حل لغز السيارة

ثلاثة طلبة رياضيات يتجولون في مدينة ، فجأة لاحظوا سائق سيارة ارتكب مخالفة خطيرة في الطريق ، وفر السائق مسرعا . لم يتذكر أي منهم رقم السيارة المكون من أربعة أرقام ولكن تذكر أحدهم أن الرقمين الأولين متشابهين ، ثم قال الآخر وأنا أتذكر أيضا أن الرقمين الأخيرين متشابهين ، وقال الثالث وأنا أتذكر أن رقم السيارة مربع تــام . هل يمكن باستعمال هذه الخاصيات الثلاث معرفة رقم السيارة ؟؟؟؟

حسب فهمى لمعطيات المسألة اقول :

نفرض أن س ، س ، ص ، ص هى ارقام الآحاد والعشرات والمئات والأولوف
على الترتيب .

الآن نضع العدد المشار اليه فى صورة النظام العشرى ..

س + 10س + 100ص + 1000ص = ن²

= 11س + 1100ص = ن²

حيث ن عدد طبيعى فى الفترة ينتمى لـ [32 ، (10)²[

لماذا ؟ لأن اصغر مربع كامل مكون من اربع ارقام هو 1024
والذى يساوى (32)² واكبر مربع هو ما قبل الـ 10000 مباشرة ً

كلاً من س ، ص ينتميان الى المجموعة {1 ، 2 ، 3 ، .... ،9}

وهو جميع الإحتمالات التى نرقم بها الخانات العشرية ...

س = {1 ، 2 ، 3 ، ........ ،9}

ص = {1 ، 2 ، 3 ، ........ ،9}


وجميع الإحتمالات الممكنة هى (نرمز لها بالمجموعة ع)

ع = {

       {1 , 2} , {1 , 3} , {1 , 4} , ..... ,{1 , 9}
       {2 , 1} , {1 , 3} , {1 , 4} , ..... ,{1 , 9}
       {3 , 1} , {3 , 2} , {3 , 4} , ..... ,{1 , 9}
       .
       .
       .
      {9 , 1} , {9 , 2} , {9 , 3} , ..... , {9 , 8}

}

مثلاً المجموعة  {1 , 2} = المجموعة   {2 , 1} لذلك سمع لك بتجربة الإثنين ..


11(1) + 1100(2) = 2211  ليس مربع كامل ...

اعكس وضع الأرقام .. 1122 ايضاً ليست مربع كامل ...

اذاً انت بحاجة لتجربة 72 امكانية ... ولكن هذا شىء صعب لذلك ارجع
الى المعادلة الأساسية وهى :

11س + 1100ص = ن²  ومنها 11س = ن² - 1100ص

          ن²
س = ــــــــــ - 100ص
         11

من أجل س عدد طبيعى  ===> اذاً ينبغى ان يقبل ن² القسمة على 11

                                            ن²
الشرط الثانى يجب أن يتحقق أن : ــــــــــ  -  100ص
                                            11

هو ناتج محصور فى المجموعة {1 ، 2 ، 3 ، ...... ، 9}

بما ان ن² من مضاعفات العدد 11 اذاً ينبغى ان تكون ن من مضاعفات العدد 11

نفرض أن : ن = 11م  حيث م عدد طبيعى           ...   اذاً


ولكن كما قولنا ن محصورة فى المجموعة من 32  الى 100
هذا يعنى ان : 11م محصورة فى المجموعة من 32 الى 100
من اجل م عدد طبيعى .. اذاً ينبغى ان نأخذ جميع العناصر
التى من مضاعفات العدد 11 والمحصورة من 32 الى 100
وجميعها هى :

33 ، 44 ، 55 ، 66 ، 77 ، 88 ، 99  بالتعويض بكل واحدة فى العلاقة


          ن²
س = ــــــــــ - 100ص   من اجل  ن = 33   فإن
         11

        (33)²
س = ــــــــــ - 100ص    ولكن الشرط الثانى يجب ان يتحقق
         11

لذلك فإن وضع ص = 1 هنا يجعل س = -1 ، وبناء عليه فإن وضع قيمة
لـ ص اكبر من الواحد يجعلها سالبة ايضاً ...

الخطوة الثانية : من اجل ن = 44


        (44)²
س = ــــــــــ - 100ص = 176 - 100ص
         11

من اجل ص = 1  فإن : س = 176 - 100 = 76  وهذا مرفوض لأن س محصورة
فى المجموعة من 1 الى 9  واذا وضعت ص = 2 فإن س تكون سالبة ..

الخطوة الثالثة : من أجل ن = 55

        (55)²
س = ــــــــــ - 100ص = 275 - 100ص
         11

لا يتحقق شىء ..

الخطوة الرابعة : من اجل ن = 66

         (66)²
س = ــــــــــ - 100ص = 396 - 100ص
          11

من اجل ص = 4 فإن : س = -4  وهذا مرفوض ..

الخطوة الخامسة : من اجل ن = 77

        (77)²
س = ــــــــــ - 100ص = 539 - 100ص
         11

ايضاً لن يتحقق شىء ...

الخطوة السادسة : من اجل ن = 88

         (88)²
س = ــــــــــ - 100ص = 704 - 100ص
         11

من أجل ص = 7  فإن  س = 704 - 700 = 4

ويكون العدد هو : 7744 وهو مربع كامل جذره = 88

الخطوة السابعة ( والأخيرة) : من اجل  ن = 99

        (99)²
س = ــــــــــ - 100ص = 891 - 100ص
         11

من أجل ص = 9  فإن س تكون سالبة وهذا مرفوض ..

اذاً العدد الوحيد هو : 7744