اثبت ان مشتقة جتاس هى - جاس ؟

هناك عدة طرق للإثبات منها اعادة تعريف كلاً من دالتى الـ جا و الـ جتا ولكن
الطريقة  تلزمك على معرفة طريقة اشتقاق دالة الأس الطبيعى e^f(x)  ll وايضاً تحتاج
لأن تثبت الصيغة من الأساس (اى تحتاج ان تثبت أن : cosx = (e^ix+e^-ix)/2
و sinx = (e^ix - e^-ix)/2i ، لذا فمن الأفضل هنا أن نلجأ الى التعريف العام للمشتقة .

د(س) = جتاس

                      د(س+هـ) - د(س)                جتا(س+هـ) - جتاس
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0           هـ                  هـ←0             هـ

بإستعمال متطابقة مجموع زاويتين ...

              جتاس جتاهـ - جاس جاهـ - جتاس
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0                هـ

بتوزيع البسط والنهاية على المقام بالطرييقة التالية ...

             جتاس جتاهـ - جتاس                جاس جاهـ
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
   هـ←0           هـ                  هـ←0          هـ

وهنا اريد ان انبه على شىء هام جداً وهى ان هذه النهايات بالنسبة لـ هـ
اذاً القسمة س نستطع ان نضعها خارجها كما يلى ..

                       جتاهـ - 1                       جاهـ
= جتاس نهــــــــا ــــــــــــــــــ  - جاس نهـــــــا ــــــــــ
            هـ←0       هـ                  هـ←0    هـ

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

((لأن النهاية الثانية جاهـ/هـ = 1 عندما هـ تؤول للصفر - اضغط هنا ))

الآن : نعزل النهاية التى نريد ايجادها عن المقدار ...

          جتاهـ - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــ  = 0    مباشرة ً اذا ما استعملت قاعدة لوبيتال .        
هـ←0      هـ

ولكن كيف نوجدها بدون استعمال قاعدة لوبيتال ؟

بالضرب بسطاً ومقاماً فى مرافق البسط

            جتاهـ - 1       جتاهـ + 1                   جتا²هـ - 1
نهــــــــا ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ = نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــ
هـ←0         هـ                هـ            هـ←0  هـ (جتاهـ+1)

                 1 - جتا²هـ
=  - نهــــــــا ـــــــــــــــــــ   (( البسط عبارة متطابقة مثلثية))
     هـ←0  هـ(1+جتاهـ)
     
                   جا²هـ                          جاهـ × جاهـ
= - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــ = - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
     هـ←0   هـ (1+جتاهـ)        هـ←0   هـ (1+جتاهـ)

                 جاهـ                     جاهـ
= - نهـــــــا ـــــــــــــــ × نهــــــــا ـــــــــــــــــ
     هـ←0     هـ          هـ←0     1+جتاهـ

النهاية الأولى = -1 والنهاية الثانية بعد التعويض المباشر تعطى 0

= -1 × 0 = 0

اذاً وفى المسألة الرئيسية وصلنا الى ...

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

= جتاس × 0   - جاس = - جاس

اى ان : مشتقة جتاس هى - جاس