اوجد تكامل جذر(س)/[الجذر التعكيبى لـ(س) + 1] دس

نظراً لوجود الجذور المختلفة فى المسألة فإن البداية
الأنسب تكون بالتعويض، ومن ثم اجراء قوانين التكامل
المعروفة .. سأبدل بدلاً من الجذر التعكيبى لـ س
بـالرمز ج3(س)

      جذر(س)
∫ ــــــــــــــــــــ دس 
   1 + ج3(س)

نفرض أن ج3(س) = ص  ومنها (1\3) س^-2\3 دس = دص

(1\3) × 1\ج3(س)² دس = دص  عوض عن ج3(س) = ص

(1\3) × 1\ص² دس = دص ومنها دس = 3ص² دص

والآن يمكنك بسهولة ايجاد جذر(س) من خلال الفرضية
التى فرضناها وهى أن ج3(س) =ص ومنها س^1\3 = ص

اذاً : س = ص³  (بقسمة اسس الطرفين على 2)

س^1\2 = ص^3\2 اى ان : جذر(س) = جذر(ص)³ = ص جذر(ص)

بالتعويض فى التكامل فنحصل على .....

     ص³ جذر(ص)                   ص^3.5
3∫ ـــــــــــــــــــــــ دص = 3∫ ــــــــــــــــــــ دص
       ص+1                           ص+1

صنعت هذه الخطوات لأجل ان ابين لك اننا عندما فرضنا
أن : ج3(س) = ص كانت فرضية صحيحة لكنها جعلت
درجة البسط كما ترى كسرية 3.5 ونحن نريد التبسيط
بحيث تكون عملية القسمة المطولة سهلة وبسيطة ..
ولكى نتلاشى هذا العيب نفرض (بصفة عامة) ان ص
تساوى الجذر الذى رتبته (المضاعف المشترك الأصغر بين
الجذور الموجودة فى التكامل) ستجد ان المضاعف المشترك
الأصغر بين 2 ، 3 هى 6  اذاً نقول (بداية الحل هذه )

(( ج6 اقصد منها الجذر السادس))

نفرض أن : جذر6(س) = ص   اى ان : س^1\6 = ص

ومنها : (1\6) س^-5\6 دس = دص  اذاً (1\6) × 1\ج6(س)^5  دس = دص

عوض عن ج6(س) بـ ص 

 (1\6) × 1\ص^5 دس = دص  ومنها دس = 6 ص^5 دص

والآن يمكنك ايجاد جذر(س) والتى تساوى س^1\2 من خلال
الفرضية : س^1\6 =ص  بتكعيب الطرفين  ..

س^3\6 = ص³  ومنها س^1\2 = ص³  (اى ان جذر(س) = ص³)

بنفس الطريقة يمكنك الحصول على ج3(س)

س^1\6 = ص  بترتبيع الطرفين .. س^2\6 = ص² اى أن : ج3(س) = ص²

بالتعويض فى التكامل نحصل على هذا الشكل ..


      جذر(س)                 ص³ × ص^5                 ص^8
∫ ــــــــــــــــــــ دس = 6∫ ــــــــــــــــــــــ دص = 6∫ــــــــــــــــــ دص
   1 + ج3(س)               ص² + 1                     ص² + 1

وبما ان درجة البسط أكبر من درجة المقام اذاً تكون القسمة
المطولة طريقة مناسبة للحل ..

 ص^6 - ص^4 + ص² - 1
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        ص^8                           | ص² + 1
                                           ــــــــــــــــــــ
        ص^8 + ص^6
............ بالطرح ............
     - ص^6
     -ص^6 - ص^4
............ بالطرح ............
      ص^4
     ص^4 + ص²
............ بالطرح ............
     - ص²
     -ص² - 1
............ بالطرح ............
   1

وبعدها يكون التكامل على هذا الشكل ...

                                               1
6∫(ص^6 - ص^4 + ص² - 1 + ــــــــــــــــــــ) دص
                                           ص² + 1


= 6[(1\7)ص^7 - (1\5)ص^5 + (1\3)ص³ - ص + ظا^-1(ص)] + ث


= 6[(1\7)(ج6(س))^7 - (1\5)(ج6(س))^5 + (1\3)(ج6(س))³ - (ج6(س)) + ظا^-1(ج6(س))] + ث