ق(ر ، ر) + ق[(ر+1) ، ر] + ... + ق(ن ، ر) = ق[(ن+1) ، (ر+1)]

تريد ان تثبت أن :

ق(ر ، ر) + ق[(ر+1) ، ر] + ... + ق(ن ، ر) = ق[(ن+1) ، (ر+1)]

لاحظ أن : ق(ن ، ر) = ق[ر+(ن-ر) ، ر]

من أجل ر=1 فإن العلاقة تكون صحيحة

1      2       3               ن
ق +  ق +  ق + ..... +  ق = 1 + 2 + 3 + .... + ن
  1      1      1                1

لاحظ الطرف الايسر عبارة عن متتابعة حسابية ...

      ن(ن+1)
= ــــــــــــــــــــ
          2

لنتحقق من الطرف الأيسر :-

                              (ن+1)!
ق[(ن+1) ، (ر+1)] = ـــــــــــــــــــــــــ  وبوضع ر=1
                            (ر+1)! (ن-ر)!
                         
      (ن+1)!           (ن+1) × ن × (ن-1)!
= ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   2 × (ن - 1)!          2 × (ن - 1)!

      ن(ن+1)
= ـــــــــــــــــــ  وبهذا تكون العلاقة صحيحة من أجل ر=1
          2

او ممكن تثبتها اسقرائاً على ن (بدلاً من ر) يعنى عدة محاولات من اجل الوصول الى الحل ..

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

وأخيراً وجدت ضالتى بعد ان فكرت فيها ابتدائاً، وهى قاعدة باسكال لكن
لم اكمل الحل نظراً لو جود (بعض الأخطاء البسيطة) والتى بدورها جعلتنى
اتخلى عن البرهان بالكلية .

حتى احفظ القاعدة (بعد ان تكون قد فهمتها طبعاً) القاعدة تقول :
                                     
                                          ن
التوفيقة + التوفيقة السابقة لها =  ق
                                             ر

طبعاً كما ترى فهى لغة ركيكة جداً، ولكن حتى احفظك اياها لأنى
سأكررها عشرات المرات فى هذا الحل .. القاعدة الأساسية هى :

ن        (ن-1)        (ن-1)
ق  =       ق  +        ق
  ر            ر           (ر-1)

((سأثبتها فى الملحق القادم حتى لا يحدث هنا ارتباك))

الآن (بإستخدام القاعدة السابقة _قاعدة باسكال) نقول :

ق(ن+1 ، ر+1) = ق(ن ، ر+1) + ق(ن ، ر)

(سنكرر الخوارزمية مرات عديدة (ن مرة مثلاً))

= ق(ن-1 ، ر+1) + ق(ن-1 ، ر) + ق(ن ، ر)

= ق(ن-2 ، ر+1)+ق(ن-2 ، ر) +ق(ن-1 ، ر) + ق(ن ، ر)

= ق(ن-3 ، ر+1)+ق(ن-3 ، ر)+ق(ن-2 ، ر) +ق(ن-1 ، ر) + ق(ن ، ر)
.
.
.
= ق(ر،ر)+ق(ر+1 ، ر) + ق(ر+2 ، ر) + .... + ق(ن ، ر)


توضيح الفقرة السابقة ....

نظل نعيد تكرار الخوارزمية على (او توفيقة فقط) ونترك الباقى كما هو ..
فنلاحظ ان جميعهم تحت الراء (تحت اختيار راء) ولهذا فإن ن تظل مستمرة
فى الصغر الى ان تصل الى توقف معقول وهو راء، وهذا لأنه لا يجوز ان
يكون الحد الأعلى فى التوافيق أكبر من الحد الأسفل .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

وهذا الإثبات (البسط جداً) لقاعدة باسكال (وضعته فقط من أجل التوضيح)


(ن-1)    (ن-1)         (ن-1)!                 (ن-1)!
    ق +      ق = ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــ
      ر        ر-1     ر! (ن-ر-1)!         (ر-1)! × (ن-ر)!

متى يجوز جمع الكسور ؟ (عند توحيد المقامات) ولهذا يجب توحيد
المقامات بأى شكل .. وهنا اقترح عليك الآتى ...

1) نضرب الكسر الثانى بسطاً ومقاماً فى ر
2) نضرب الكسر الثانى بسطاً ومقاماً فى (ن-ر)

       (ن-ر) (ن-1)!                   ر (ن-1)!
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــ
    ر! × (ن-ر) (ن-ر-1)!           ر(ر-1)! (ن-ر)!


       (ن-ر) (ن-1)!                  ر  (ن-1)!
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــ
    ر! × (ن-ر) !                     ر! × (ن-ر)!
 

      (ن-ر) (ن-1)! + ر(ن-1)!          (ن-1)! [(ن-ر + ر)]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            ر! (ن-ر)!                          ر! (ن-ر)!


       ن(ن-1)!               ن!
= ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ = ق(ن،ر)
      ر! (ن-ر)!           ر! (ن-ر)!


     ن       ن-1   ن-1
اذاً :  ق  =   ق +   ق
        ر        ر      ر-1

والتى تم استعمالها فى حل سؤالك (بشكل متكرر) على الطرف الأيسر . 

-----------------------------------------------------------------------------------------------

بإختصار هذا القانون ينبهك الى انه يمكنك نشر اى توفيقة ق(ن+1 ، ر+1) بعدد
توفيقات = ن-ر+1 ذات فضائات مختلفة تبدأ من ر وتنتهى عند ن وكلها تحت اختيار ر .

لاحظ : من المهم جداً انت تعرف أن آخر حد يمكن الوصول اليه هو ر+1 ق ر+1
والذى يساوى فى الاساس ر ق ر  او ق(ر ، ر)   .. خذ مثال  ...

ق(9+1 ، 3+1) = ق(10 ، 4) = 210

ق(10 ، 4) = ق(9 ، 4) + (9 ، 3)

= ق(8 ، 4) + ق(8 ، 3) + (9 ، 3)

= ق(7 ، 4) + ق(7 ، 3) + ق(8 ، 3) + (9 ، 3)

= ق(6 ، 4) + (6 ، 3) + ق(7 ، 3) + ق(8 ، 3) + (9 ، 3)

= ق(5 ، 4) + ق(5 ، 3) + (6 ، 3) + ق(7 ، 3) + ق(8 ، 3) + (9 ، 3)

= ق(4 ، 4) + (4 ، 3) + ق(5 ، 3) + (6 ، 3) + ق(7 ، 3) + ق(8 ، 3) + (9 ، 3)

كما تلاحظ فإن 4 هنا هى بمثابة ر+1

ق(ر+1 ، ر+1) = ق(ر ، ر) وتم وضعها هكذا تماشياً مع بقية التوافيق التالية لها ..

عدد التوفيقات = 10 - 6 + 1 = 7

مثال آخر : قم بنشر (15 ق 5)


ق(15 ، 5) = ق(4 ، 4)+ق(5، 4)+ق(6 ، 4)+ق(7 ، 4) + .... +ق(14 ، 4)