اوجد تكامل (س+1)/(س-2س+1)² دس

.       س+1
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر(س² - 2س + 1)

لاحظ المقام مربع كامل ..

            س+1                       س+1
= ∫ ــــــــــــــــــــــــ دس = ∫  ــــــــــــــــــــ دس
       جذر(س - 1)²                   س-1


اطرح واحد من البسط .. ثم ضيفه مرة أخرى ..

        (س-1) + 2
= ∫ــــــــــــــــــــــــــ دس   .. وزع البسط على المقام
           س-1


        س-1                     2
= ∫ ــــــــــــــ دس + ∫ ـــــــــــــــــ دس
        س-1                 س-1


= ∫دس + 2∫1/(س-1) =س

= س + 2لط|س-1| + ث   حيث س > 1

ولكن الحالة السالبة مقبولة ايضاً (لأن الجذر عليه تربيع)
وهنا نعيد تعريف دالة المقياس على انها : جذر(س-1)² = |س-1|
فتحل التكامل مرة عندما س > 1  فتأخذ المقام س-1 ثم تحله مرة
أخرى على أن س < 1 فنأخذ المقام فى هذه الحالة -(س-1)

ملحوظة يمكن اعادة تعريف دالة المقياس هكذا

د(س) = |س| = جذر(س)²

فعندما نقول ان س عدد حقيقى فإن جذر(س)² دائماً موجب
لأى س عدد حقيقى (اى س سالب او موجب) او بمعنى
آخر : د(س) = س  عندما س أكبر من او يساوى الصفر
د(س) = -س  عندما س اقل من الصفر .

الحالة الثانية هى :

        س-1                     2
= ∫ ــــــــــــــ دس + ∫ ـــــــــــــــــ دس
     -(س-1)                -(س-1)


        س-1                     1
= ∫ ــــــــــــــ دس - 2∫ ـــــــــــــــــ دس
     -(س-1)                 (س-1)


= - [س + لط|س+1|] + ث

او يمكنك حتى تتجنب كل هذا ان تجعله كما هو على صورته الأولى ..

            س+1                      
= ∫ ــــــــــــــــــــــــ دس   ضع س-1=ص  ومنها س = ص+1
       جذر(س - 1)²            


اذاً : دس = دص   عوض فى التكامل ..

           ص+2                    ص             2
=  ∫ ـــــــــــــــــــــ دس = ∫ ــــــــــــــ + ــــــــــــــ دس
        جذر(ص)²               جذر(ص)²    جذر(ص)²


= ∫ ص × (ص²)^-1\2 دص + 2∫(ص²)^-1\2 دص


= ½∫2ص × (ص²)^-1\2 دص + 2∫(ص)^-1 دص

التكامل الأول عبارة عن تكامل دالة مضروبة فى مشتقتها
والثانى هو ص^-1 = 1\ص وتكامله هو لط|ص|   اذاً


التكامل = ½×2 × (ص²)^½ + لط|ص| + ث

= (ص²)^½ + لط|ص| + ث

= جذر(ص)² + لط|ص| + ث =

= جذر(س - 1)² + لط|س - 1| + ث

= |س - 1| + لط|س - 1| + ث

ونقول فى هذه الحالة حيث س فى الفترة ح - {1}