ما هو تكامل (س^4 + 1)/(س^6 + 1) دس ؟

يحل هذا التكامل بالكسور الجزئية، بحيث نلاحظ ان المقام
يمكن تحليله كـمجموع بين مكعبين س^6 + 1 = (س²)³ + 1
ومنها نحصل على :  (س²)³ + 1 = (س² + 1)(س^4 - س² + 1)

   س^4 + 1                     س^4 + 1
ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   س^6 + 1         (س²+1)(س^4 - س² + 1)

الآن البسط معادلة من الدرجة الرابعة، وبناء عليه الفرضيات التى نضعها ستكون كالتالى

            س^4 + 1                                د                    أس²+ب س + جـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــ
   (س²+1)(س^4 - س² + 1)              (س²+1)               (س^4 - س² + 1)

لكل أ ، ب ، جـ ، د أعداد حقيقية   بحيث نكون على يقين من أن التالى يتحقق من أجل س عدد حقيقى


(س²+1)(أس²+ب س + جـ) + د(س^4 - س² + 1) = س^4 + 1  

بوضع س = 0  للطرفين ..

جـ + د = 1                                           (1)    

بوضع س = 1

2(أ+ب+جـ) + د = 2                               (2)
بوضع س = -1

2(أ-ب+جـ) + د =  2                               (3)

بجمع 2 ، 3 ينتج أن :  ب=0

2(أ+جـ) + د = 2                            (من 2 ، 3)

بوضع س = 2

5(4أ+2ب+جـ) + 13د = 17

20أ + 10ب + 5جـ + 13د = 17

20أ + 5جـ + 13د = 17

2أ + 2جـ + د = 2                          (4)  ×  -10

-20أ - 20جـ - 10د = -20  
......................................................

-15جـ + 3د = -3       ÷ -3

5جـ - د = 1                                          (5)
جـ + د = 1                                           (1)

6جـ = 2    ومنها جـ = 1\3        د =2\3

2أ + 2جـ + د = 2 

2أ = 2\3       ومنها  أ = 1\3

            س^4 + 1                               2                       س² + 1
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــ
  (س²+1)(س^4 - س² + 1)              3(س²+1)            3(س^4 - س² + 1)


التكامل الأول معروف (يمكن وضعه فى صورة دالة الظل العكسى) .. ولنأخذ الثانى ونقوم بتبسيطه ..

         س² + 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ         نقوم بتحليل المقام    .. بإضافة 2س² وطرحها مرة ثانية
   3(س^4 - س² + 1)


س^4 - س² + 1 = س^4 + 2س² + 1 - 3س²  = (س² + 1)² - 3س²

= (س² + 1)² - (جذر(3) س)²           بتحليلك فرق المربعين ..

= [س² + 1 - جذر(3) س][س² + 1 + جذر(3) س]

= (س² - جذر(3)س + 1)(س² + جذر(3)س + 1)


        س² + 1                                    س² + 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  3(س^4 - س² + 1)       3 (س² - جذر(3)س + 1)(س² + جذر(3)س + 1)


                                            أ                                       ب                  
نفرض أن هذا الكسر = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                               3 (س² - جذر(3)س + 1)         (س² + جذر(3)س + 1)


ومنها : أ(س² + جذر(3)س + 1) + 3ب(س² - جذر(3)س + 1) = س² + 1


بوضعك س = 0 للطرفين ينتج أن :  أ + 3ب = 1                (1)

بوضع س = جذر(3) للطرفين ينتج : 7أ + 3ب = 4              (2)

بضرب (1) × -1

-أ - 3ب = -1       وبجمعها مع (2) ينتج 6أ = 3  ومنها أ = ½  بالتعويض فى (1)

½ + 3ب = 1   ومنها 3ب = ½    اذاً  ب = 1\6           اذاً :-

        س² + 1                              1                                      1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 3(س^4 - س² + 1)        6 (س² - جذر(3)س + 1)        6 (س² + جذر(3)س + 1)


والآن نحلل المقامات بإكمال المربع بحيث نضعها على الصورة : (مربع كامل) + ثابت
عن طريق القاعدة الأساسية المشهورة وهى إضافة (نصف معامل س)²
معامل س = جذر(3)  ،  نصفه = جذر(3)/2   والآن [جذر(3)/2]² = 3\4

الآن : س² - جذر(3)س + 1 = س² - جذر(3)س + 3\4  +1 - 3\4

= [س - جذر(3)/2]² + 1\4   بالمثل نجد أن : س² + جذر(3)س + 1 = [س + جذر(3)/2]² + 1\4


            س^4 + 1                           1
اذاً : ∫ ــــــــــــــــــــــــ دس = (2\3)∫ــــــــــــــــ دس
            س^6 + 1                      س²+1

                          1                                         1
 +(1\6)∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس+(1\6)∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  دس
           [س - جذر(3)/2]² + 1\4                  [س + جذر(3)/2]² + 1\4


ولنأخذ كل تكامل منهم على حدى (وبدون ما نكتب الثابت ث)

              1                        -1
(2\3)∫ــــــــــــــ دس = (2\3) ظا (س)
         س²+1

                       1                                          
(1\6)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس   بضرب المقام كلاً من البسط والمقام فى 4 ولاحظ 4
          [س - جذر(3)/2]² + 1\4          داخل القوس التربيعى تكافىء 2 .

         
                         1
= 4\6 ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس   ولاحظ مشتقة ماداخل القوس = 2  اذاً نقوم بضرب
             [2س - جذر(3)]² + 1        كلاً من البسط والمقام فى العدد 2 .


                              2                                -1
= (4\12) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = (1\3) ظا [2س - جذر(3)]
                 [2س - جذر(3)]² + 1



وبنفس الطريقة نصل الى أن :

                        1                                   -1
(1\6)∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = (1\3) ظا [2س + جذر(3)]
         [س + جذر(3)/2]² + 1\4


وأخيراً نقول :

     س^4 + 1              1      -1                          -1                          -1
∫ ــــــــــــــــــــــ دس = ـــــــ [ظا (2س + جذر(3)) + ظا (2س - جذر(3)) + 2ظا (س)] + ث
     س^6 + 1              3