اوجد مجموع المتتابعة من 1 الى ن التى حدها العام هو ح(ن) = ن×10^ن

نبدأ من مجموع المتتابعة الهندسية الآتية والتى تعتمد
على الأساس س ، والحد الأول لها هو 1


                                           س^(ن+1)  - 1                            
1+س+س²+س³+....+س^ن = ــــــــــــــــــــــــــــ
                                                س - 1

بإشتقاق الطرفين بالنسبة لـ س

                                                         (ن+1) (س-1) س^ن - س^(ن+1) + 1
1 +2س+3س²+4س³+ ... +ن س^(ن-1) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                                            (س-1)²

بضرب الطرفين فى س

                                           (ن+1) (س-1) س^(ن+1) - س^(ن+2) + س
س+2س²+3س³+...+ن س^ن = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                                    (س-1)²

البسط حدوده كثيرة .. نقوم بتبسيطة

 (ن+1) (س-1) س^(ن+1) - س^(ن+2) + س

= (ن+1) [س^(ن+2) - س^(ن+1)] - س^(ن+2) + س

= (ن+1) س^(ن+2) - (ن+1) س^(ن+1) - س^(ن+2) + س

= ن س^(ن+2) - (ن+1) س^(ن+1) + س          ..  اذاً


                                            ن س^(ن+2) - (ن+1) س^(ن+1) + س
س+2س²+3س³+...+ن س^ن = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                             (س-1)²


وبوضع : س = 10  للطرفين يعطيك مجموع المتتابعة التى حدودها
على الشكل : ح(ن) = ن 10^ن

   ن                     ن 10^(ن+2) - (ن+1) 10^(ن+1) + 10
سيجما ك 10^ك = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 ن=1                                          81