من أين أتت دالَّة جاما ؟

Γ(s) = integral( t^( s - 1 ) e^-t )dt ( from t = 0 to ∞ )‏

سؤالك أكثر من رائع .. عندما نقول على مساحة
ما تحت منحنى انها تقاربية فى فى الفترة من 0
الى ∞ فهذا يعنى اننا حصلنا على ناتج محدد
لهذا التكامل عندما x تؤول الى مالانهاية، الآن

         1        1       1          1
هـ = ــــــ + ــــــ + ــــــــ + ــــــــ + ....
         0!      1!       2!         3!

اذاً كان ولابد من وجود علاقة تربط بين المضاريب وبين
العدد النيبيرى e او هـ (بالعربية) .. نترك هذا الموضوع
جانباً ونكامل :

∞                              ∞
∫هـ^-س دس = -[هـ^-س] = -[هـ^(-∞) - هـ^(-0)]
0                                0

= 1

والسبب فى ذلك يعود الى أن : نهـــــا هـ^-س = 0
                                      س←∞

تكامل هـ^-س من 0 الى ∞

هناك تكامل مشهور كـ جتاس هـ^س او جاس هـ^س
ومن ضمن هذه التكاملات : س^ن هـ^-س حيث :
ن = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .........}

((ثم عممت الدالة فيما بعد لإيجاد مضروب اى عدد
بصفة عامة حتى ولو كان مركباً بشرط الا يكون الجزء
الحقيقى عدد صحيح سالب ))
   
الآن : يمكنك ايجاد التكامل السابق بالتجزىء،او يمكن
اشتقاقه أولاً بهذه الطريقة .. وليكن التكامل السابق
دالة فى (ن) .. بحيث : د(0) = 1

(س^ن هـ^س) َ = ن س^(ن-1) هـ^س - س^ن هـ^-س

بمكاملة الطرفين فى الفترة ]∞ ، 0]

∞                         ∞
∫(س^ن هـ^-س) َ = ن∫ س^(ن-1) هـ^-س دس
0                           0
   ∞
 - ∫س^ن هـ^-س دس
   0

 0  =  ن د(ن-1) - د(ن)  ومنها د(ن) = ن د(ن-1)

وهذه اهم خاصية والتى نبنى عليها فيما بعد .. والتكامل
                                        ∞                        
الأول بصفر لأن : [س^ن هـ^-س] = 0
                                         0
والآن : د(ن) = ن د(ن-1)  تعنى .............. الآتى

د(ن) = ن د(ن-1)
د(ن-1) = (ن-1) د(ن-2)
د(ن-2) = (ن-2) د(ن-3)
د(ن-3) = (ن-3) د(ن-4)
.
.
.
د(1) = 1
د(0) = 1

ومن هنا ينتج لنا الآتى (بضرب هذه المعادلات)

د(ن)×د(ن-1)×د(ن-2)×.....×د(1)×د(0)

= ن! × د(ن-1)×د(ن-2)×....×د(1)

وبعد الإختصارات فى الطرفين ينتج لنا :

د(ن) = ن!
                ∞
د(ن) = ن! = ∫س^ن هـ^-س دس
                 0

مثال : كيف نوجد 3!  نضع ن=3

            ∞
د(3)=3!= ∫س³ هـ^-س دس = 6
              0

((طبعاً بعد حلك لهذا التكامل بالتجزىء ..))

ولتعريف الدالة على الأعداد الكلية
بدل ن بـ ن-1 ولاحظ كلها رموز اعتباطية

بحيث تكون د(1) = 0! = 1 
د(2) = 1! = 1 ، د(3) = 2! = 2  وهكذا ..

والآن ما هو مضروب الـ 0.5 ؟
 
         ∞   
0.5 ! = ∫جذر(س) هـ^-س دس
          0

   جذر(ط)
= ـــــــــــ  ≈ 0.886
      2