اوجد قانون عام لحساب المجموع 1+2(2)+3(2)²+4(2)³+...+ ن(2)^(ن-1)

استخدم حساب التفاضل والتكامل لتسهيل الحل
على نفسك .. نبدأ من المتتابعة الهندسية الآتية
حدها الأول س ، واساسها س ايضاً .

                                      س(س^ن - 1)         س^(ن+1) - س
س+س²+س³+....+س^ن = ـــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                            س - 1                 س - 1 


اشتق الطرفين بالنسبة لـ س

1 +2س+3س²+4س³ + ..... + ن س^(ن-1)

   (س-1)[(ن+1) س^ن - 1] - س^(ن+1) +س
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       (س-1)²


وبوضع س=2 للطرفين تحصل على المجموع ..

1 + 2(2) + 3(2)² + 4(2)³ + ... + ن (2)^(ن-1)


    (2 -1)[(ن+1) 2^ن - 1] - 2^(ن+1) +2
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      (2 - 1)²


= [(ن+1) 2^ن - 1] - 2^(ن+1) +2

= (ن+1) 2^ن - 2^(ن+1) + 1