اثبات نظرية ذات الحدين

يمكنك اثبات النظرية بطرق مختلفة منها بالإستقراء الرياضى 

على درجة الأس، بعد ان تكون قد لاحظت عوامل الحدود بعد
النشر شكلها كيف يكون، وما هو الشكل الأساسى الذى تتخذه
بحيث تلاحظ ان عوامل ذات الحدين عبارة عن توافيق مرتبة ترتيب
جيد يبدأ من الصفر وهم (ن ق 0) ، (ن ق 1) ، (ن ق 2) ، .... ، (ن ق ن)
وتذكر ان : (ن ق 0) = (ن ق ن) = 1

الآن : الصيغة العامة للنظرية فى شكل مجموع هى :

                     ن   ن
(س+أ)^ن = سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                   ك=0     ك

بوضعك ن = 0 او ن=1 تجد ان العلاقة صحيحة
يمكنك وضع ن=2
   
             2                2             2
(س+أ)² = ق أ^0 س² + ق  أ س + ق أ²
                0                 1             2


= س² + 2أس + أ² وهى علاقة صحيحة ...

والآن نفرض أن العلاقة صحيحة فى حال بدلنا
ن بـ ن+1  ونريد ان نصل الى الشكل التالى ..

                   ن+1   ن+1
(س+أ)^ن = سيجما  ق   أ^ك س^(ن+1-ك)
                   ك=0    ك


نأخذ الصيغة الأساسية و نضرب الطرفين فى (س+أ)

                                     ن    ن
(س+أ)^(ن+1) = (س+أ) سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                                   ك=0     ك

       ن   ن                                 ن    ن
= سيجما  ق أ^ك س^(ن+1-ك) + سيجما  ق أ^(ك+1) س^(ن-ك)
     ك=0    ك                              ك=0    ك

الآن نفصل الحد الأول من المجموع الأول والحد الأخير من المجموع الأخير
اى انك تأخذ الحد الذى فيه ك=0 من المجموع الأول، وتأخذ الحد الذى
فيه ك=ن فى المجموع الثانى، فينتج لدينا الآتى ..

       ن    ن                                 ن    ن
= سيجما  ق أ^ك س^(ن+1-ك) + سيجما  ق أ^ك س^(ن+1-ك)
     ك=1    ك                             ك=1   ك-1

   ن                   ن
+  ق س^(ن+1) + ق  أ^(ن+1)
      0                    ن

ما الذى حدث ؟ الذى حدث هو اننا نريد ان نجعل المجموع الأول كالمجموع
الثانى ويكون الفرق فقط فى التوافق (اى فى العوامل) بحيث يسهل جمعهم
وعندما فصلنا الحد الذى فيه ك=ن من المجموع الثانى بدئنا من ك=1 وبدلنا
ك بـ ك-1 لماذا ؟ لأنك عندما تعتقد ان الحد الأول يكون عندما ك=1 بمجرد اننا
انقصنا حد من المجموع تكون مخطىء لأن الحد الأول يكون عندما ك=0
اذاً انت اما مشكلة كيف نوفق بين الحد الذى حذفناه وبين الحفاظ على
صيغة المجموع صحيحة ؟ لذلك بدلنا ك بـ ك-1 هذه من جهة .. من جهة أخرى
ك هنا تعبر عن الرتبة التى يتخذها الحد بناء على درجة الأس للعد (أ)، وانت
تعلم ان الحد الأول فيه أ^0 وليس أ^1 ، وبصفة عامة خذها قاعدة عند فصل
الحد الأول من المجموع نبقى صيغة المجموع كما هى، ولكن عند فصلك
للحد الأخير فيجب تغيير ك بـ ك-1 (خطوة للحفاظ على المجموع يكون صحيح)

والآن استعمل متطابقة باسكال والتى تقول  :

ن       ن         (ن+1)
 ق  +  ق  =       ق   وبجمع المجموعين أعلاه تحصل على ..
  ك     ك-1           ك


          ن    (ن+1)                            ن                   ن
=     سيجما  ق    أ^ك س^(ن+1-ك) +  ق س^(ن+1) + ق  أ^(ن+1)
        ك=1      ك                                 0                   ن

                ن                    ن
ولكن الحدين  ق س^(ن+1) + ق  أ^(ن+1)  ما هما الا الحد الأول والأخير
                  0                    ن

من هذا المجموع، بحيث ان الحد الأول يحول بداية قيمة ك من 1 الى 0
الومجموع الثانى يحول المجموع من ن الى ن+1  فيتكون الصيغة النهاية هى :

                        (ن+1)  (ن+1)
(س+أ)^(ن+1) = سيجما     ق  أ^ك س^(ن+1-ك)
                         ك=0       ك

اذاً العلاقة صحيحة من أجل ن+1   .... اذاً

                     ن   ن
(س+أ)^ن = سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                   ك=0     ك

وفى الحقيقة يمكنك اثبات النظرية بطرق أخرى .. منها طريقة
جربتها وتحققت منها وهى عن طريقة نشر الدالة (س+أ)^ن
بمنشور ماكلورين ..

نفرض أن : د(س) = (س+أ)^ن   ومنها د(0) = أ^ن

دَ(س) = ن(س+أ)^(ن-1)   ومنها  دَ(0) = ن أ^(ن-1)

                                             ن
وهكذا تستطيع ان القول أن : دً(0) = ل ن أ^(ن-2)
                                              2

وبصفة عامة المشتقة التى رتبتها ك عند الصفر هى :

              ن
د^ك(0) = ل ن أ^(ن-ك)   .. والآن نقوم بنشر الدالة ..
              ك

        
د(س) = أ^ن + ن أ^(ن-1) س + (ن ل 2)/2! س² + (ن ل 3)/3! س³ + .... + (ن ل ن)/ن! س^ن

  ن              ن                     ن
=  ق س^ن + ق أ س^(ن-1) + ق أ² س^(ن-2) + ..... + أ^ن
       0             1                     2


أى أن :   
                     ن    ن
(س+أ)^ن = سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                   ك=0     ك