متى تكون نهاية الدوال الكسرية عند صفر من أصفار مقامها موجودة ؟

في الدوال الكسرية هناك قيمة تعدم المقام غالباً "و ليس دائماً" و بالتالي هذا العدد يقسم مجموعة التعريف إلى مجالين , و عند إيجاد النهاية عند هذا العدد من اليمين و من اليسار تكون أحدهما من تساوي + لا نهاية و الأخرى - لا نهاية , إذا هل لهذا التابع نهاية عند هذا العدد ؟ طالما لم تتساوى النهاية من اليمين و من اليسار ؟ و هل يمكن التعميم أن أي تابع كسري من نفس الشكل ليس له نهاية عند القيمة التي تعدم المقام ؟

مثال :
f(x) =1/x-3
مجموعة التعريف : هي R/{3}
أو :
]3,+∞[اجتماع]-∞,3[
النهاية عند 3 من اليمين تساوي +∞

النهاية عند 3 من اليسار تساوي -∞

النهاية من اليسار لا تساوي النهاية من اليمين   , إذا أين النهاية ؟

الرسم البياني :

الدوال الكسرية تستطيع ان تقسمها الى ثلاثة أنواع .

النوع الأول : أصفار المقام لا تنتمى لمجموعة الأعداد
الحقيقية، وهذا النوع مجاله IR .

النوع الثانى : أصفار المقام تنتمى لمجموعة الأعداد
الحقيقية، ولكن النهاية غير موجودة عند صفر من
أصفارها او عند جميع أصفارها .

النوع الثالث : أصفار المقام تنتمى لمجموعة الأعداد
الحقيقية، ولكن النهاية موجودة عند صفر من أصفارها
او عند جميع أصفارها .

..........................................................
فى الغالب يتم الحل على هذا الأساس :-

              أ
نهــــــــا ـــــــــــــ
س←0   س^ن

حيث أ عدد حقيقى ، ن عدد طبيعى .

ليكن أ عدد موجب، فإنه اذا كانت ن عدد فردى
فالنهاية ليست موجودة لأنه النهاية على يمين
الصفر هى +∞ ، وعلى يسار الصفر هى -∞

فى حالة ن عدد زوجى فإن النهاية موجودة
عند الصفر ، لأن النهاية من اليمين = النهاية من
اليسار = +∞

أول ما يتبادر الى ذهنك هو وما علاقتى بالصفر
انا اتحدث عن نهاية الدالة عند اى عدد ما من
أصفار مقامها ولم أحدد الصفر فقط !

الإجابة : من السهل هنا ان تتعرف على أننا
نستطيع تحويل الدالة الكسرية الى تلك الحالات
السابقة .. وهذا ما سأتحدث عنه .. ونبدأ بالتدرج
فى الأمثلة .

أولاً : سأكتب المصطلحات بالعربى وما يقابلها بالإنجليزى ..

د(س) = f(x)

نهـــا = lim

ولا تنسى ان قرآتك من اليمين الى اليسار لأنى
أعلم انك تعودت على الرياضيات من اليسار الى
اليمين .. فـ مثلاً المقدار س^ن يقرأ س أس ن
وليس ن أس س .

                         1                  
الأمثلة : نهـــــــا ـــــــــــــ = +∞  او -∞
          س←0     س

فى الحقيقة النهاية هنا لم تتعين اذاً النهاية
غير موجودة .. يمكنك وضع س عدد موجب
يؤول الى الصفر فتجد ان النتيجة 1/عدد موجب
يؤول الى الصفر تعطى +∞

ولكن اذا اقتربنا من يسار الصفر فإن س
تصبح عدد سالب يؤول الى الصفر
1/عدد سالب يؤول الى الصفر يعطى -∞


لاحظ :

1  0.9   0.0001  ►0◄  -0.0001   -0.9  -1

مجرد تخطيط على خط الأعداد حتى تتخيل الإقتراب
على يمين ويسار الصفر .

                           1
مثال آخر : نهـــــــا ــــــــــــ = +∞
             س←0    س²


لماذا النهاية تعينت هنا ؟

الإجابة سهلة جدا : ضع س عدد موجب يؤول
الى الصفر ، اذاً موجب على موجب = موجب

ضع س عدد سالب يؤول الى الصفر ، هنا
تجد ان الأس التربيعى يلغى الإشارة السالبة
لأن سالب × سالب = موجب

اذاً فى جميع الحالات س² موجبة، وهنا اذ
تم الحل فى حقل الأعداد الحقيقة فإن
النهاية فى جميع الحالات سواء من اليمين
او اليسار  +∞

الفكرة العامة هى : الأس الفردى لا يلغى الإشارة
السالبة، ويتعامل مع الموجب موجب ومع السالب سالب
بينما الأس الزوجى لا تفرق معه فهو يتعامل مع الموجب
موجب، ومع السالب موجب أيضاً ..

من جهة أخرى تعلم انك لو قسمت تفاحة مثلاً
على مليار شخص هل أحد سيأخذ شىء ؟
بالتأكيد النتيجة تؤول الى الصفر كلما آل عدد
الأشخاص الى مالانهاية، وهذا نعبر عنه بـ

                  1
نهــــــــــــــا ــــــــــــ = 0
س←±∞     س


سواء س تؤول الى موجب مالانهاية او سالب
مالانهاية فإن الناتج يؤول الى الصفر، ولكن الفرق
بين الأولى والثانية هو ان الأولى الإقتراب يكون
على يمين الصفر، والثانى الإقتراب على يسار الصفر
وفى جميع الحالات فالنهايات تتعامل مع هذا النوع على
أنه صفر .

                                   أ          
بصفة عامة : نهــــــــــــا ــــــــــــــ = 0
                س←±∞      س

حيث أ عدد حقيقى .

                س
نهــــــــــا ــــــــــــــــ = ∞
س←∞        أ

حيث أ عدد حقيقى لا يساوى الصفر .

وبصفة عامة ايجاد النهاية عند اللانهاية يتعين
بالآتى :

اذا كانت درجة البسط اصغر من درجة المقام
فإن النهاية تساوى صفر ، واذا كانت درجة
البسط أكبر من درجة المقام فإن النهاية
تساوى مالانهاية .

ولنأتى الى المثال الذى ذكرته ..

                 1
د(س) = ـــــــــــــــــــ
             س - 3


المجال = ح - {3}

                               1
الآن نريد : نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
             س←3      س - 3

                                            1
عند التعويض بـ س = 3  فإن الناتج ــــــــ
                                            0

وهذه الكمية غير معرفة لأن القسمة على
الصفر غير جائزة .

النهاية هنا تؤول الى الـ 3 سنحولها الى نهاية
أخرى  (او ان شئت فقل وضعها فى قالب آخر)
بحيث نجعل النهاية تؤول الى الصفر .

نفرض أن المقام : س - 3 = ص

وعندما س تؤول الى 3 فإن ص
تؤول الى الصفر .. كيف ؟؟ عوض س = 3

3 - 3 = ص   ومنها ص = 0  او تؤول الى الصفر .

عوض فى النهاية الأصلية ...

            1
نهـــــــا ــــــــ
ص←0   ص

أنت قد علمت مسبقاً ان هذه النهاية غير موجودة
لأن النهاية على يمين الصفر لا تساوى النهاية على
يسار الصفر .

والآن لنأخذ نفس المثال ونعدل عليه قليلاً ..

                  1
نهــــــــا  ــــــــــــــــــــ
س←3      (س - 3)²

النهاية هنا موجودة وتساوى +∞ وللتأكد
نفعل نفس الخطوات ..

نفرض أن س - 3 = ص  ومنها اذا كانت
س تؤول الى 3 فإن ص تؤول الى الصفر .. عوض ..

              1
نهــــــــا ــــــــــــ
ص←0     ص²

وقد سبق وقلنا ان هذه النهاية موجودة لأن المقام
مرفوع لأس تربيع .

وبصفة عامة (وبدون تعويض)

               جـ
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــ
س←أ    (س - أ)^ن


غير موجودة فى حالة ن عدد فردى
موجودة فى حالة ن عدد زوجى .

ملحوظة : جـ عدد حقيقى .

اذا كان جـ عدد حقيقى موجب وكان ن عدد زوجى
فإن النهاية موجودة وتساوى +∞
اما اذا كانت جـ عدد حقيقى سالب فإن
النهاية موجودة وتساوى - ∞