هل هناك قاعدة عامة لمعرفة ما اذا كان عدد طبيعى ما له أكثر من جذر ؟

من المعروف ان الجذر التكعيبة لاربعة و ستين = 4 والجذر التربيعيى = 8

فهل هناك اعداد اخري تحقق هذة الميزة ؟  " ليس شرط جذر تكعيبى او تربيعى اى جذرين ؟؟ "

يعنى هل يوجد اعداد اخري تحقق

الجذر الميمي لسين = أ
الجذر النونى لسين = ب
حيث ب=/=أ " اى ان س =/= 1 " ؟؟
وبحيث س و ص اعداد صحيحة طبيعية ؟؟؟؟

هل يوجد ؟؟؟

وما هى القواعد التى نقوم بها للتاكد من ان هذا العدد له هذا النوع من الجذرين .؟

وهل هناك طريقة لاستخراج هذا النوع من الاعداد ؟

دالة مثلا او او ؟؟

س^(1\م) = ك^ن         (1)

ص^(1\ن) = ك^م         (2)

يمكن اعادة ترتيب (2) بحيث تتحول الى :

ص^(1\م) = ك^ن         (2)

س^(1\م) = ك^ن         (1)


بقسمة (1) على (2)

   س
(ـــــــــــ)^(1\م) = 1
  ص


ومنها س/ص = 1  ومنها س = ص

للأسف لن يتحقق الشرط الا اذا كانت :

س = ص           :(

ولنأخذ العدد س = ص = 2

الجذر التكعيبى لـ(2)

الجذر التربيعى لـ (2)

وهذا يتحقق دائماً على اى عددين !

لماذا ؟

مثال اذا أخذنا العدد س .

الجذر التكعيبى لـ س = س^(1\3)

الجذر التربيعى لـ س = س^(1\2)

خذ الجذر التربيعى للأول :

جذر[س^(1\3)] = س^(1\6)

خذر الجذر التكعيبى للثانى ..

الجذر التعكيبى لـ [س^(1\2)]


= س^(1\6)


مثلاً بالنسبة لمثالك :

الجذر التعكيبى لـ (64) = 4

جذر(64) = 8

الآن : جذر(4) = 2

الجذر التعكيبى لـ (8) = 2


وبصفة عامة الطريقة تصلح لأى جذرين مختلفين من الدرجة م ، ن   .

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

لاحظ : الاعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة
الأعداد الحقيقية، لذلك يظل الشرط هو نفسه :

                      س = ص


س^(1\م) = ك^ن     

س^(1\ن) = ك^م 

الشرط الآخر وهو ان يكون الناتج عدد طبيعى
هذا الشرط يتحقق فى حالة تحقق الآتى :

نأخذ أمثلة خاصة على الجذر التربيعى والتكعيبى .


4 × 4 × 4

8 × 8 × 8

16 × 16 × 16


بحيث ان الجذور التعكيبية لهؤلاء هم :

4 ، 8 ، 16 على التوالى .. وجميع نواتجها
مربعات كاملة .. وهذا هو القصد .

مثال آخر : 2 × 2 × 2 = 8

لذلك 8 لا تحقق الشرط :

الجذر التعكيبى لـ (8) = 2

فى حين أن 2 ليست مربع كامل .

الآن نفرض أن : س = ن² × ن² × ن² = ن^6

حيث ن عدد طبيعى .

الجذر الثالث لـ ن² × ن² × ن² = ن²

الجذر التربيعى لـ ن² × ن² × ن²

= الجذر التربيعى لـ ن³ × ن³ = ن³

عند تعميم هذا على جميع الجذور يجب ان
يتحقق أن : الجذر (م×ن) للعدد الطبيعى هو
عدد طبيعى أيضاً :

فى المثال السابق 2×2×2 = 8

نجد ان الجذر السادس للعدد 8 ليس عدد
طبيعى، ولكن :

4 × 4 × 4

الجذر السادس لـ (4×4×4) = 2


وهنا ناتى الى التعميم النهائى وهو ان يكون ناتج
الجذر الذى درجته (م×ن) - او مضاعفاته - ناتج
عدد طبيعى ..

مثال : 16 × 16 × 16

الجذر الأول : م = 3       (تكعيبى)

الجذر الثانى : ن = 2     (تربيعى)

الجذر الذى درجته م×ن = 6  (الجذر السادس)


16 × 16 × 16 = 4×4×4×4×4×4

(لاحظ ست اربعات) هذا دليل كافى على ان
الحالة هنا تجوز على الجذرين 2 ، 3 .

ولكن فى الحقيقة مازال هناك تحليل .. فـ

 4×4×4×4×4×4

= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

هكذا اثنى عشر مرة .

ولكن 12 من مضاعفات لـ 6  وهذا أيضاً يؤكد لنا
أنها جائز على الجذور الآتية :

نوجد قواسم العدد  12   وهى المجموعة

ق(12) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12}

ومن ثم نوجد المجموعات الجزئية ( الثنائية لها
اى التى تتكون من عنصرين فقط .. وهى

{

{1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}،
{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 12}،{4 ، 6}،{4 ، 12}
،{6 ، 12}،

}

ومن ثم نستثنى المجموعات التى حاصل ضرب
عنصريها أكبر من 12 .. فيتبقى لدينا .

{

{1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}،
{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}، {3 ، 4}

}

منهم 6 مجموعات (لا تضيف لنا شىء جديد)

وهم : {1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}

فمن المعروف انك لو اخذت الجذر الإثنى عشرى لـ


= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

فإن الناتج عدد اذا أخذنا الجذر الأول له يكون
عدد طبيعى .. وهذا حل تستطيع ان تسميه
بالحل التافه لأنه معروف أن أى عدد طبيعى
جذره الأول عدد طبيعى أيضاً ..

خذ مثلاً المجموعة {1 ، 3}

وهى تعنى اذا اخذت الجذر الأول لـ

= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

فإن الناتج عدد جذره الثالث ناتجه عدد طبيعى

او العكس : يمكن ان نقول اذا اخذت الجذر الثالث
لـ 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12
فإن الناتج عدد جذره الأول عدد طبيعى، وفى
جميع الحالات فهى حلول لا تضيف الينا جديد .

اذاً نستطيع أن نستخلص أربع مجموعات تعبر عن
مجموعة الحل الفعلية، وهى المجموعة :

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}، {3 ، 4}

}

بحيث استثنينا الجذر الأول والذى لا يفيدنا فى شىء .
وبدئناً من الجذر التربيعى .. فتكون لدينا أربعة حلول
ممكنة .

مثال : خذ المجموعة {2 ، 3} وهى تعنى أن أخذ
جذر أحدهما للعدد (2)^12  يعطى الآخر .


وهنا نلاحظ شىء جيد جداً وهو ان الأعداد الأولية
لا تملك أى حلول فعلية لأن عدد قواسمها 2 فقط
1 والعدد نفسه وعند طرحهم لا تتبقى أى قواسم
أخرى للعدد .


ولنأخذ المثال الذى وضعته : 64

أول شىء نحلل 64 الى عواملها الأولية .

وبعد التحليل ينتج لك 64 = (2)^6

لاحظ (هذا يعنى أن 2 لا تحلل أكثر من ذلك)
وهنا نأخذ الـ 6 (أى نأخذ الأس) ونحلله ايضاً
الى عوامله الأوليه .

6 = 2 × 3

إوجد قواسم العدد 6 واستثنى منها 1 ، 6
يتبقى لك أيضاً المجموعة {2 ، 3}

ومن ثم كون منها المجموعات الجزئية التى
عددها 2ق2 = 1  

اذاً عدد طريق الحل هى طريقة واحدة وهى
المجموعة {2 ، 3}

بمعنى إن 64  لا يصلح معه أى جذرين الى الثانى
والثالث : ( التربيعى التكعيبى)

نأخذ مثالاً آخر : عند تحليلك لهذا العدد 16777216

فإنه = [2]^24

وهنا نوجد قواسم العدد 64 فيما عدا 1 ، 64 .

{2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12}

الآن نوجد المجموعات الجزئية والتى عددها :

6ق2 = 15  مجموعة جزئية .

(لاحظ 6 يعنى عدد عناصر القواسم)
(32 اى عدد عناصر ما تحتويه المجموعه الواحدة)

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 8}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 8}،{3 ، 12}،{4 ، 6}،
{4 ، 8}،{4 ، 12}،{6 ، 8}،{6 ، 12}،{8 ، 12}

}

نشطب على المجموعة التى حاصل ضرب عنصريا
أكبر من 24 ... فيتبقى لدينا المجموعات الآتية :

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 8}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 8}،{4 ، 6}

}


اذاً عدد الحلول الممكنة = 9


مثال : هذا العدد 19683  عند تحليله يصبح :

[3]^9

الآن نوجد قواسم العدد 9 ونحذف منها طبعاً
1 ، 9  فتجد انه تبقى لدينا قاسم وحيد وهو 3
هل 3 نستطيع ان نكون بها مجموعة واحدة على
الأقل تتكون من عنصرين ؟ بالتأكيد هذا مستحيل
واذا قلت {3 ، 3} فهذه المجموعة كأك كتبت {3}

لذلك عدد الحلول الممكنة = 0


مثال : العدد 4 عند تحليله يعطى (2)²
ولكن الأس 2 عبارة عند عدد أولى .. اذاً

عدد الحلول الممكنة = 0


مثال : 12 عند تحليله يعطى (2)² × 3

هنا لا نختبر أصلاً لأن العدد 12 تحلل الى عددين
أوليين مختلفين .. لذلك :

عدد الحلول الممكنة = 0


وهنا خاصية هامة جداً : عند تحليلك لعدد
ما الى عوامله الأولية ووجدته قد تحلل الى عددين
اولين مختلفين .. اذاً عدد الحلول الممكنة = 0

مثال ولنأخذ عدد كبير : 2736

فى الحقيقة انت غير ملزم بتحليل هذا العدد تحليلاً
كاملاً، فقط تعلم انه عدد زوجى وكما ان مجموع أرقامه
عدد يقبل القسمة على 3 .. اذاً 2 ، 3 من عوامل هذا
العدد .. اذاً عدد الحلول الممكنة = 0


النتيجة النهائية :

اذا استطعنا أن نضع اى عدد طبيعى على
الصورة  [أ]^م لكل أ عدد أولى ، م عدد مؤلف
ليس على الصورة س^ن بحيث س عدد اولى
فإنه يوجد على الأقل مجموعة ثنائية تنتمى
لمجموعة الحل ..

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
طالع السؤال من هنا