اثبت ان مساحة القطاع الدائرى = ½نق² هـ

نعلم ان :        ل
             ـــــــــــــ = هـ
                 نق

حيث ل = طول القوس ، نق = نصف قطر الدائرة ، هـ = قياس الزاوية بالتقدير الدائرى .

ومنها : ل = هـ × نق

الآن فى الرسم فى المراجع قمت بتقسيم القطاع الدائرى الى عدد لا نهائى
من المثلثات المتساوية الساقين، بحيث كل ساق = نق

مساحة المثلث = ½ القاعدة × الإرتفاع

وعندما تقون هذه المثلثات كثيرة جداً فإننا لا نفرق وقتها بين نق وبين
ارتفاع المثلث ..

نفرق اننا قسمنا قوس القطاع الى ل0 ، ل1 ، ل2 ، ل3 ، ..... الخ

مساحة المثلث الأول = ½ل0 نق
مساحة المثلث الثانى = ½ل1 نق  .. وهكذا

مساحة جميع هذه المثلثات = مساحة القطاع الدائرى

= ½ل0 نق + ½ل1 نق + ½ل2 نق + .......

بأخذ ½نق عامل مشترك ...

= ½نق (ل0+ل1+ل2+ل3+.....)

ولكن (ل0+ل1+ل2+ل3+.....) = طول القوس = ل   اذاً

مساحة القطاع الدائرى = ½ل نق

ولكن ل = هـ×نق  بالتعويض ..

اذاً : مساحة القطاع الدائرى = ½×هـ×نق×نق = ½نق² هـ

حيث هـ قياس الزاوية المركزبة (للقطاع الدائرى) بالتقدير الدائرى .