اوجد مشتقة جا^-1(س) بإستخدام التعريف سَ = (صَ)^-1

ابدأ معك من اى دالة بصفة عامة (لأنى الاحظ ان هذا ما تقصده)

نفرض د : دالة د(س) لها دالة عكسية وهى د^-1(س) اذاً هذا شرط
اساسى ان تكون للدالة نظير الدالة (او الدالة العكسية)

مثال سريع ...

ص = هـ^س   ومنها صَ = هـ^س

س = لوص      ومنها  سَ = 1/ص

ويمكن ايجاد س َ بطريقة أخرى ..... وهذا ما اوردته ..

                           1              1
سَ =  (صَ)^-1 = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــ
                       هـ^س          ص

بتطبيق هذه الخطوة على الدوال المثلثية والزائدية بحكم انها قابلة
لأن تكون لها دالة عكسية ..

مثال : د(س) = جاس     او  :  ص = جاس   كتابة أخرى

اذاً  صَ = جتاس  ، والآن ايجاد مشتقة الدالة العكسية يعنى بالأمر

اننا نريد سَ  .

             1                    1
سَ = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
           (صَ)            (جتاس)

وهنا لابد من تحويل جتاس الى جاس لأن الدالة الأساسية هى جاس .

 
             1                          1
= ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ
    جذر(1 - جا²س)         جذر( 1 - ص²)

وطبعاً س ، او ص او ع .. كلها رموز اعتباطية .. يعنى بصفة عامة

اذا كانت الدالة هى : د(س) = جا^-1(س)  فإن

                       1
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
             جذر( 1 - س²)

وهذه وجهة نظرى فى اثبات الطريقة، بدأت معك بإشتقاق دالة الأس
الطبيعى، لأن اى دالة تستطيع وضعها فى صورة دالة الأس الطبيعى .

مثال : د(س) = 2^س  هى نفسها د(س) = هـ^لط(2^س)

بإختصار كل دالة   ص = هـ^لط(د(س))

الآن نشتق الطرفين بالنسبة لـ ص

      دَ(س)
1 = ـــــــــــــ × هـ^(لط(د(س)) × سَ
     د(س)

ولكن د(س) = هـ^(لط(د(س)) = ص  بالتعويض ...

      دَ(س)
1 = ـــــــــــــ × ص × سَ
       ص
                                                  1
اذاً : دَ(س) × سَ = 1   ومنها  سَ =  ـــــــــــ
                                              دَ(س)

او بإختصار نقول : سَ = (صَ)^-1

.....................................................................................................
مثال على مشتقة  ص = جازس  (اى الجيب الزائدى)

ويمكن كتابتها بالطريقة : ص = هـ^لط(جازس)

الآن اشتق الطرفين بالنسبة لـ ص .

         (جازس) َ
1 = ـــــــــــــــــــــ × هـ^لط(جازس) × سَ
         جازس

ولكن جازس =  هـ^لط(جازس) = ص  

                                                     1
اذاً : 1 = (جازس) َ × سَ  ومنها سَ = ــــــــــــــــــ
                                                (جازس)َ

              1                  
سَ = ـــــــــــــــــ   ولكن جتاز²س - جاز²س = 1
         جتازس

ومنها  جتازس = جذر(1 + جاز²س)

                         1                          1
اذاً : سَ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ
              جذر(1 + جاز²س)         جذر(1 + ص²)


والتى كان يمكن حلها مباشرة ً من عند الخطوة سَ = (صَ)^-1

             1                 1                         1
سَ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
         جتازس     جذر(1 + جاز²س)      جذر(1 + ص²)

..................................................................................

مثال 3) على دالة ليس لها معكوس .

ص = س²

ويمكنك معرفة ذلك هندسياً وجبرياً .. اما هندسياً فأسهل شىء
هو الإختبار الخط الأفقى (كما هو موضح بالرسم) فتجده تقطع
الدالة فى نقتطين، اذاً الدالة العكسية غير موجودة .

او جبرياً مباشرة ً س = جذر(ص)  او س = - جذر(ص)

نقول : ص =  هـ^لط(س²)  اشتق الطرفين بالنسبة لـ ص

        2س
1 = ــــــــــــــ ×  هـ^لط(س²) × سَ
        س²

                                    1                                
1 = 2س سَ  ومنها سَ = ـــــــــــــ
                                 2س

ولكن س = جذر(ص) او س = - جذر(ص)

وهذا يعنى ان الدالة العكسية غير موجودة .