حول المجموع (سيجما) ومجموع ريمان

∑ او حاصل المجموع سيجما هو رمز كثيراً ما
يستخدم فى الرياضيات لا سيما المتقدمة منها
بحيث يختصر عليك كتابات ورموز كثيرة فى نموذج
او شكل واحد تظل محتفظ به فى تصورك الذهنى فقط .
ومثال ذلك عندما تكتب :

1+س+س²+س³+....

اظنك قد علمت تماماً ما هو الحد الخامس ؟
والحد الذى يليه، والذى يلى التابع له، والذى يليه
وهكذا .. هل تعرف الحد المليون ؟ .. الحد اللانهائى ؟
فى الحقيقة هذا مستحيل كتابته، وتتبع الحدود الى
ان تصل الى الحد اللانهائى، لأن الحد اللانهائى لا
تستطيع ان تكتبه، ولكن يمكنك تصوره، او تخيل
جميع الحدود التى على شاكلته، ونكتب هذا
المجموع بالصورة ..

  ∞
سيجما س^ن
ن=0

والتى تعنى اجمع جميع الحدود التى تتخذ الشكل
س^ن من لكل ن تنتمى للمجموعة {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ......}

الحد الأدنى : ن = 0
الحد الأعلى : لا يوجد فهو مستمر الى لانهاية .

1) حاصل الجمع او طرح مجموعين

يتم كما لو كنت تجمع س+3س = 4س
مثال :

    ∞                     ∞
أ سيجما س^ن + ب سيجما س^ن
 ن=0                   ن=0

              ∞
= (أ+ب) سيجما س^ن  والطرح كذلك ..
            ن=0

وهذا بديهى وواضح جداً، فعندما تكتب

س+ص + 2ص+2ص = (س+ص) + 2(س+ص)

= (1 + 2) (س+ص) = 3(س+ص)

2) الضرب والقسمة نكتبهم كما هما
...............................................................
نظرية ذات الحدين :
                      ن    ن
(س+ص)^ن = سيجما  ق س^(ن-ك) ص^ك
                   ك=0      ك

وهذا يظهر لك عندما تنشر هذه الحدود، بوضع ن=0
تحصل على الحد الأول والذى له الرتبة 0  .

ن
ق س^(ن-0) ص^0 = س^ن
 0

وهذا يؤكد لنا أن الحد الأول فى منشور ذات الحدين
هو دائماً س^ن ، ويؤكد لنا ايضاً عدد الحدود بعد
النشر يساوى ن+1 حداً .
...................................................................
مجموع ريمان :

ارسم اى دالة د(س) وقسمها الى شرائح مستطيلات
فى الفترة من أ الى ب .. الآن عندما نقول ان الفترة
من 1 الى 3 اذا ً طول الفترة = 3 - 1 = 2

طول الفترة = ب - أ

قم بتقسمها الى ن من الفترات .. يتكون لديك دلتا س

           ب - أ
∆س = ــــــــــــــ
             ن

مساحة المستطيل = الطول × العرض

= ∆س × د(س)

لكننا نريد مجموع شرائح المستطيلات ..
ولكن د(س) هذه قيم متغيرة، لذلك نفرض
ان بداية الفترة من س0 الى س ن
لماذا س0 ؟؟

نشاط : ارسم خط مستقيم وقسمه الى 5 فترات
متساوية لتجد ان عدد النقاط بدئاً بالحروف = عدد
الفترات الجزئية +1

س0 ، س1 ، س2 ، ..... ،س ن ما هى الا رموز تعبر
عن س والتى تليها بحيث الفرق بين الواحدة والأخرى يؤول
الى الصفر عندما ن (عدد الفترات) يؤول الى اللانهاية ..

بصفة عامة نطلق عليها س ر حيث ر = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ....}

س ر = س0 + ر ∆س

مثال : س1 = س0 + ∆س

وهذا طبيعى جداً أن س1 هى القيمة التى تلى س0
فى الترتيب والفرق بينهما ∆س

            ن      
نهــــــــا سيجما د(س ر) ∆س
ن←∞   ر=1

نفسر هذا المجموع بأنه حاصل جمع شرائح المستطيلات
المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات فى الفترة [أ،ب]
بحيث ان مساحة كل شريحة = د(س ر) ∆س

لا تشغل بالك بالأمر كثيراً، مع كثرة استعمالك لهذه الرموز ستتعود عليها ..