لدينا أ³+1\أ³=18 احسب أ²+1\أ²

بتحليلك لمجموع المكعبين :
أ³ + 1\أ³ = (أ + 1\أ) (أ² - 1 + 1\أ²) = 18 
وبتحليل المقدار الثانى :
أ² + 1\أ² = (أ + 1\أ)² - 2 = س  (فرضاً)

من المعادلة الأولى نجد أن :

(أ + 1\أ) (أ² - 1 + 1\أ²) = 18  ومنها

(أ + 1\أ) (س - 1) = 18

                          18
ومنها (أ + 1\أ) = ـــــــــــــــ
                       س - 1

بالتعويض فى المعادلة الثانية :

(أ + 1\أ)² - 2 = س

       18
[ـــــــــــــــــ]² - 2 = س
    س - 1


     324
ـــــــــــــــــــــ - 2 = س
 (س - 1)²

بضرب الطرفين فى (س - 1)²

324 - 2(س-1)² = س(س-1)²

324 - 2(س² -2س + 1) = س(س² -2س + 1)

324 -2س² + 4س - 2 = س³ - 2س² + س

324 -2س² + 4س - 2 - س³ + 2س² - س = 0

-س³ + 3س + 322 = 0

س³ - 3س - 322 = 0

هناك طرق عديدة لحل هذه المعادلة منها بالتقسيم
واسهلها هلى ان تقوم بتحليل الحد المطلق 322 تحسباً
لإحتمالية وجود حلول صحيحة لهذه المعادلة .

بتحليل العدد 322 الى عوامله الأولية ..

322 | 2
161 | 7
23   | 23

بتجربة العدد الأول (2) .. عوض فى المعادلة، ويجب
ان تكون النتيجة بصفر .

(2)³ - 3(2) - 322 = -320  اذاً س = 2 ليست حلاً للمعادلة

جرب الـ 7

(7)³ - 3(7) - 322 = 0  بالفعل س = 7 حلاً للمعادلة

هذا يدل على أن : (س - 7) من عوامل المعادلة

((هذا ان احببت التحليل اكثر ، وليكن فى حقل الأعداد المركبة))
او تستطيع ان تنهى المسألة عند ذلك وتقول :

أ² + 1\أ² = 7

تريد ان تكمل استخدم القسمة المطولة على (س - 7)

 س² + 7س + 46
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س³ - 3س - 322        | (س - 7)
                               ــــــــــــــــــــــ
  س³ -7س²
............... بالطرح ....................
 7س² - 3س - 322
 7س² -49س
...............بالطرح.....................
    46س - 322
    46س - 322
................ بالطرح .................

    00               00


اذاً : س³ - 3س - 322 = (س - 7) (س² + 7س + 46) = 0

اما س = 7   او   (س² + 7س + 46) = 0

الحل بالقانون العام :

جذر(المميز) = جذر[(7)² - (4×46)] = جذر(-135)

= 3ت جذر(15)   حيث ت وحدة تخيلية = جذر(-1)


          -7 ± 3ت جذر(15)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ½[-7 ± 3ت جذر(15)]
                  2

لذلك انت لم تحدد منذ البداية الحل فى اى مجموعة :
فإذا كنت تريد الحل فى مجموعة الأعداد المركبة فالحلول هى :

{ 7 ،  ½[-7 + 3ت جذر(15)] ،  ½[-7 - 3ت جذر(15)] }

اما اذا كان الحل فى مجموعة الأعداد الحقيقية فقط فإن :

س = 7    اى ان : أ² + 1\أ² = 7


ملحوظة : طريقة الحل التى وضعتها لا تعنى بالضرورة انها تلك الطريقة الوحيدة، 
 حاول ان تجرب بنفسك ربما تصل الى حلول أخرى ..