حل المعادلة التفاضلية : صَ = [ص² + 2س ص]/س²

دص           ص² + 2س ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
دس                س²


بتوزيع البسط على المقام ينتج :-

 دص           ص²        2س ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــ + ــــــــــــــــ
دس           س²          س²


 دص           ص²         2 ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــ + ــــــــــــــ
دس           س²          س


هكذا تم البسط، ولذلك نفرض أن :-

بوضع ص/س = ع

ومنها  ص = س ع نشتق الطرفين بالنسبة لـ س


دص/دس = ع + س دع/دس      بالتعويض ..


 دص           ص²           2 ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــ + ــــــــــــــ
دس           س²          س


ع + س دع/دس = ع² + 2ع

اصبحت دالة فى ع ، س يمكن حلها بسهولة .. نرتب الحدود فتصبح ..

س دع/دس = ع² + ع

  دع          ع² + ع
ــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
 دس            س


ومن خصائص النسبة والتناسب ينتج أن :-

    دع               دس
ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
 ع² + ع            س


     دع                 دس
∫ــــــــــــــــــ = ∫ــــــــــــــــ
   ع² + ع             س


     دع
∫ــــــــــــــــــ  = لط(س) + ث
 ع(ع+1)


وبالتالى يمكن حل الطرف الأيمن بالكسور الجزئية

                     1               أ                ب
نفرض أن : ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ + ـــــــــــــــ
                 ع(ع+1)          ع             (ع+1)



ومنها أ(ع+1) + ب ع = 1     هذه متطابقة لأى عدد ع .

وبوضع  ع = -1

أ(-1 + 1) - ب = 1

ومنها - ب = 1  ومنها ب = -1

وبوضع ع = 0

أ(0 + 1) + ب 0 = 1

أ = 1

             1              1               1
اذاً : ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ  - ـــــــــــــــ
      ع(ع+1)            ع              ع+1


بالتعويض فى التكامل ..


     دع
∫ــــــــــــــــــ  = لط(س) + ث
 ع(ع+1)


   1                1
∫ــــــــ دع - ∫ـــــــــــــ = لط(س) + ث
  ع               ع+1


لط(ع) - لط(ع+1) = لط(س) + ث


ولكن : ص/س = ع  بالتعويض ..

لط(ص/س) - لط((ص/س)+1) = لط(س) + ث

يمكنك التبسيط أكثر من ذلك بحيط من خصائص
اللوغاريتمات ينتج أن :-

          ص/س
لط(ــــــــــــــــــــــــــــ) = لط(س) + ث
       (ص/س)+1


ما هو ث ؟ ث هو ثابت لذلك يمكنك وضع بدلاً
من ث لط (ث)  ما الفرق ؟ لا فرق كلها ثوابت ..

          ص/س
لط(ــــــــــــــــــــــــــــ) = لط(س) + لط(ث)
       (ص/س)+1  



          ص/س
لط(ــــــــــــــــــــــــــــ) = لط(س/ث)
       (ص/س)+1  


      ص/س                  س
ــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
   (ص/س) + 1             ث



   ث ص
ـــــــــــــــــ = ص + س
   س


ث ص = س ص + س²


ث ص - س ص = س²

ص(ث - س) = س²

             س²
ص = ـــــــــــــــــــــ
          ث - س