)

كيف نشتق هذه الدالة ؟   نرجعها لأصلها (دالة أس طبيعى)

بما أن : د(س) = لط (س)  اذاً س = هـ^د(س)

لاحظ الأس هنا دالة فى س :::: وهنا نذكر أن

مشتقة هـ^د(س) = دَ(س) هـ^د(س)

حسب قاعدة (chain rule)

اذا كانت : س = هـ^د(س) نشتقة الطرفين بالنسبة لـ س

1 = دَ(س) هـ^د(س)    ولكن د(س) = لط (س)  اذاً


دَ(س) هـ^ لط(س) = 1   ولكن هـ^ لط(س) = س


                                                  1
اذاً : دَ(س) س = 1  ومنها : دَ(س) = ـــــــــــ
                                                 س


                                       1
اذاً : مشتقة لط (س)  هى  ـــــــــــ
                                     س



                                               دَ(س)
بصفة عامة : مشتقة لط[د(س)] = ــــــــــــــــــ
                                               د(س)                                 

بمعنى اذا كان ما داخل اللوغاريتم دالة فى س فإن :


                 مشتقة ما داخل اللوغاريتم
مشتقته = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      ما داخل اللوغاريتم


الإثبات : نفرض أن : د(س) = لط[ق(س)]

ومنها : ق(س) = هـ^د(س) نشتق الطرفين بالنسبة لـ س


قَ(س) = دَ(س) هـ^د(س)  ولكن د(س) = لط[ق(س)]


اذاً : قَ(س) = دَ(س) هـ^لط[ق(س)]

اذاً : قَ(س) = دَ(س) ق(س)


                قَ(س)
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــ
               ق(س)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بعض التطبيقات على اللوغاريتم الطبيعى :-

قلت فى خطوات سابقة أن :

د(س) = أ^س

يمكن أخذ لط للطرفين .. ونكمل ولكن هذا يخرجنا عن سياق
المسألة حيث أننا لم نتتطرق بعد لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى

الآن وبعد معرفتنا بمشتقة اللوغاريتم الطبيعى نأخذ لط للطرفين :


لط د(س) = لط أ^س ومنها لط د(س) = س لط(أ)

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س ينتج :

  دَ(س)
ـــــــــــــــ = لط(أ)  ومنها دَ(س) = لط(أ) د(س)
 د(س)


اذاً : دَ(س) = لط(أ) د(س)

بنفس الطريقة نثبت أنه اذا كانت : د(س) = هـ^ق(س)

فإن : دَ(س) = قَ(س) هـ^ق(س)

الإثبات : د(س) = هـ^ق(س)  بأخذ طل للطرفين

لط[د(س)] = لط[هـ^ق(س)]

لط[د(س)] = ق(س)     (راجع خصائص اللوغاريتمات)

نشتق الطرفينب بالنسبة لـ س

  دَ(س)
ــــــــــــــــ = قَ(س)
 د(س)


اذاً : دَ(س) = قَ(س) د(س)

دَ(س) = قَ(س) هـ^ق(س)


.......................................................................

هل تعلم ما هى مشتقة د(س) = س^س   ؟

بأخذ لط للطرفين : لط[د(س)] = لط س^س

لط[د(س)] = س لط (س) وبتطبيق قاعدة الضرب فى المشتقة .


   دَ(س)                                 1     
ــــــــــــــــــ = لط (س) + س× ــــــــــــ
  د(س)                                س


       دَ(س)
اذاً : ـــــــــــــ = 1 + لط (س)
      د(س)



ومنها : دَ(س) = د(س) [ 1 + لط (س)]  ولكن د(س) = س^س


اذاً : دَ(س) = س^س  [ 1 + لط (س)]


هل تعلم ما هى مشتقة د(س) = س^س^س ؟ .. جربها بنفسك .

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
طرق عددية لحساب العدد النيبيرى :

كيف توصل جاكوب برنوللي إلى هذا العدد ؟

يحتاج إلى الأمر إلى شيء من المقدمة في
 الفائدة المركبة (Compound Interest)..


لنفرض أن شخصاً أودع مبلغاً من المال مقداره س في البنك
 ، وهذا البنك يعطي فائدة سنوية مقدارها ف ،
 والفائدة تضاف كل سنة .. كيف ذلك ؟


لنفرض أن الرجل ترك مبلغ 100 دولار 5 سنوات بفائدة
سنوية 10% .. بعد السنة الأولى .. سيكون المبلغ الكلي :

100 + (0.1 × 100) = 110

بالرموز نقول : س + ف س = س (1 + ف)

في السنة الثانية : س(1+ف) + ف س(1+ف)

= س (1+ف) (1+ف) = س (1+ف)²

... وهكذا .. بعد خمس سنوات تكون الفائدة

س (1+ف)^5   وبعد ن من السنوات : تكون :

س(1+ف)^ن

حيث س = المبلغ المودع ، ف = الفائدة المركبة

لكن هذا فى حالة أن الفائدة تضاف سنوياً،، ماذا
لو كانت الفائدة تضاف شهرياً ؟
                                                        0.1
ستجد أن الناتج فى نهاية السنة =س(س + ــــــــ)^12
                                                        12


الآن ماذا لو كانت الفائدة تضاف يومياً ؟ فإن فى خلال سنة

                       0.1
يكون : س(س + ــــــــــ)^365
                       365


ماذا لو كانت الفائدة تضاف بشكل مستمر (لحظة بلحظة) ..
يكون لدينا فائدة مركبة مقدارها :

                           0.1
نهـــــــا س (س + ـــــــــــــ)^ن
 ن←∞                   ن

فكر برنوللي فيما إذا كانت الفائدة 100% سنوياً والمبلغ الأصلي
دولاراً واحداً .. فإذا كانت الفائدة تضاف شهرياً فسنحصل على
2.613 تقريباً في نهاية السنة ، وإذا كانت إضافة الفائدة يومية
 فإن سنحصل على 2.715 تقريباً في نهاية السنة

لاحظ برنوللي أن المتتالية السابقة تتقارب إلى عدد بعينه ..

وإذا كانت الفائدة تضاف بش كل مستمر ( في كل لحظة ) ..
فإننا سنحصل على .

                    1
نهـــــــا  (1 + ــــــــ)^ن
 ن←∞           ن


يمكنك أن تجرب بالآلة الحاسبة ضع مثلاً ن = 100

           1
(1 + ـــــــــــ)^100  ≈ 2.7
         100


ضع ن = 1000

           1
(1 + ــــــــــــ)^1000 ≈ 2.7169
        1000



وأخيراً  نقول إن العدد النيبيرى عدد غير نسبى ويمكننا
الإستمرار هكذا الى لا نهاية من الأعداد العشرية ...


                    1
نهـــــــا  (1 + ــــــــ)^ن ≈ 2.718281828
 ن←∞           ن

طالع اثبات الصيغة من هنا

........................................................
إستعمال متسلسلة ماكلورين لنشر الدالة هـ^س

د(س) = هـ^س  ، دَ(س) = هـ^س ، دً(س) = هـ^س

وهكذا فإن المشتقة النونية أيضاً = هـ^س

                             س²         س³   
هـ^س = 1 + س + ـــــــــــ + ــــــــــــ + ....
                              2!          3!


وبوضع س = 1  للطرفين  :


                      1          1           1
هـ = 1 + 1 + ــــــــــ + ـــــــــ + ــــــــــ + ....
                     2!         3!          4!


          ∞         1                  
هـ = سيجما ــــــــــــــ
        ن=0       ن!