اثبت ان منصفات المثلثات تتلاقى فى نقطة واحدة بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس و 1 : 2 من جهة القاعدة ؟

هناك طريقة استنتجتها، ومفهومها سهل وبسيط ..
فى المثلث أ ب جـ عبرت عن نقطة تلاقى متوسطات المثلثات بـ  " و "

فى الإثبات سأستعمل النظريات الآتية (واذا اردتى اثبات كل نظرية منها فليس عندى مانع) :

1) متوسط اى مثلث يقسمه الى مثلثين متساويين فى المساحة .

2) جا(الزاوية) = جا(الزاوية المكملة لها)

مثال : جا(30) = جا(180 - 30) = جا150    وهكذا ..

3) مساحة المثلث (حسب مفهوم حساب المثلثات) =

½ حاصل ضرب طولى اى ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما

4) نقطة تلاقى متوسطات المثلث تتقابل فى نقطة واحدة داخله " النقطة و "

.............................................................................................



الإثبات : فى المثلث أ ب جـ فيه ب ص ينصف القاعدة أ جـ   .. اذاً

مساحة المثلث ب أ ص = مساحة المثلث ب جـ ص

ولكن و ص منصف للمثلث و أ جـ   اذاً  مساحة أ و ص = مساحة جـ و ص

اذاً : مساحة المثلث  أ و ب = مساحة المثلث و ب جـ   كيف تم ذلك ؟

"سأضرب مثل سريع : اذا كان معك حقيبتين بهما اموال الأولى بها مليون دولار والثانية
ايضاً تحتوى على مليون دولار (اى ان الحقيبة الأولى = الحقيبة الثانية)
.. اخذنا من الحقيبة الأولى 100 الف دولار ومن الحقيبة الثانية 100 الف دولار فهل
الحقيبة الأولى = الحقيبة الثانية ؟  .. اظن الإجابة واضحة جداً   "

وصلنا الى : مساحة المثلث  أ و ب = مساحة المثلث و ب جـ

ولكن و س منصف للقاعدة أ ب  اذاً مساحة أ و س = مساحة و س ب

وايضاً : و د منصف للقاعدة ب جـ  اذاً مساحة و ب د = و د جـ

مما سبق ينتج أن : مساحة أ س و = مساحة س و ب = مساحة و ب د

أو : مساحة أ ب و = 2×مساحة و ب د

اى أن : ½ أ و × ب و × جا(أ و ب) = 2×½ ب و × و د × جا(ب و د)

بإختصار ½ ب و من الطرفين ....

أ و × جا(أ و ب) =  2 و د × جا(ب و د)

ولكن : الزاوية أ و د مستقيمة = 180  اى ان الزاوية أ و ب تكمل الزاوية ب و د

وبالتالى : جا(أ و ب) = جا( ب و د)         (نختصرها من الطرفين ...)  ينتج لنا

أ و = 2 و د        (وهو المطلوب اثباته)

((طبعاً بنفس الطريقة نطبق البرهان على المنصفين الآخرين فى المثلث))