اثبات ان مجموع المتتابعة جـ = 1+2+3+...+ن = ن(ن+1)/2

نأخذ أولاً حالة خاصة ولتكن المتتابعة :

1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ....... ،ن

ونريد ان نوجد مجموع من 1 الى ن

نرمز للمجموع بالرمز جـ
جـ = 1 + 2 + 3 + .... +ن

نعلم أن (الجمع ابدالى)

يعنى : س+ص = ص+س

الآن :

جـ = ن+(ن-1)+ .... + 3 + 2 + 1


الآن نأخذ الحالتين معاً :

جـ = 1 + 2 + 3 + .... +ن


جـ = ن+(ن-1)+ .... + 3 + 2 + 1

بجمع كل حد مع الذى يقابله ..
يعنى مثلاً جـ + جـ = 2 جـ

1+ن = (1+ن) ... وهكذ ..


2جـ = (ن+1) + (ن-1 +2) + ....

ماذا تلاحظ ؟ نلاحظ ان ن -1 + 2 = ن+1

وهكذا .. (ن-2 + 3) = (ن+1)

اذاً :

2جـ = (ن+1)+(ن+1)+(ن+1)+......+(ن+1)

كم مرة تكررت (ن+1) ؟

الإجابة سهلة ( تكررت ن مرة )  .. اذاً


2جـ = ن(ن+1)  بالقسمة على 2


          ن(ن+1)
جـ = ــــــــــــــــــــــ
              2


تستطيع بطريقة مشابهة أن تثبت مجموع المتتابعة
الحسابية التى حدها الأول أ ، وحدها الأخير ل
وعدد حدودها ن حداً :


           ن(أ+ل)
جـ = ــــــــــــــــــــــــ
              2





مثال : اوجد المجموع :

 1 + 2 + 3 + .... +2500



فقط نضع ن = 2500 فى القانون :


          ن(ن+1)
جـ = ــــــــــــــــــــــ
              2



        2500(2500 + 1)
جـ = ــــــــــــــــــــــــــــ = 3126250
               2