اوجد تكامل (س³+3س²+3س+63)/(س-9)² دس

يمكنك حل هذا التكامل بالكسور الجزئية بحيث تجد ان درجة
البسط اقل من درجة المقام، وسنجرى بعض التعديلات البسيطة
أولاً قبل التجزىء كتحليل المقام (فرق بين مربعين) ويمكنك ترك
البسط كما هو، ولكن من الأفضل ان نجعله على هذا الشكل
س³+3س²+3س+1 + 62 = (س+1)³ + 62
واعتقد انك تعلم لماذا (هذا منشور ذات الحدين عندما ن=3)

.  (س³+3س²+3س+63)                  (س+1)³ + 62
∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
          (س² - 9)²                         (س-3)² (س+3)²

                        (س+1)³ + 62
والآن نفرض أن :  ـــــــــــــــــــــــــــــ
                      (س-3)² (س+3)²

 
        أ                  ب                جـ                د   
= ـــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ
     (س-3)         (س-3)²        (س+3)         (س+3)²

وبعد توحيدك للمقامات ينتج :

  أ(س-3) + ب      جـ(س+3) + د     
ــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــ
   (س-3)²             (س+3)²               

    أ(س-3)(س+3)²+ب(س+3)²+جـ(س+3)(س-3)²+د(س-3)²
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                         (س-3)² (س+3)²

اذاً :

 أ(س-3)(س+3)²+ب(س+3)²+جـ(س+3)(س-3)²+د(س-3)²  = (س+1)³ + 62

(س+3)²[أ(س-3)+ب] + (س-3)²[جـ(س+3)+د] = (س+1)³ + 62

ضع س=3 للطرفين ينتج لك  : 36ب = 126  ومنها ب = 7\2 = 3.5
ضع س=-3 للطرفين ينتج لك : 36د = 54     ومنها د = 3\2 = 1.5
ضع س=0 للطرفين ::: -27أ+9ب+27جـ+9د = 63   (عوض عن ب ، د)  تجد أن :

-27أ+27جـ = 18    ---------> -3أ+3جـ = 2  ---------> (1)

ضع س=1 للطرفين ::: -32أ+16ب+16جـ+4د = 70  (عوض عن ب ، د) تجد أن :

-32أ+16جـ = 8    --------->   -4أ+2جـ = 1 ---------> (2)

بضرب (1) × 2  وضرب (2) × -3

-6أ + 6جـ = 4
12أ - 6جـ = -3
....... بالجمع .......

6أ = 1  ومنها أ = 1\6  بالتعويض فى (1) ينتج لنا : -3(1\6)+3جـ = 2

ومنها : جـ = 5\6

ملخص ما سبق : أ = 1\6  ، ب = 7\2 ، جـ = 5\6  ، د = 3\2   بالتعويض ..
نجد ان المقدار داخل التكامل اصبح بهذا الشكل ..

       1                 7                5                 3  
 ـــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ
   6(س-3)       2(س-3)²      6(س+3)        2(س+3)²

تكامل الكسور التى تحتوى على مقامات من الدرجة الأولى سهلة
ومعروفة (اجعل البسط مشتقة المقام) اما تكامل الكسور التى
تحتوى على مقامات من الدرجة الثانية فيمكنك رفع المقام الى
البسط بأس سالب ثم اجراء عملية التكامل المعروفة ... ولنأخذ
كل كسر منهم ونكامله على حدى ..

         1                                             5
∫ ــــــــــــــــ دس = 1\6 لط|س-3|  ، ∫ ـــــــــــــــــــ دس = 5\6 لط|س+3|
    6(س-3)                                     6(س+3)

     
         7                                                                               -7
∫ ــــــــــــــــــ دس = 7\2∫(س-3)^-2 دس = - 7\2 × (س-3)^-1 = ـــــــــــــــ
    2(س-3)²                                                                      2(س-3)²


وأخيراً ..

          3                                                                           -3
∫ ــــــــــــــــــــ = 3\2∫(س+3)^-2 دس = -3\2 × (س+3)^-1 = ـــــــــــــــ
   2(س+3)²                                                                  2(س+3)



      (س³+3س²+3س+63)                 
اذاً ∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = 1\6 لط|س-3| + 5\6 لط|س+3|
          (س² - 9)²                     

         -7                -3
 + ــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ث
    2(س-3)²       2(س+3)