اوجد تكامل 1على الجذر الربع ل س+ الجذر الثالث ل س

                             1
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   الجذر الرابع لـ(س) + الجذر الثالث لـ(س)

ونظراً لأن كلمة كلاً من الجذر الرابع والثالث طويل
سأختصرها الى :
الجذر الرابع لـ = ج4(س)
الجذر الثال = ج3(س)

              1
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــ دس   بأخذ ج4(س) عامل مشترك ..
    ج4(س) + ج3(س)

                1
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  ج4(س) [ج12(س) + 1]

نفرض أن : ج12(س) = ص   (نشتق الطرفين بالنسبة لـ س)

                                                                  12 دص
(1\12) س^-11\12 دس = دص  ومنها دس = ـــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                             ج12(س^-11)
             12 دص                    12 دص
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ = 12 ص^11 دص
      1\جذر12(س)^11           1\ص^11

وبما اننا فرضنا أن : ج12(س) = ص  اذاً نستطيع ان نوجد منها
جذر4(س)  (( نضع ج(س) على صورة الأس الكسرى))

س^1\12 = ص  بتكعيب الطرفين تحصل على  ..

س^3\12 = ص³   اى ان : س^1\4 = ص³  اى ان جذر4(س) = ص³
                                                        
بالتعويض فى التكامل ينتج لنا .. (عوض واختصر ..)

     12 ص^11                         ص^8    
∫ ـــــــــــــــــــــــــ دص = 12∫ ـــــــــــــــــــــ دص
   ص³ (ص+1)                         ص+1

وبما ان درجة البسط أعلى من درجة المقام اذا القسمة
المطولة تكون مناسبة لنا فى هذه الحالة ...

 ص^7 - ص^6 + ص^5 - ص^4 + ص³ - ص² + ص - 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
       ص^8                                                        | ص+1
                                                                       ـــــــــــــــــــ
     ص^8 + ص^7
............ بالطرح ...............
     - ص^7
    -ص^7 - ص^6
......... بالطرح .................
    ص^6
    ص^6 + ص^5
......... بالطرح .................
   - ص^5
   -ص^5 - ص^4
......... بالطرح .................
    ص^4
   ص^4 + ص³
......... بالطرح .................
   - ص³
   -ص³ - ص²
......... بالطرح .................
   ص²
   ص² + ص
......... بالطرح .................
  - ص
  -ص - 1
......... بالطرح .................
  1

وهكذا التكامل اصبح على هذا الشكل الطويل ..
                                                                                    1
12∫(ص^7 - ص^6 + ص^5 - ص^4 + ص³ - ص² + ص - 1 + ـــــــــــــــ ) دس
                                                                                 ص+1

= 12[(1\8)ص^8 - (1\7) ص^7 + (1\6) ص^6 - (1\5) ص^5 + (1\4) ص^4
- (1\3) ص³ + ½ص² - ص + لط|ص+1|] + ث

عوض عن قيمة ص = ج12(س)  نجد ان التكامل هو ..

= 12[(1\8)(ج12(س))^8 - (1\7) (ج12(س))^7 + (1\6) (ج12(س))^6 - (1\5)
 (ج12(س))^5 + (1\4) (ج12(س))^4
- (1\3) (ج12(س))³ + ½(ج12(س))² - (ج12(س)) + لط|(ج12(س))+1|] + ث

والذى يمكنك اختصاره أكثر من ذلك كما تشاء ...