أوجد عدد الواحايد فى الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ومليون ؟

السؤال يعتمد فى الأساس على المجموعات المرتبة جيداً، والتباديل والتوافيق
ومبدأ العد الأساسى، وسأبدأ اولاً برسم خريطة للحل بحيث انى غير ملزم
بذكرها، ولكنى توضيحاً فقط لصعوبة الوصول الى الحل بهذه الطريقة .

1 ، 2 ، 3 ، ....... ، 10     ====>   2
11، 12 ، 13 ، .... ، 20    ====>  10
21 ، 22 ، 23 ، ....، 30    ====>   1
31 ، 32 ، ..........، 40     ====>  1
من 41 الى 50              ====>   1
من 51 الى 60              ====>   1
من 61 الى 70              ====>   1
من 71 الى 80              ====>   1
من 81 الى 90              ====>   1
من 91 الى 100            ====>   2

المجموع : من 1 الى 100 = 21 واحد .

اما المائة الثانية تكون .

من 101 الى 110    ====> 12
من 111 الى 120    ====> 18
من 121 الى 130    ====> 11
من 131 الى 140    ====> 11
من 141 الى 150    ====> 11
من 151 الى 160    ====> 11
من 161 الى 170    ====> 11
من 171 الى 180    ====> 11
من 181 الى 190    ====> 11
من 191 الى 200    ====> 10

المجموع : من 101 الى 200 = 117

ستجد انها طريقة مفصلة تفصيلاً مملاً وربما تقع فى بعض الأخطاء الواردة ..
ولكن ما رأيك اذا تم الحل بهذه الطريقة الآتية ...

ليكن السؤال هو : ما هى عدد الوحايد فى الأعداد المحصورة بين 0 الى 99 ؟

ارسم لك الخريطة الذهنية الآتية :  س       ص

حيث س رقم الآحاد ، ص رقم العشرات  .

س ، ص ∈ {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ........ ،9}   (اى من 0 الى 9)

لأن هذا آخر ما تتحمله اى خانة عشرية فى نظام العد العشرى .. الآن نورد جميع
الإحتمالات الممكنة وهما اثنان فقط .

 الإحتمال الاول : س = 1   ،  ص ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الثانى : ص = 1   ،  س ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الآن الحل اصبح سهلاً : عدد امكانيات الإحتمال الأول = 9
عدد امكانيات الإحتمال الثانى = 9

وهنا إحتمال ثالث ثابت وهى س = ص = 1  

          وهو العدد (11)  -----> 2

الآن اذا اضفنا العدد 1 الذى ينتمى للعدد 100 يصبح لدينا :-

9 + 9 + 2 + 1 = 21

مثال آخر : أوجد عدد جميع الوحايد فى جميع الأعداد المحصورة بين 0 و 999

نفرض أن الآحاد = س ، العشرات = ص   والمئات = ع

وحتى لا تكون خطواتنا مرتبة نستعمل هنا مبدأ العد الأساسى بحيث ان لدينا
اى خانة فى هذه الأعداد اما ان تكون 1 او لا تكون 1  (اما او فقط لا شىء ثالث)
نفرض ان لدينا صندوق يحتوى على بطاقتين الأولى مكتوب عليها 1 والثانية مكتوب
عليها (ليس واحد او متغير او حرف (م) المهم شىء آخر غير الواحد) وتم السحب
على ثلاث المرات بالتتبع والتتالى وبإرجاع (اى كل مرة تسحب فيها ترجع البطاقة
مرة ثانية الى الصندون)

الآن : السحبة الأولى اما ان تكون البطاقة 1 او لا تكون 1 بمعنى ان عدد
اختيار السحبة الأولى = 2

عدد اختيار السحبة الثانية = 2 
عدد اختيار السحبة الثالثة = 2

اذاً عدد جميع الإختيارات = 2×2×2 = (2)³ = 8

من ضمن هذه الحالات المجموعتين {1 ، 1 ، 1} والتى نعرفها بالأساس
وايضاً المجموعة {م ، م ، م} والتى لا نريدها بالأساس وتعنى ان العدد
لا يحتوى على 1  وبناء على ذلك يتم طرح 2 من عدد الإمكانيات أعلاه
8 - 2 = 6  حالات أساسية ممكنة ، وهى كما يلى :-

الإحتمال الأول :  س = 1   ، ص ، ع ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الثانى : ص = 1   ، س ، ع ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الثالث :  ع = 1   ، س ، ص ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الرابع : س =ص= 1  ، ع ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الخامس : س=ع=1  ، ص  ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال السادس : ص = ع   ،س ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

وأخيراً الحالة التى يكون فيها س = ص = ع  وهى العدد 111

لنأخذ الإحتمال الأول ونعطى تفسيراً له، معنى ان تكون س = 1
يعنى رقم الآحاد ثابت، وكلاً من رقم العشرات والمئات متغير وينتمى
للمجموعة من 0 الى 9 (بإستثناء الواحد) ، او بمعنى آخر عدد امكانيات
الإحتمال الأول تساوى عدد امكانيات جميع إحتمالات عدد مكون من رقمين
بحيث ان خاناته تنتمى للمجموعة السابقة الذكر ، وهذا يدلنا على شىء
هام جداً (بنفس الطريقة بمبدأ العدد الأساسى) نقول ما هى عدد الإمكانيات
لعدد مكون من رقمين بحيث أن خاناته محصورة فى المجموعة {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإجابة سهلة جداً (بمبدأ العد) : الرقم الأول له تسع حالات ممكنة
الرقم الثانى له تسع حالات ممكنة

اذاً جميع الحالات الممكنة = 9 × 9 = (9)² = 81

اى ان عدد النواتج الممكنة للحالة الأولى = 81  حالة .

بنفس الطريقة : عدد نواتج الحالة الثانية = 81
عدد نواتج الحالة الثالثة = 81

الآن نأتى الى الحالة الرابعة ونعطى تفسيراً لها ..

معنى ان تكون س=ص=1 يعنى الآحاد =العشرات =1 والمئات هو المتغير فقط .
وهذه الحالة اسهل ما يمكن بحيث ان عدد نتائجها = 9
كذلك الحالة الخامسة عدد النواتج = 9
ايضاً الحالة السادسة عدد نتائجها = 9

ولكن لاحظ : الحالة الرابعة والخامسة والسادسة الواحد مكرر فيهم مرتين
اى لإيجاد أنك تحتاج لضرب الـ 9 فى 2 فى كل حالة من هؤلاء .

وأخيراً هناك حالة أخيرة العدد 111 والذى يحول الى 3 (3 وحايد)
وايضاً اذا أخذنا العدد 1000 والذى يحتوى على 1 فقط ، لتصبح
عدد الوحايد فى الأعداد المحصورة من 1 الى 1000

= 81 + 81 + 81 + 2(9) + 2(9) + 2(9) + 3 + 1

= 3(81) + 6(9) + 4 = 301

والآن حسب المفاهيم السابقة الذكر نستطيع ان نستنتج ان المجموعة

{1 ، 1 ، م} = 2 × 9 = 18

(اى نقوم بجمع الوحايد وضربها فى القيمة م والتى تساوى 9)

بحيث هذا المفهوم يسهل علينا حسابات وعمليات كثيرة جداً، فمن هنا وصاعداً
الخانة التى لا تحتوى على 1 نطلق عليها م، فمثلاً المجموعة الآتية

{1 ، م ، م} = 1 × 9 × 9 = 81    وهذا لأن م = 9

((اى اننا نقوم بجمع وحايد المجموعة وضربها فى كل م فى المجموعة من اجل م=9))
بهذا المفهوم ايضاً كان بالإمكان حل السؤال السابق فى بضعة سطور بسيطة .
وايضاً نستطيع ان نقول على (م ، م ، م) = صفر لعد وجود اى 1

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

والآن نعود الى السؤال الأساسى الذى طرحته وهو مجموع الوحايد فى جميع
الأعداد المحصورة بين 1 الى 1000000

الحل : المليون يحتوى على 6 اصفار ، اذاً وفى هذه الحالة جميع الإحتمالات
الممكنة = (2)^6 = 64  حالة ، وكتابتهم سيكون امراً صعباً، ولذلك يممكنا
هنا الإستعانة بـ قاون ثنائى الحدين، فمثلاً فى المثال الثانى كانت كلاً من
الحالة الأولى والثانية والثالثة = 81 اى ان مجموع حالاتهم = 3(81)
او : 3 ق 1  ×  81   وبالمثل فمجموع الحالات الرابعة والخامسة والسادسية
= 3 ق 2 × 9 = 6 × 9  فهذه من المفاهيم الأساسية التى ينبغى معرفتها

مزيداً من التوضيح : {1 ، م ، م} ، {م ، م 1} ، {م ، 1 ، م}  قيم هؤلاء جميعاً
واحد وهى 1 × 9 × 9 = 81 وهذا كأن نقول 112  و   101  ففى كلا العددين
الواحد مكرر مرتين .. وهكذا

السؤال : كيف جاء هذا التعريف ؟

للتوضيح نضرب مثال : {1 ، م ، م} ، {م ، م 1} ، {م ، 1 ، م}  تعنى بإختلاف
مكان العددد 1 تختلف معه م ، م ، ونعلم ان امكنة العدد 1 هى ثلاثة فقط اذاً
عدد نواتج هذه المجموعة = ثلاث نواتج متكافئة .

نأخذ مثال آخر : {1 ، 1 ، م ، م} = {1 ، م ، 1 ، م} = {1 ، م ، م ، 1}
                = {م ، 1 ، 1 ، م} = {م ، 1 ، م ، 1} = {م ، م ، 1 ، 1}

وهى تعنى 4ق2 = 6             (أى 6 حالات متكافئة)
                                                            
اذاً وحتى نكون أكثر منطقية نقول : {1 ، 1 ، م ، م} = 4ق2 × 2 × (9)² = 972

حيث 4 = عدد عناصر المجموعة ، 2 = عدد الوحايد فى المجموعة ، م = 9

لنعود الى المثال الذى كنا نعمل عليه وندرس جميع حالات (الواحد) التى تتمثل
فى المجموعات التى عددها = اصفار المليون = 6 مجموعات (اسياسية)
+ المجموعة السابعة والتى تساوى 0  .


{م ، م ، م، م ، م ، م} = 0

{1 ، م ، م ، م ، م ، م} = 6ق1 × 1 × (9)^5 = 354294

{1 ، 1 ، م ، م ، م ، م} = 6ق2 × 2 × (9)^4 =  196830

{1 ، 1 ، 1 ، م ، م ، م} = 6ق3 × 3 × (9)³   =  43740

{1 ، 1 ، 1 ، 1 ، م ، م} = 6ق4 × 4 × (9)²  =   4860

{1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، م} = 6ق5 × 5 × 9     =    270

{1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1} = 6

وأخيراً العدد مليون يحتوى على 1

محصلة المجموع = 600001

فكرة الحل سليمة واتمنى ان اكون قد وصلت الى الحل السليم .. اى أن مجموع الوحايد
فى الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ومليون = 600001  واحد .

                                (ن-1)     ن     
والقانون هو : (ن+1) +  سيجما      ق × ر × 9^(ن-ر)
                                 ر=1         ر

حيث ن = قوى العدد عشرة

مثال اذا قولنا احسب عدد الوحايد فى جميع الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ، 100
فإن : 100 = (10)²  وبالتالى ن = 2       .. وهكذا

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
يمكن اثبات ان القانون السابق = ن10^(ن-1) + 1 من خلال نظرية ذات الحدين .

                       ن     ن
(س+ص)^ن = سيجما   ق س^ر ص^(ن-ر)  نشتق الطرفين جزئياً بالنسبة لـ س
                     ر=0        ر

                               ن    ن
ن(س+ص)^(ن-1) = سيجما   ق × ر × س^(ر-1) ص^(ن-ر)
                             ر=0       ر

                 بوضع س=1  ، ص = 9 للطرفين ..

                      ن     ن
ن10^(ن-1) = سيجما   ق × ر × 9^(ن-ر)   نقوم بفصل الحدين الأول والأخير ..
                    ر=0       ر

                           ن-1    ن
ن10^(ن-1) = ن + سيجما   ق × ر × 9^(ن-ر) 

                           ر=1       ر

بإضافة (1) للطرفين (كحالة خاصة فى حالة اردنا حساب عدد الواحايد)

                                       ن-1     ن
ن10^(ن-1)  + 1 = (ن+1) + سيجما   ق × ر × 9^(ن-ر) 

                                       ر=1        ر

المصدر