برهن ان القواسم المشتركة بين a,b هى مجموعة قواسم gsd(a,b) = d

ليكن لدينا عددين a , b  وكان 'a مجموعة جميع قواسم العدد a و 'b مجموعة
جميع قواسم العدد b  بحيث ان المجموعة بالتأكيد تحتوى على عنصر اصغر
وهو 1 وعنصر اكبر وهو العدد نفسه .

a' = {1,a1,a2,...,a}                   ll

b' = {1,b1,b2,...,b}                   ll

الحالة الأولى : gsd(a,b) = 1  والمعنى انهما أوليان فيما بينهما
وفى هذه الحالة فإن القاسم المشترك الوحيد هو 1 وقاسم الواحد
هو ذاته (اذاً العبارة صحيحة)

الحالة الثانية : gsd(a,b) = d  حيث d عدد طبيعى ليس 1 او صفراً .

القواسم المشتركة هى ناتج تقاطع المجموعة 'a مع 'b بحيث انها ايضاً
تحتوى على عنصر اصغر {1} وهى جميع العناصر التى تحقق ai = bi
حيث i = 1,2,3,...  ll  

X = {x : ai = bi , i ∈ N}          ll

اذاً : a تقسم على x  و b تقسم على x اذاً ab تقسم على x
وبما ان قواسم اى عدد طبيعى مجموعة منتهية اذاً مجموعة القواسم
المشتركة بينهما مجموعة منتهية ايضاً، وبالتالى فهى تحوى عنصراً اكبر 'x
(القاسم المشترك الأكبر) وبالتالى فإن المجموعة X ما هى الا مجموعة
جميع قواسم (القاسم المشترك الأكبر)

لإيضاح الفكرة اكثر نقول a = m.d  و b = n.d  حيث d هو القاسم المشترك الأكبر
وبالتالى فإن m , n أوليان فيما بينهما او gsd(m,n) = 1  اذاً اى قواسم مشتركة
للعددين a , b  لابد وان تقسم d فقط لأنه كما قلنا ان m , n اوليان فيما بينهما لعدم
وجود قواسم أخرى اكبر من d ، وبالتالى فإن جميع القواسم المشترك بين a , b
هى مجموعة قواسم d .‏