اثبت أن : ل(أ∪ب∪جـ) = ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) + ل(أ∩ب∩جـ) - ل(أ∩ب) - ل(ب∩جـ) - ل(أ∩جـ)

ل(أ∪ب∪جـ) = ل(أ∪ب) ∪ ل(جـ)

= ل(أ∪ب)+ل(جـ) - ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ)

= ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) - ل(أ∩ب) - ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ)


نأخذ الحد : ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ) ونقوم بتبسيطه


ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ) = [ل(أ)+ل(ب) - ل(أ∩ب)] ∩ ل(جـ)

الآن التقاطع يتمتع بخاصية التوزيع (كالضرب)

= [ل(ب∩جـ)+ل(ب∩جـ) - ل(أ∩ب∩جـ)]

بالتعويض فى آخر خطوة وصلنا اليها ..

ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) - ل(أ∩ب) - ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ)

= ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) - ل(أ∩ب) -  [ل(ب∩جـ)+ل(ب∩جـ) - ل(أ∩ب∩جـ)]

= ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) + ل(أ∩ب∩جـ) - (أ∩ب) - (ب∩جـ) - (أ∩جـ)


(وهو المطلوب إثباته)

مثال : تقدم 3 طلاب لحل سؤال في الاحتمالات كل على حدة , فاذا كان احتمال ان يحله الطالب الاول هو 0.8 , واحتمال ان يحله الثاني هو 0.7  , واحتمال ان يحله الثالث هو 0.6 , فما احتمال ان يُحل السؤال ؟

ل(أ∪ب∪جـ) = ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) + ل(أ∩ب∩جـ) - ل(أ∩ب) - ل(ب∩جـ) - ل(أ∩جـ)

وبما أن الأحداث مستقلة .. اذاً :-

= 0.6 + 0.7 + 0.8 + (0.6×0.7×0.8) - (0.6×0.7) - (0.7×0.8) - (0.6×0.8)

= 0.976