إوجد القانون العام لحساب المتسلسلة Un = x+2x²+3x³+...+nx^n

Un = x+2x²+3x³+....+nx^n

بأخذ x عامل مشترك ..

Un = x[1+2x+3x²+4x³+...+nx^(n-1)]       ll


الآن ما داخل القوس هو تماماً مشتقة :

ll           x+x²+x³+...+x^n


هذه المشتقة عبارة عن متتابعة هندسية
حدها الأول = x واساسها x
نستخدم قانون مجموع المتتابعة .


ll   x+x²+x³+...+x^n = x(x^n - 1)/(x - 1)  ll

ll      = (x^(n+1) - x)/(x - 1)       ll


الآن نشتق بقاعدة (القسمة quotient rule )

نطلق مثلاً على هذه العبارة E

ll     (E)' = [((n+1)x^n - 1)(x-1) - x^(n+1) + x]/(x-1)²

ll                       = [nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1]/(x-1)²


هذه المشتقة تكافى القوس :

[1+2x+3x²+4x³+...+nx^(n-1)]

وبضرب المشتقة فى x ينتج لك القانون العام


Un =  x[nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1]/(x-1)²

..........................................................

مثال: (فقط للتأكد)

إوجد مجموع الحدودية :

U5  = 3+2(3)²+3(3)³+...+5(3)^5


نضع x=3   و  n=5  فى القانون العام ..


U5 = 3[5(3)^6 - 6(3)^5 + 1]/(3-1)²


U5 = 1641‏ 

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ 

هناك ملاحظة أردت ذكرها :


ما داخل القوس :
l [1+2x+3x²+4x³+...+nx^(n-1)]  l

قلت فى الإجابة السابقة :

هو مشتقة : ll     1+x+x²+...+x^n

ثم تراجعت وقلت هو مشتقة :

ll                   x+x²+x³+...+x^n

ولكن فى الحقيقة هو أن ما داخل القوس مشتقة

ll                     C+x+x²+...+x^n


حيث C ثابت

وانا أخذت الحالة التى فيها C = 0

** والسبب C لأن مشتقة الثابت = 0 **

الآن : E =   C+x+x²+...+x^n

متتابعة هندسية أساسها x
حدها الأول الثابت C

E = C(x^n - 1)/(x - 1)       ll


وبإستخدام قاعدة القسمة فى الإشتقاق ..


E'  = [Cnx^(n-1)*(x-1) - Cx^n + C]/(x-1)²


بعد التبسيط ينتج :

E' =  C[(n-1)x^n - nx^(n-1)+ 1]/(x-1)²

وبضرب المشتقة الأولى فى x ينتج لنا Un


Un =  Cx[(n-1)x^n - nx^(n-1)+ 1]/(x-1)²


حيث C عدد حقيقى ثابت لا يساوى الصفر .

لكن اذا تركنا القانون هكذا يظل ناقصاً لأن
C عبارة عن أى عدد حقيقى يختلف من مجموع
متتالية لأخرى .. ولذلك نعود الى الخطوة الأولى
مرة ثانية : ونفسر لماذا وضعنا C = 0  أولاً
ثم أجرينا عملية الإشتقاق ؟

E =   C+x+x²+...+x^n

ونقول لماذا أخذنا الحالة :  الثابت C=0   ؟

التفسير : أجرينا عدة إحتمالات منها أخذنا C=1
فوجدنا القانون العام غير صالح ..

جرب احسب يدوياً(بدون قانون)

U5  = 3+2(3)²+3(3)³+...+5(3)^5

ثم احسبها فى القانون (اصنعه بنفسك) عندما C=1

تجد أنه لا يطابق النتيجة التى حصلت عليها (بدون القانون)

ثم وضعنا C=0 وأجرينا الإشتقاق وضربنا فى x
الى ان ظهر القانون العام فوجدنا أن القانون صحيح
عندما C=0 هذا وحده يؤكدا لنا أن الثابت C = 0

وللتأكد أكثر : نأخذ أى نقطة تحقق الدالة

E =   C+x+x²+...+x^n

ولكن حتى لا نخوض فى خطوات أخرى كثيرة
نركز فقط على انه تم تجربة ثوابت منها 1
ثم 0 فأعطانا القانون العام صحيح .


القانون العام هو :

Un =  x[nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1]/(x-1)²


وقد تأكدت منه بنفسى على عدة أعداد مختلفة .
(تستطيع أيضاً أن تتأكد منه بنفسك) 

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

وهناك حل آخر ولك ان تختار الأفضل بالنسبة لك .

Un(x) = x+2x²+3x³+...+nx^n


الآن نضرب Un (الطرفين فى x)


xUn(x) = x²+2x³+...+nx^(n+1)    ll


بطرح xUn من Un  :


Un - xUn = x+x²+ x³ + ...+x^n - nx^(n+1) ll

ولكن الحدود x+x²+ x³ + ...+x^n
عبارة عن مجموع متتابعة هندسية :

x+x²+ x³ + ...+x^n = x(x^n -1)/(x-1)  ll

اذاً :

Un - xUn  = x(x^n -1)/(x-1)  -  nx^(n+1)  ll


بعد التبسيط وتوحيد المقامات ينتج أن :

Un(x) - xUn(x) = x[(n+1)x^n - nx^(n+1) - 1]/(x-1) ll


ll -(x-1)Un(x) =  x[(n+1)x^n - nx^(n+1) - 1]/(x-1) ll


الحد ll (x-1)  ll   يأتى الى الطرف الايسر فى المقام ..
ومن ثم نضرب الطرفين فى -1 للتخلص من السالب ..


Un(x) =  x[nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1]/(x-1)² ll


ملاحظة نسيت أن اذكرها وهو ان هذه الدالة غير
معرفة عندما x = 1  وهذا لا يهم فعندما x=1 فإن
القانون يصبح سهل جداً ، ولسنا بحاجة الى
هذا القانون الآخر .. لاحظ :-


Un(x) = x+2x²+3x³+...+nx^n


وبوضع x = 1  للطرفين ..

Un(1) = 1+2+3+...+n = n(n+1)/2

ملحوظة : هذه متطابقة مشهورة ..