حل تمرين فى القطع المكافىء ..

ليكن P القطع المكافئ الذي معادلته x²=2y و ليكن [pQ] و ترا محرقيا فيه ميله m ( اي p و Q هما نقطتا تقاطع مستقيم ميله m مار بمحرق القطع )
1 - أثبت ان المماسين في p و Q للقطع P متعامدان
2 - أثبن ان المماسين في p , Q يتقاطعان في نقطة تقع على دليل P
3 - هل تبقى الخاصتان السابقتان صحيحتين في حالة اي قطع مكافئ
التمرين موجود في صفحة 93 تمرين رقم 2 (الهندسة التحليلية)
و ارجو ان تكون الإجابة مفصلة بشكل دقيق جدا و لو مع الرسم

السؤال خفيف .. لذيذ .. وسأكتبه بالرموز العربية نظراً لصعوبة الكتابة باللغتين معاً

معادة القطع المكافىء هى : س² = 2ص  (نضعها على الصورة القياسية)

اذاً : س² = 4 × ½ص   اى ان أ = ½  وهى المسافة بين رأس القطع المكافىء
وبؤرته او بين الرأس ودليله .. من هنا نستخلص ما يلى .

معادلة دليله هى : ص = -½  احداثيات بؤرته (محرقه) هى : (0 ، ½)



المستقيمات المارة من محرقة تقطع محور الصادات فى ½  اذا الصورة
القياسية لجميع هذه المستقيمات هى : ص = م س + ½  حيث م
هى الميل المتغير لهذه المستقيمات ...

أولاً نوجد نقطة تقاطع القطع المكافىء مع المستقيم  ص = م س + ½ بأن
نقوم بحلهم معاً ....  بالتعويض فى معادلة القطع عن : ص = م س + ½

س² = 2(م س + ½)   ومنها  س² = 2 م س + 1  (نحل المعادلة فى س)

س² - 2 م س - 1 = 0    نحل المقدار الثلاثى بالقانون العام .....

                     
المميز(او دلتا) =  4م² - 4(-1) = 4(م²+1)


          2م + 2جذر(م²+1)
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــ  = م+جذر(م²+1)
                   2
أو : س = م - جذر(م²+1)

الآن وبكل بساطة ويسر يريد ميل المماس (فى القطع المكافىء) عند هذه الإحداثيات ..


س² = 2ص  ومنها ص = ½س²  (نشتق الطرفين بالنسبة لـ س)

صَ = س    او تكتب هكذا  دَ(س) = س

دَ(م+جذر(م²+1)) = م+جذر(م²+1)

دَ(م - جذر(م²+1)) = م - جذر(م²+1)

بضرب الميل الاول × الثانى

 [م+جذر(م²+1)][م - جذر(م²+1)] = م² - (م²+1) = -1

اذاً المماسان متعامدان (لأن حصاصل ضرب الميلين المتعامدين = -1)

نفرض أن معادلة المماس الأول : ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب

معادلة المماس الثانى : ص =  [م - جذر(م²+1)]س + جـ

حيث ب ، جـ الأجزاء المقطوعة من محور الصادات ... بحل المماسين معاً ينتج لنا
نقطع تقاطع المماسين (والتى نريد ان نتحقق هل بالفعل تقع على دليل القطع ؟ )


ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب                      (1)

ص = [م - جذر(م²+1)]س + جـ                     (2)

بضرب س فى القوس ينتج لنا ...


ص = م س +جذر(م²+1)س + ب                    (1)

ص = م س - جذر(م²+1)س + جـ                    (2)

بجمع (1) ، (2)

2ص = 2 م س + (ب+جـ)                              (3)  

بطرح (1) ، (2)

 0 = 2جذر(م²+1) س + (ب - جـ)                   (4)         

ومنها   2جذر(م²+1) س = (جـ - ب) 

                   (جـ - ب)
اذاً : س = ــــــــــــــــــــــــ     بالتعويض فى معادلة (3) 
               2جذر(م²+1)


             م (جـ - ب)
2ص = ـــــــــــــــــــــــــــ + (جـ+ب)
            جذر(م²+1)


 كيف نوجد ب ، جـ  ؟
من خلال نقطتى ميل المماس للدالة ..

س = م+جذر(م²+1)   او  س = م - جذر(م²+1)  بالتعويض فى معادلة القطع ..

د(س) = ½س²   ومنها  د(م+جذر(م²+1)) = ½[م+جذر(م²+1)]²

وبالمثل : د(م - جذر(م²+1)) = ½[م - جذر(م²+1)]²

بالتعويض بـ النقطة (م+جذر(م²+1) ، ½[م+جذر(م²+1)]²) فى المماس الأول ..

ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب

 ½[م+جذر(م²+1)]² = [م+جذر(م²+1)][(م+جذر(م²+1)] + ب

ب =  ½[م+جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)][(م+جذر(م²+1)]

= ½[م+جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)]² = -½[م+جذر(م²+1)]²

بنفس الطريقة نوجد جـ .. عوض بالنقطة (م - جذر(م²+1) ، ½[م - جذر(م²+1)]²)
  فى المماس الثانى .. ص = [م - جذر(م²+1)]س + جـ

 ½[م - جذر(م²+1)]² = [م - جذر(م²+1)] [م - جذر(م²+1)] + جـ

اذاً : جـ  = ½[م - جذر(م²+1)]² - [م - جذر(م²+1)] [م - جذر(م²+1)]

= ½[م - جذر(م²+1)]²  - [م - جذر(م²+1)]² = -½[م - جذر(م²+1)]²

الآن نوجد كلاً من   جـ +ب    ،  جـ - ب

جـ+ب = -½[م - جذر(م²+1)]² - ½[م+جذر(م²+1)]²

= -½ [ [م - جذر(م²+1)]² + [م+جذر(م²+1)]² ] 

= -½ [م² - 2م جذر(م²+1) + (م²+1) + م² + 2م جذر(م²+1)+ (م²+1) ]

= -½(4م²+2) = - (2م²+1)

ثانياً ايجاد : جـ - ب

جـ - ب = -½[م - جذر(م²+1)]² + ½[م+جذر(م²+1)]²

= -½[ [م - جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)]² ]

= -½ [ م² - 2م جذر(م²+1) + (م²+1) - م² -2م جذر(م²+1) - (م²+1)]

= -½[-4م جذر(م²+1)] = 2م جذر(م²+1)

بالتعويض فى :

             م (جـ - ب)
2ص = ـــــــــــــــــــــــــــ + (جـ+ب)
            جذر(م²+1)


                 2م² جذر(م²+1)
اذاً : 2ص  = ــــــــــــــــــــــــــــ - (2م²+1) = 2م² - 2م² - 1 = -1
                   جذر(م²+1)


ص = -½  ولكن هذه معادلة دليل القطع المكافىء

اذاً المطلوب الثانى تحقق ...