اثبات نظرية ليبنتز للمشتقة النونية لحاصل ضرب دالتين

تهتم الطريقة فى الأساس للمشتقات العليا لحاصل

 ضرب قالبتين للإشتقاق ن مرة عن طريقة قاعدة محصلة

 الضرب product rule ، ولنفرض ان الدالتين هما د ، ر فإن

            

                   ن   ن

(د×ر)^ن = سيجما ق د^(ن-ك) ر^ك

                   ك     ك

حيث ن هنا (ليست اس) لكن المقصود منها درجة المشتقة ..

وكما لاحظت فهى نفس عوامل نظرية ذات الحدين، ونفس الشكل أيضاً ..

الإثبات يكون بالإستقراء الرياضى على ن ، ويمكنك
ان تبدأ بالجربة بنفسك، لتكن الدالتين هما د ، ر

(د×ر) َ = دَ ر + د رَ

وهى صحيحة فى هذه الحالة .. لاحظ لفظة اس ن لا تعنى (اس)
بالمعنى الذى تعرفه ولكن تعنى المشتقة النونية، مثلاً الأولى ، الثانية
الثالثة ... وهكذا ، وايضاً لاحظ ر ليست فوقها شرطة وتعنى المشتقة
الصفرية (والتى تكافىء الدالة نفسها) .. اذا ما جمعت المشتقة الأولى
مع المشتقة الصفرية تعطيك العدد 1 ، وايضاً لاحظ العوامل 1 ، 1

لأن : 1                     1
         ق = 1    و        ق = 1
           0                   1

اشتق مرة ثانية (يعنى ضع ن = 2)

(د×ر) ً = دً ر + دَ رَ + دَ رَ + د رً

= دً ر + 2دَ رَ + د رً

نفس الصيغة التى تحصل عليها عند تربيع هذا المقدار

(س+ص)² = س² + 2س ص + ص²

اذاً انت بحاجة فقط للتعرف على عوامل نظرية ذات الحدين ...

اشتق مرة ثالثة ..

د"'(د ر) َ = د"' ر + دً رَ + 2دً رَ + 2دَ رً + دَ رً + د ر"'

= د"' ر + 3د"ر' + 3د'ر" + د ر"'

وبصفة عامة اذا كانت ن هى درجة المشتقة :

                   ن    ن
(د×ر)^ن = سيجما  ق د^(ن-ك) . ر^ك
                 ك=0    ك

         ن              ن!
حيث :   ق = ـــــــــــــــــــــــــ
            ك      ك! (ن - ك)!

الإثبات (فرضنا ان الفرضية صالحة فى حالة ن =1 ، 2 ، 3 ، ...

والآن نفرض ان العلاقة صالحة فى حالة بدلنا ن بـ ن+1
هذا يعنى تماماً اننا نوجد المشتقة التى درجتها ن+1 للطرفين
بمعنى اننا نشتق العلاقة السابقة الطرفين ......... بحيث نصل
لنفس الصيغة من أجل ن+1 تكون العلاقة صحيحة .. عن طريقة
بعض المهارات الجبرية المتقدمة ..

                         ن     ن
(د×ر)^(ن+1) = [سيجما  ق د^(ن-ك) . ر^ك ] َ
                        ك=0     ك

ولكن التوافيق هنا عبارة عن عدد ثابت .. اذاً

       ن    ن                       
= سيجما ق [ د^(ن-ك) . ر^ك]  َ
    ك=0    ك

الآن طبق قاعدة محصلة الضرب product rule

      ن     ن
= سيجما  ق [د^(ن+1-ك) ر^ك + د^(ن-ك) ر^(ك+1)]
     ك=0    ك


       ن    ن                               ن    ن 
= سيجما  ق د^(ن+1-ك) ر^ك + سيجما ق د^(ن-ك) ر^(ك+1)
     ك=0    ك                          ك=0    ك

لاحظ ليست هذه هى الصيغة التى نريدها، وتركيزك على  الأسس فى
كلتا المجموعين ..بحيث نريد ان اس (د) هو ن+-ك  ، واس (ر) هو ك
وايضاً نريد ان نحافظ على شكل علامة السيجما كما هى حد انى - حد أعلى
بحيث انك تعلم اننا اذا قولنا س + س² فهنا لا يجوز الجمع، بينما لو قولنا
3س + 2 = 5س   .. القضية تشبه هذا المعنى كثيراً

      ن      ن                               ن     ن                             ن                 
= سيجما   ق د^(ن+1-ك) ر^ك + سيجما   ق  د^(ن+1-ك) ر^ك + ق د^(ن+1) ر
    ك=1      ك                           ك=1    ك-1                            0           
 ن
ق + ق د ر^(ن+1)
ن

اعلم انك فى غاية الإرتباك الآن .. لكن الموضوع ابسط من ذلك، فلكى نجعل المجموع
الثانى (درجات مشتقاته) نفس المجموع الأول كان يجب علينا ان نفصل الحد الأخير
منه والذى يكون عندما ك=ن وهو الحد : (ن ق ن) د ر^(ن+1) كما قلت لك المشتقة الصفرية
هى الدالة الأساسية .. فلا تظن انك تتعامل مع اسس .. ولكن اذا فصلنا الحد الأخير من المجموع
الثانى فهذا يؤدى الى نقصان فى عدد الحدود بمقدار 1 ، اذاً نريد ان تقف النهاية على الحد الذى
يشتمل على العامل ن ق (ك-1) حسب  نظرية ذات الحدين (هذا هو الحد قبل الأخير) ولكى
يتحقق هذا يجب ان تبدل ك بـ ك-1 فى المجموع الثانى فيتكون لديك ما وجدته بحيث نبدأ من ك=1
كل هذا لغرض الوصول الى شكل معين نريده ، ولكن هذا يجعل المجموع الثانى يبدأ من ك=0 مختلف
عن المجموع الأول، اذاً انت تحتاج ان تفصل حد من المجموع الأول بحيث يبدأ عند ك=1 ولكن اذا
فصلنا الحد الأخير فإن المجموع (درجات مشتقاته ستتغير) وهذا لا نريده، فقمنا فصل الحد الأول
والذى يكون عندما ك=0 ، وهذا ما حدث وهو الحد الذى قيمته (ن ق 0) د^(ن+1) ر

اؤكد مرة أخرى .. مثلاً  5س + 4س = (5 + 4) س
ما الذى حدث ؟؟ ببساطة شديدة جمعنا عوامل س لأنهما لهما نفس الشكل
او نفس درجة الأس ... وهذا ما حدث بالفعل المجموعين متماثلين ولهما نفس
الدرجات التفاضلية، اذاً نأخذ مجموع واحد فقط، ونجمع العوامل ..

                      ن             ن         (ن+1)
مجموع العوامل =  ق      +    ق   =       ق
                          ك          ك-1            ك


هذه قاعدة أساسية فى التوافيق تسمى بقاعدة باسكال يمكنك البحث
عنها او اثبتها لك فى رباط مستقل عن هذا الموضوع ... والآن يتبقى لدينا


   ن    (ن+1)                          ن                   ن
سيجما      ق  د^(ن+1-ك) ر^ك + ق د^(ن+1) ر + ق د ر^(ن+1)
 ك=1         ك                            0                    ن

لاحظ : توافيق اى عدد فوق الصفر دائماً = 1
توافيق اى عدد فوق نفسه دائما ً = 1 

                    ن         (ن+1)           ن      (ن+1)
وهذا يعنى أن :   ق   =       ق   وكذلك  ق =       ق
                        0             0             ن          (ن+1)
    

ومن هنا ينتج لنا المجموع السابق بشكل مختلف ..

       ن     (ن+1)                        (ن+1)               (ن+1)
= سيجما      ق  د^(ن+1-ك) ر^ك +    ق د^(ن+1) ر +  ق   د ر^(ن+1)
    ك=1         ك                                0                   (ن+1)

ولكن هذين الحدين المنفصلين ما هما الا الحد الأول والأخير من المجموع سيجما
وتأكد بنفسك .. ضع ك=0  فى المجموع ثم ضع ك=ن+1  ... فنصل الى المشتقة
النونية+1 هى :-

                      (ن+1)   (ن+1)
(د×ر)^(ن+1) = سيجما        ق  د^(ن+1-ك) ر^ك
                      ك=1          ك

اذاً القاعدة صالحة من أجل ن+1

حيث : ن هى درجة المشتقة .. ن تتميز هنا بالتعميم بحيث انه من أجل
المشتقة النونية صحيحة فإن العلاقة ن+1 التى تليها صحيحة أيضاً ...