ما هى طريقة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعى لط(س) ؟

يمكنك اشتقاقه بعدة طرق، وكل طريقة تتميز بأنها تحوى على فكرة او مجموعة أفكار معينة .

د(س) = لط(س)


              لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 هـ←0              هـ

أعتقد انها هكذا اصبحت أكثر تعقيداً فى حين ان
هناك برهان لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى عن طريق
تحويل الدالة من الصورة اللوغاريتمية الى الصورة الأسية .

د(س) = لط(س)  ومنها  هـ^د(س) = س

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س  ينتج لنا

دَ(س) هـ^د(س) = 1


                 1               1
دَ(س) = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
            هـ^د(س)        س

...........................................................................
اما اذا كنت مصر ان تبدأ من التعريف الأساسى للمشتقة الأولى للدالة
فستحتاج الى حلها بتلك الطريقة كما لو كانت نهاية أعطت كمية غير معينة 0/0
ونتحايل على الحل بإبتكار بعض الطرق الجبرية للوصول فى النهاية الى ايجاد ناتج النهاية .

لكن : لا مفر من استخدام بعض خواص اللوغاريتمات .

             لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0              هـ


                لط[(س+هـ)/هـ]
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0             هـ


=  نهـــــــا (1\هـ)  لط[(س+هـ)/هـ]
   هـ←0


= نهـــــــا لط[(س+هـ)/س]^(1\هـ)
  هـ←0


= نهـــــــا لط[(هـ/س) + 1]^(1\هـ)
  هـ←0

وبوضع : هـ/س = ص


فينتج عندها أن : 1/هـ = 1/(س ص)

عندما تؤول هـ الى الصفر فإن ص ايضاً تؤول الى الصفر .


= نهـــــــا لط[ص + 1]^1/(س ص)
  ص←0



= (1\س) نهـــــــا لط[ص + 1]^(1\ص)
            ص←0


ضع : (1\ص) = ن

ومنها ص = (1\ن) وعندما تؤول ص الى الصفر فإن :-

ن تؤول الى مالانهاية .


= (1\س) نهـــــــا لط[1 + (1\ن)]^ن
            ن←∞


= (1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
               ن←∞


اليس المقدار : نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
                  ن←∞

هو العدد النيبيرى ذاته ؟

تكملة للحل نصل الى أن :
                 
(1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
              ن←∞


= (1\س) لط(هـ) = 1\س  حيث هـ العدد النيبيرى .

اذاً مشتقة لط(س) = 1\س