اوجد صيغة تكرارية لتكامل ظا^ن(س) دس

نبدأ من التكامل التالى ...
                 
∫ظا(س) دس = ∫جاس/جتاس دس

= -لط|جتا(س)| + ث
((لأن البسط عبارة عن مشتقة المقام اذا ضربنا التكامل فى -1))
ولكن من خصائص الللوغاريتمات ينتج أن :

-لط|جتا(س)| + ث = لط|1/جتا(س) + ث

= لط|قاس| + ث     .. اذاً

∫ظا(س) دس = -لط|جتاس|+ث = لط|قاس|+ث

نضع ن=2

∫ظا²س دس = ∫(قا²س - 1) دس     (( متطابقة مثلثية))

= ∫قا²س دس - ∫دس

= ظاس - س + ث

كما رأيت فإن تكامل ظا²س تكامل يسهل حسابه من هنا نستغل هذه
 الميزة ونبدأ بتجزءى الأسس ن على هذا الأساس ..

∫ظا^ن(س) دس = ∫ظا^(ن-2)(س) ظا²س دس

= ∫ظا^(ن-2)(س) (قا²س - 1) دس

= ∫ظا^(ن-2)(س) قا²س دس - ∫ظا^(ن-2)(س) دس

التكامل الأول عبارة عن حاصل ضرب دالة مضروبة فى مشتقتها ..

الدالة هى ظا(س) ومشتقتها هى قا²س

اما التكامل الثانى ما هو الا حالة تكرارية لنفس حالة
التكامل الأساسى (بمعنى كرر نفس الخطوات)

((ضيف لأس الدالة ظا^(ن-2)(س) واحد واقسم على الأس الجديد))

اذاً :

∫ظا^ن(س) دس

      1
= ــــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ∫ظا^(ن-2)(س) دس
    ن-1

التكامل الثانى يمكن تكامله بنفس الطريقة ..


∫ظا^(ن-2)(س) دس = ∫ظا^(ن-4)(س) ظا²س دس


= ∫ظا^(ن-4) (س) دس (قا²س - 1) دس

=  ∫ظا^(ن-4) (س) قا²س دس - ∫ظا^(ن-4) (س) دس

      1
= ــــــــــ ظا^(ن-3) - ∫ظا^(ن-4) (س) دس
     ن-3

عوض فى التكامل الأصلى ...


∫ظا^ن(س) دس

      1
= ــــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ∫ظا^(ن-2)(س) دس
    ن-1


      1                             1
= ــــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ـــــــــ ظا^(ن-3) (س)
    ن-1                           ن-3

+ ∫ظا^(ن-4)(س) دس

ما معنى (زائد) ؟ المعنى ان هذا التكامل يطعى

1\(ن-5) ظا^(ن-5) (س) - ∫ظا^(ن-6)(س) دس

ومن هنا نلاحظ أن :

                          
∫ظا^ن(س) دس =
                        
  1                             1
ـــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ــــــــ ظا^(ن-3) (س)
 ن-1                         ن-3

      1                      1
+ ــــــــــ ظا^(ن-5) - ـــــــــ ظا^(ن-7) + ....+ث
   ن-5                     ن-7

░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░

مثال :

∫ظا^6 (س) دس = (1\5)ظا^5 (س) - (1\3)ظا³س + ظاس - س + ث

وهى نفس النتيجة التى تحصل عليها اذا كاملت بالطرق العادية ..

∫ظا^4 (س) (قا²ص - 1) دس

∫ظا^4 (س) قا²س - ∫ظا^4(س) دس

= (1\5)ظا^5(س) - ∫ظا²س (قا²س - 1) دس

= (1\5)ظا^5(س) - (1\3)ظا³س + ∫(قا²س - 1) دس

= (1\5)ظا^5(س) - (1\3)ظا³س + ∫قا²س دس - ∫دس

= (1\5)ظا^5(س) - (1\3)ظا³س + ظاس - س + ث

وفى الأخير نقول ان الصيغة التكرارية هى :

                      ظا^(ن-1)
ظا^ن(س) دس = ـــــــــــــــ - ∫ظا^(ن-2) دس
                        ن-1

ولكن ماذا لو كان الأس عدداً فردياً ؟

مثال :

∫ظا^5 (س) دس = (1\4)ظا^4(س) - ½ظا²س +لط|قاس| + ث

وهى نفس النتيجة التى تحصل عليها لو كاملت بالطرق العادية ..

∫ظا^5 (س) دس = ∫ظا³س (قا²س - 1) دس

= ∫ظا³س قا²س -س - ∫ظا³س دس

= (1\4)ظا^4(س) - ∫ظاس (قا²س - 1) دس

= (1\4)ظا^4(س) - ∫ظاس قا²س دس +∫ظاس دس

= (1\4)ظا^4(س) - ½ظا²س + لط|قاس| + ث

وهنا يكون الفرق أنه اذا كان الأس زوجياً فإن آخر حد
من حدود هذا المنشور هو س ، وان كان الأس فردياً
فإن آخر حد من هذا المنشور هو لط|قاس|
لأن تكامل ظاس = لط|قاس|

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

وهنا تلاحظ شىء هام جداً (للتأكد من الحل)

اذا كان الأس زوجياً فإن عدد الحدود =

(قيمة الأس)÷2   + 1

واذا كان الأس فردياً فإن عدد الحدود =

(قيمة الأس+1) ÷ 2

(طبعاً هنا لم احسب الثابت ضمن الحدود)

لاحظ ايضاً اشارات الحدود كيف تكون

+  -  +  -  +  -  +  .....

لاحظ الترتيب فى الأسس : كل أس اقل
من السابق له بمقدار 2 .. وهكذا لاحظ
الترتيب فى العوامل :

1/(ن-1) ثم 1/(ن-3)   .... 1/(ن-5) ....

وهكذا المقام هو : ن - عدد فردى

فى ترتيب جيد  .. مجموعة الأعداد الفردية هى

{1 ، 3 ، 5 ، 7 ، ......}

مرتبة ترتيب جيد ..