أوجد عدد الرجال والنساء والأطفال ؟

في حفلة عشاء لدينا اناس يتكوّنون من رجال و نساء و اطفال عددهم 12 وضع لهم 12 من الخبز
المعطيات:
ياكل كل طفل ربع خبزة
تأكل كل المرأة 1.5 خبزة
يأكل كل رجل خبزتان
السؤال:
كم عدد الرجال و النساء و الاطفال في هذا الحفل
( يجب ان يكون الجواب مرفوق بالطريقة)

عدد الرجال = س ، عدد النساء = ص  ، عدد الأطفال = ع

س+ص+ع = 12              =====> (1)

2س+1.5ص+0.25ع = 12   =====> (2)     × -4

-8س-6ص-ع = -48   بجمعها مع (1)

-7س - 5ص = -36                          × -1

7س+5ص = 36     لاحظ ق.م.أ (7 ، 5) = 1 وهى تقسم 36

الآن نوجد القسم المشترك الأكبر بين 7 ، 5 بطريقة القسمة الخوارزمية .

7 = 1(5) + 2        ====>   2 = 7 - 1(5)          *

5 = 2(2) + 1        ====>   1 = 5 - 2(2)          **

بالتعويض من * فى **

1 = 5 - 2[7 - 1(5)] = 5 - 2(7) + 2(5) = -2(7) + 3(5)

الآن عندك : -2(7) + 3(5) = 1    بضرب الطرفين فى 36

7(-72) + 5(108) = 36    اذاً  س0 = -72   ،  ص0 = 108

لا تندهش كثيراً اعلم ان كلا من س ، ص ، ع يجب ان تكون محصورة
فى المجموعة {1 ، 2 ، 3 ، ..... ، 12} ولكن هذه قيم ابتدائية صحيحة
ننتقى منها فقط الحلول الطبيعية .

من خلال الحل الإبتدائى الذى توصلنا اليه نستطيع ان نكتب الحل العام بهذه
الطريقة (راجع طريقة حل المعادلات الديفونتية)

                         5          
س = س0 + ــــــــــــــــــــــــ ن = -72 + 5ن
                ق.م.أ (7 ، 5)

                        7
ص = ص0 - ــــــــــــــــــــــــــ ن = 108 - 7ن
               ق.م.أ (7 ، 5)

حيث ن عدداً طبيعياً .. ولآن نبحث عن كل الحلول الطبيعية لـ س، ص بحيث ان
كلاً منهم بالتأكيد اكبر من الواحد الصحيح واقل من 12 .

الحالة الأولى : نضع ن = 1   نجد أن : س = -67  ، ص = 101

      ((وكل هذه حلول مرفوضة))

وحتى لا اظل اعيد التجربة مرات عديدة استطيع ان افيدك فى أن الحل الوحيد
الطبيعى لـ س ، ص هو {(3 ، 3)}  بالتعويض فى (1)

س+ص+ع = 12              =====> (1)

3+3+ع = 12   ومنها  ع = 6

اذاً الحل الوحيد هو : ح = {(3 ، 3 ، 6)}

عدد الرجال = 3

عدد النساء = 3

عدد الأطفال = 6

---------------------------------------------------------------------------------------------------
طريقة أخرى للحل  (لكنها تحتاج الى ترتيب فى التفكير) عن طريق ترشيح
مجموعة او عدة مجموعات معينة تحقق تلك الشروط من عدد المجموعات
الكلى، الآن اقل عدد يمكن أن تأخذ فئة من الفئات الثلاث هو 1 وأكبر عدد
هو 10 وهو  {1 ، 1 ، 10} ويعتبر هذا الحل من اكبر الحلول الممكنة لوجود
العدد 10 فيه، الآن نجد فى هذا الحل عنصرين مكررين وهما (1 ، 1) لذا
فإن عدد المجموعات الممكنة هو 3 ل 2 = 3 مجموعات وهم (حسب الترتيب)
س ، ص ، ع  ...

{(1 , 1 , 10)} , {(1 , 10 , 1)} , {(10 , 1 , 1)} جميع هذه الحلول تحقق

المعادلة الأولى فقط : س+ص+ع = 12              =====> (1)

لنختبر هل هى تحقق المعادلة الثانية ؟

عوض بالحل : (1 , 1 , 10) فى المعادلة : 2س+1.5ص+0.25ع

2(1) + 1.5(1) + 0.25(10) = 6   اذاً ليس حلاً .. وهكذا عوض بالحلين
الآخرين تجد نفس المشكلة قد تكونت لديك .

والآن نركز على العدد 9 : {1 , 2 , 9}  اعتقد ان هذا تصور معقول، ولكن هذه
المجموعة تكرر بعدد 3! = 6  مجموعات ، وهم حسب الترتيب التالى :

{(1 , 2 , 9)} , {(1 , 9 , 2)} , {(2 , 1 , 9)} , {(2 , 9 , 1)} ,
{(9 , 1 , 2)} , {(9 , 2 , 1)} والآن اريدك ان تفهمنى بشكل سريع كل المجموعات
التى اضعها تحقق المعادلة الأولى (لأن عدد العناصر فيها = 12)

نأخذ كل حل من الحلول السابق ونعوض فى المعادلة الثانية (جربهم بنفسك)
نظراً لأن الوقت لم يسعنى هنا لأكتب خطوات مكررة لا داعى من ذكرها، فقط
لك ان تعلم ان الحلول السابق لا تحقق المعادلة الثانية (من خلال التجربة)

نظل هكذا ... العدد 8  ... ثم العدد 7  ... ثم العدد 6   (وهنا نجد ان حل ما قد تحقق)

الآن : المجموعات المولدة هى :  {1 , 5 , 6}  و {2 , 4 , 6} و {3 , 3 , 6}
كل مجموعة تولد عدد مجموعات عددها 3! = 6  كما اسلفنا وفعلنا فى المجموعات
السابقة لتجد ان جميعهم ليسوا حلاً للمعادلة الثانية الا المجموعة الاخيرة فهى
تحقق المعادلة الأولى والثانية معاً (بنفس ترتيبها)  اذاً {(3 , 3 , 6)} حلاً لهذا النظام .

ولكى تثبت وحدانيته عليك بتجربة باقى المجموعات ....