ما هى الاشكال التى تتخذها اشكال المنحني التكعيبي ؟

رسم1

رسم2

رسم3

هذا سؤال جيد ...

الصورة العامة لدالة من الدرجة الثالثة :

د(س) = أس³+ب س² + جـ س + د

حيث كلاً من أ،ب،جـ،د أعداد حقيقية، أ≠0

هذه الدالة تتميز بصفة غريبة جداً ومميزه وهى لابد
من وجود صفر حقيقى على الأقل يحققها، ويمكن
اثبات ذلك بصيغة كاردان، او صيغة كاردان المعممة .

الإحتمالات الممكنة لمجموعة الأصفار الحقيقية للدالة :

1) صفر واحد للدالة، ورسمها عبارة عن نصف منحنى
أعلى واسفل محور تماثلها فى اتجاهين متضادين ..

2) صفرين للدالة، او ثلاثة أصفار حقيقية، وكلاهم عبارة
عن منحنيين متلاصقين، تقعرهم فى اتجاه مختلف
(اى واحدة مقعرة لأعلى والأخرى لأسفل)، والفرق بين
الأولى (صفرين) هى انها تتقاطع مع محور السينات فى
نقتطين، بينما الثانية فتتقاطع فى ثلاث نقاط ..

مثال على الحالة الأولى :

د(س) = س³+س²+س+1

عند حلك : س³+س²+س+1 = 0

فتجد ان س=-1 حل وحيد حقيقى للدالة ..

شكل الدالة (رسم 1)

الحالة 2 : مثال قم برسم الدالتين التاليتين ..

د(س) = س³ + س² - س - 1

عند حلك لها تجد اصفار الدالة = 1 ، -1  (رسم 2)

دالة أخرى : د(س) = س³ -2س² - س + 2

(س-1)(س² -س-2) = س³ - س² -2س - س² + س + 2

= س³ -2س² - س + 2

لتجد ان اصفار الدالة هما -1 ، 1 ، 2   (رسم 3)

هندسياً وتعرفنا ما الذى، لكن جبرياً كيف نفسر الأمر ؟

لنأخذ كل حالة ونفند فيها : مثلاً الحالة الأولى ...

د(س) = س³+س²+س+1

ونجرى عليها بعض العمليات الجبرية ..

بإضافة 2س² + 2س وطرحها مرة ثانية .. وهذا
لأننا نريد الوصول الى الشكل الذى تتخذه نظرية
ذات الحدين للمكعب الكامل ..

س³+3س²+3س²+1 -(2س²+2س)

= (س+1)³ - 2س(س+1) بأخذ (س+1) مشترك ...

= (س+1)[(س+1)² - 2س]

= (س+1)(س²+2س+1-2س)

= (س+1)(س²+1)

من هنا نجد ان هناك صفر واحد حقيقى وهو س=-1
والقوس الثانى ليس له تحليل فى ح اذاً الشكل الذى
تتخذه الدالة هو شكل الحالة الأولى .. هذه طريقة
الطريقة الثانية (وهى الأصح) نحاول وضع الدالة على
الصورة (أس+ب)³ + جـ بحيث اذا كان :(أس+ب)³ + جـ=0

فإن : (أس+ب)³ = -جـ ومنها نحصل على الحل الحقيقى

أس+ب = (-جـ)^(1\3) 

أس = الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب    
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       أ

ويمكن اثبات انه صفر وحيد للدالة بالتحليل ..

(أس+ب)³ + جـ=0

(أس+ب)³ + (جـ^1\3)³ = 0

[أس+ب+(جـ^1\3)][(أس+ب)² - (جـ^1\3) (أس+ب) + (جـ^1\3)²] = 0


اما : [أس+ب+(جـ^1\3)] = 0  ومنها نحصل على الصفر الحقيقى

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب    
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       أ


واما : [(أس+ب)² - (جـ^1\3) (أس+ب) + (جـ^1\3)²] = 0

[أ²س²+2أب س+ب² - أ(جـ^1\3)س - (جـ^1\3)ب +(جـ^1\3)²] = 0

[أ²س² +[2أب - أ(جـ^1\3)]س + (ب² - (جـ^1\3)ب +(جـ^1\3)²)] = 0

المميز = [2أب - أ(جـ^1\3)]² - 4أ²[ب² - (جـ^1\3)ب +(جـ^1\3)²]

نضع (جـ^1\3) = ن  للتبسيط ..

المميز = [2أب - أن]² - 4أ²[ب² - ن ب +ن²]

= [4أ²ب² -4أ² ن ب +أ²ن² - 4أ²ب² +4أ² ن ب - 4أ² ن²]

= أ²ن² - 4أ² ن² ≤ 0

وبما ان المميز أقل من الصفر، اذاً لا توجد أصفار حقيقية
فى القوس الآخر .. اذاً يوجد صفر وحيد فقط وهو  :

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب    
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       أ

ولكن : قد تقول ربما تتحق حالة المساواه فى
المتباينة : أ²ن² - 4أ² ن² ≤ 0 عندما جـ = 0
وهذا شىء صحيح وبديهى .. نعوض فى الصورة العامة
بعد وضعك جـ = 0

د(س) = (أس+ب)³  الآن اوجد اصفار الدالة ..


(أس+ب)³ = 0  ومنها أس+ب=0

                    -ب
ومنها : س = ـــــــــــ وهو نفس الحل الذى تحصل عليه
                     أ

عند تعويضك فى الحل الوحيد س بوضعك جـ = 0

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب      -ب
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ
                       أ                         أ

الإستنتاج: ان استطعنا وضع الدالة من الدرجة الثالثة
على الشكل : د(س) = (أس+ب)³ + جـ فإن هناك
صفر حقيقى وحيد فقط يحققها، من أجل أ ، ب ، جـ
أعداد حقيقية ، أ≠0

د(س) = (أس+ب)³ + جـ  اشتق الطرفين بالنسبة لـ س

دَ(س) = 3أ(أس+ب)² = 0  لإيجاد النقاط الحرجة

                                               -ب
اذاً : يوجد نقطة حرجة عند س = ـــــــــــــ
                                               أ

والآن نوجد نقاط الإنعطاف ...
                                                      -ب
دً(س) = 6أ²(أس+ب) = 0 ومنها س = ـــــــــــ
                                                       أ

نقطة اتعطاف للدالة، من هنا نرى ان هذه النقطة هى
التى تفصل عندها الدالة منحنى أعلى ومنحنى أسفل
كما هو واضح بالرسم، وهى مركز تماثل الدالة ..
وتلاحظ انه اذا كان معامل س موجب فإن المشتقة تكون
دائماً موجبة، وبالتالى تكون الدالة تزايدية على مجالها
بينما لو كان معامل س سالباً تكون المشتقة الأولى
دائماً سالبة، وبناء عليه الدالة تناقصية على مجالها ..

ايضاً : نلاحظ تكون الدالة على الصورة (أس+ب)³ + جـ فردية
اذا كات تمر بنقطة الأصل (0،0) غير ذلك فهى ليست وليست ...

وحتى لا نعيد الخطوات مرة ثانية، لاحظنا ان الدوال التى لها صفر
واحد فإنها تأخذ شكل رسم1 ، بينما اذا كان لها صفرين تأخذ شكل
رسم2 ، واذا كان لها ثلاثة أصفار تأخذ شكل رسم2 ، وطبعاً اقصد
بالأصفار هنا (اصفار حقيقية)

............... الإستنتاج السهل جبرياً ....................

الصورة العامة هى : د(س) = أس³+ب س² + جـ س + د

حيث كلاً من أ،ب،جـ،د أعداد حقيقية، أ≠0

دَ(س) = 3أس² + 2ب س + جـ = 0 لإيجاد النقاط الحرجة

اذا كان مميز المشتقة = 0  او سالباً يكون للمعادلة حل وحيد
او ليس لها حل فى ح وبناء عليه لها نقطة حرجة واحدة او
لا تملك نقاط حرجة .. اذاً رسمها يأخذ رسم1

بينما اذا كان مميز المعادلة موجباً، اذاً المعادلة لأساسية تملك
نقتطين حرجتين، وبناء عليه الرسم يكون اما رسم2 او 3

والآن نوجد المميز :

المميز = 4ب² - (4×3أ×جـ) = 4ب² - 12أجـ
....................................................................
مثال 1)
          د(س) = س³+س²+س+1

فيها : أ = ب = جـ = 1
      
نختبر قانون المميز = 4ب² - 12أجـ = 4(1)² - 12(1)(1) = 4 - 12 = -8

بما ان المميز سالباً  .. اذاً شكل الدالة يأخذ نفسك نموذج سم1

مثال2)    د(س) = س³ + س² - س - 1

4ب² - 12أجـ = 4(1)² - 12(1 × -1) = 4 + 12 = 16

بما ان المميز موجباً : اذاً شكل الدالة يأخذ نفس نموذج رسم2 او 3